Luận án Tiến sĩ: Liên thông kì dị chính quy trên lược đồ vành - Phạm Thanh Tâm

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Phạm Thanh Tâm VỀ LIÊN THÔNG KÌ DỊ CHÍNH QUI TRÊN LƯỢC ĐỒ TRÊN MỘT VÀNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2024 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Phạm Thanh Tâm VỀ LIÊN THÔNG KÌ DỊ CHÍNH QUI TRÊN LƯỢC ĐỒ TRÊN MỘT VÀNH Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 9 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn: GS. Phùng Hồ Hải GS. João Pedro Dos Santos Hà Nội - 2024 Mục lục Lời cam đoan v Lời cảm ơn vii Danh mục công trình ix Ký hiệu xi Lời mở đầu xiii 1 Thác triển liên thông hình thức kì dị chính qui lên PC \ {0, ∞} 1 1.1 Liên thông trên một vành vi phân .1 Liên thông và phương trình vi phân .2 Liên thông hình thức kì dị chính qui .1 Liên thông hình thức có kì dị lôgarit .2 Liên thông hình thức kì dị chính qui .3 Liên thông trên PC \ {0, ∞} .1 Liên thông trên PC có kì dị lôgarit .2 Thác triển liên thông hình thức kì dị chính qui lên PC \ {0, ∞} .4 Liên thông cùng tác động của một đại số Artin. 21 2 Liên thông kì dị chính qui được tham số hóa bởi một vành 29 2.1 Liên thông kì dị chính qui .2 Liên thông được tham số hóa bởi một đại số địa phương Noether đầy đủ .1 Tiêu chuẩn về tính phẳng .2 Liên thông kì dị chính qui trên R((x)) .3 Thác triển liên thông kì dị chính qui lên PR \ {0, ∞} .3 Liên thông kì dị chính qui được tham số hóa bởi một đại số Hensel.

57 iv Mục lục 2.1 Liên thông hình thức kì dị chính qui được tham số hóa bởi một đại số Hensel định giá rời rạc .2 Thác triển liên thông kì dị chính qui tham số hóa bởi đại số địa phương Noether và Hensel lên PR \ {0, ∞}. 62 3 Khai triển lôgarit của liên thông trên đĩa thủng hình thức 73 3.1 Khai triển lôgarit của liên thông trên đĩa thủng hình thức .1 Khai triển Turrittin-Levelt-Jordan .2 Khai triển lôgarit của liên thông hình thức .2 Khai triển lôgarit của liên thông được tham số hóa .1 Liên thông cùng tác động của một đại số Artin .2 Khai triển lôgarit của một liên thông được tham số hóa bởi một đại số định giá rời rạc đầy đủ. 85 4 Sơ lược về liên thông xác định trên trường đặc số dương 91 4.3 Đa thức đặc trưng của p−độ cong. 94 5 Kết luận 99 Phụ lục A Cấu trúc của các tự đồng cấu tuyến tính 101 A.1 Cấu trúc của tự đồng cấu tuyến tính trên vành Artin .2 Cấu trúc của các tự đồng cấu trên vành địa phương Noether Hensel.

103 Phụ lục B Môđun trên một vành vi phân tổng quát 107 B.1 Vành vi phân tổng quát .2 Môđun trên một vành vi phân tổng quát .1 Liên thông trên vành vi phân tổng quát .2 Môđun trên một vành vi phân tổng quát .3 Chứng minh khác của định lý chính. 112 Tài liệu tham khảo 115 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng ngoại trừ trường hợp có tham chiếu cụ thể đến công trình của người khác, nội dung của luận án này là bản gốc và chưa được nộp toàn bộ hoặc một phần để xem xét cho bất kỳ bằng cấp nào khác trong bất cứ một cơ sở giáo dục nào khác. Luận án này là công trình của riêng tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. Phùng Hồ Hải và GS.

João Pedro Dos Santos. Đối với các kết quả viết chung với các tác giả khác, tôi đã nhận được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Hà Nội, tháng 05 năm 2024 Tác giả Phạm Thanh Tâm LỜI CẢM ƠN Luận án này được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. Phùng Hồ Hải và GS.

João Pedro Dos Santos tại Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới hai thầy hướng dẫn khoa học của tôi: GS. Phùng Hồ Hải và GS. João Pedro Dos Santos.

Các thầy đã tận tình giúp đỡ tôi trong suốt quá trình tôi làm luận án. Khi tôi được hai thầy nhận hướng dẫn, mọi kiến thức về chuyên ngành và lĩnh vực nghiên cứu là rất mới mẻ với tôi. Các Thầy đã hướng dẫn, dìu dắt tôi nghiên cứu và khai thác các vấn đề xoay quanh bài toán của mình. Đặc biệt, những lúc khó khăn, bế tắc trong nghiên cứu các Thầy nhiệt tình giúp đỡ, động viên và khích lệ để giúp tôi từng bước tự tin hơn và vượt qua khó khăn.

Tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cô trong các phòng: Đại số, Lý thuyết số, Hình học và Tô pô đã giúp đỡ và tạo điều kiện để tôi có được một môi trường làm việc và học tập tốt. Tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy, cô Trung tâm Đào tạo Sau đại học của Viện Toán học đã hỗ trợ tôi rất nhiệt tình trong quá trình tôi học tập, nghiên cứu và hoàn thiện các công việc cần thiết đối với việc học nghiên cứu sinh của tôi tại Viện Toán học. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong Ban Lãnh đạo Viện Toán học, Hội đồng Khoa học Viện Toán học đã cho tôi cơ hội và những điều kiện thuận lợi để tôi được học tập, làm việc trong môi trường nghiên cứu tốt. Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn tới các thầy, cô và các anh chị, các bạn đồng nghiệp trong Viện đã luôn quan tâm, chia sẻ, động viên tôi trong công việc và cuộc sống.

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy trong Ban Giám hiệu Trường đại học sư phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm và các thầy cô Khoa Toán của nhà trường đã ủng hộ và tạo điều kiện cho tôi có được thời gian và điều kiện học tập tốt nhất. Qua đó góp phần giúp tôi hoàn thành được quá trình học tập và nghiên cứu của mình. Trong thời gian làm nghiên cứu sinh tôi, tôi đã nhận được những chia sẻ, trao đổi hữu ích về nội dung nghiên cứu cùng với TS. Nguyễn Chu Gia Vượng, TS.

Nguyễn viii Lời cảm ơn Hồng Đức, TS. Tôi rất biết ơn vì những hỗ trợ tích cực mà các tiến sĩ đã nhiệt tình dành cho tôi. Đặc biệt, tôi muốn gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS. Đào Văn Thịnh, người đã và đang cùng với tôi hoàn thành các nghiên cứu về vấn đề mà tôi quan tâm, giúp tôi có thêm động lực nghiên cứu.

Bên cạnh đó tôi cũng mong muốn gửi lời cảm ơn đến PGS. Nguyễn Tất Thắng, người đã chia sẻ kinh nghiệm làm việc và động viên tôi rất nhiều trong thời gian tôi học tập và nghiên cứu tại Viện Toán học. Tôi xin chân thành cảm ơn TS. Đỗ Văn Kiên và TS.

Nguyễn Phương Đông đã giúp tôi đọc bản thảo và góp nhiều ý kiến quan trọng về văn phong và trình bày. Cuối cùng, tôi chân thành biết ơn tới những người thân trong đại gia đình của tôi: Bố, mẹ, các em, vợ và các con của tôi, những người đã luôn ở bên cạnh, chia sẻ, ủng hộ giúp đỡ để tôi có thể tập trung thời gian hoàn thành công việc học tập của mình. Hà Nội, tháng 05 năm 2024 Tác giả Phạm Thanh Tâm DANH MỤC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ VÀ BÁO CÁO HỘI THẢO LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN DANH MỤC CÔNG TRÌNH [1] P. P dos Santos and P.Tam, Algebraic theory of regular-singular connections with parameters, Rend.Thinh, Prolongation of regular singu- lar connections on punctured affine line over a henselian ring, Communications in Algebra, 2024 (Online), 1–15.Tam, Logarithmic decomposition of connections on a relatively punctured disk, to appear in Periodica Mathematica Hungarica.

[4] Phạm Thanh Tâm, Tính toán địa phương trên p-độ cong của các liên thông phụ thuộc tham số trong trường có đặc số dương, Tạp chí Trường ĐHSP Hà Nội 2, Số 55, 2018, p. CÁC KẾT QUẢ TRONG LUẬN ÁN ĐÃ ĐƯỢC BÁO CÁO TẠI HỘI NGHỊ, HỘI THẢO • Hội nghị nghiên cứu sinh Viện Toán học các năm: 2016-2021; • Hội thảo: Taiwan - Vietnam Workshop on Mathematics, National Sun Yat - Sen University, Kaohsiung, 5/2018; • Đại hội Toán học toàn quốc, Nha Trang, 7/2018; x Danh mục công trình • Hội nghị: Vietnam-USA Joint Mathematical Meeting, Qui Nhơn, 10-13/6/2019; • Hội thảo: Singularity Theory and its Applications, Đà Lạt, 16-18/11/2020; • Hội nghị: ĐAHITO, Viện Toán học - ĐH Thái Nguyên, 10/2021; • Hội thảo: Hình học và Giải tích, Viện Toán học, 11/2021; • Workshop "Singularities, arrangements, and low-dim. topology", Viện Toán học, 12/2021; • Hội thảo: Một số vấn đề trong đại số và lý thuyết số. Viện Toán học 3/2022; • Hội thảo: Một số vấn đề trong lý thuyết kì dị và ứng dụng, Viện Toán học, 03/2022.

KÝ HIỆU VÀ QUY ƯỚC (1) Trong luận án này, ký hiệu C là một trường đóng đại số có đặc số không. (2) Cố định τ là một tập con của C sao cho ánh xạ τ → C/Z là song ánh. (3) Cho X và Y là các tập con của C. + a−1 x−1 + a0 ∈ C[x−1 ] là một đại diện của ϕ.

(5) Cho A là một C-đại số bất kì và n là một số nguyên dương. • Ký hiệu AJzK vành các chuỗi lũy thừa hình thức của các biến z = (z1 , ., zn ) với hệ số trong A. • Mỗi biến tự do x, ký hiệu A[x± ] := A[x±1 ] và A((x)) := AJxK[x−1 ]. (6) Cho ϕ là một tự đồng cấu tuyến tính của một C-không gian véc tơ hữu hạn chiều V.

• Ký hiệu Spϕ là tập tất cả các giá trị riêng của ϕ. • Ký hiệu G(ϕ, ρ) là không gian véc tơ con riêng suy rộng của ϕ liên kết với ρ ∈ Spϕ. (7) Cho A là một C-đại số. • Ký hiệu PA là đường thẳng xạ ảnh trên A.

xii Ký hiệu • Ký hiệu A0 = PA ∖ {∞} và A∞ = PA ∖ {0} là hai tập mở chính tắc của PA. • Ký hiệu OPA là bó cấu trúc của PA. d (8) Với A là một C-đại số, ký hiệu ϑ : A((x)) → A((x)) là đạo hàm x trên A((x)); cụ dx thể ϑ xác định bởi ϑ ∑ an xn = ∑ nan xn. (9) Với mỗi số nguyên dương s, đặt xs là một căn bậc s của x.

Đạo hàm ϑ trên R((x)) được mở rộng thành đạo hàm trên R((xs )) một cách tự nhiên. Cụ thể, đạo hàm ϑ trên R((xs )) được xác định bởi ϑ = s−1 xs dxd s. (10) Với A là một C-đại số, ký hiệu • Mm×n (A) cho vành các ma trận cỡ m × n với hệ số trong R.