Luận án tiến sĩ của Tạ Ngọc Ánh - Phương trình toán tử ngẫu nhiên tại Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -------------------------- TẠ NGỌC ÁNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2012 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- TẠ NGỌC ÁNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 2012 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Lời cam đoan i Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt iv Mở đầu 1 1. Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Các khái niệm cơ bản .2 Ánh xạ đa trị .3 Toán tử ngẫu nhiên .4 Một số kết quả về điểm bất động cho toán tử tất định. Phương trình toán tử ngẫu nhiên 16 2.1 Phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị .2 Phương trình toán tử ngẫu nhiên đa trị. Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên 34 3.1 Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị .2 Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đa trị .3 Điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.

48 ii LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Kết luận và kiến nghị 69 Các kết quả chính của luận án. 69 Những nghiên cứu tiếp theo. 69 Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 70 Tài liệu tham khảo 71 Chỉ số 81 iii LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT N Tập hợp các số tự nhiên R Tập hợp các số thực R+ Tập hợp các số thực dương C[a, b] Không gian các hàm số liên tục trên [a, b] L(X) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X LX 0 (Ω) Tập hợp các biến ngẫu nhiên X-giá trị A, F σ-đại số B(X) σ-đại số Borel của X A⊗F σ-đại số tích của các σ-đại số A và F 2X Họ các tập hợp con khác rỗng của X C(X) Họ các tập hợp con đóng khác rỗng của X CB(X) Họ các tập hợp con đóng khác rỗng và bị chặn của X d(a, B) Khoảng cách từ điểm a đến tập hợp B d(A, B) Khoảng cách giữa hai tập hợp khác rỗng A, B H(A, B) Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp đóng A, B Gr(F ) Đồ thị của ánh xạ F µ Độ đo Lebesgue P Độ đo xác suất p-lim Giới hạn của sự hội tụ theo xác suất h. Hầu chắc chắn iv LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU Phương trình toán tử ngẫu nhiên là một trong các hướng nghiên cứu của lý thuyết toán tử ngẫu nhiên.

Đó là sự mở rộng, ngẫu nhiên hóa lý thuyết phương trình toán tử tất định. Trong vòng 60 năm trở lại đây, hướng nghiên cứu này đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học và thu được nhiều kết quả. Tuy nhiên, phần lớn các kết quả đạt được của lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên tập trung vào một trường hợp riêng là lý thuyết điểm bất động ngẫu nhiên. Các nghiên cứu về định lý điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên được khởi đầu bởi O.

Spacek trong những năm 1950 (xem [35, 70]). Họ đã chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ co ngẫu nhiên, đó chính là phiên bản ngẫu nhiên của nguyên lý ánh xạ co Banach. Sau các công trình của Spacek và Hans, phiên bản ngẫu nhiên của các định lý điểm bất động nổi tiếng khác cũng được chứng minh. Lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên và điểm bất động ngẫu nhiên thực sự được tiếp thêm sức mạnh sau sự ra đời của cuốn sách Random integral equations (1972) và bài báo tổng kết Fixed point theorems in probabilistic analysis (1976) của A.

Nhiều tác giả đã thành công trong việc mở rộng các kết quả về điểm bất động ngẫu nhiên đã có hoặc chứng minh phiên bản ngẫu nhiên của các định lý điểm bất động cho toán tử tất định (chẳng hạn, xem [14, 28, 38, 42, 52, 60, 77]). Vào những năm 1990, một số tác giả như: H. Yuan đã chứng minh các định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, trong đó các tác giả chỉ ra rằng với một số điều kiện nào đó, nếu các quỹ đạo của toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động tất định thì toán tử ngẫu nhiên 1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com có điểm bất động ngẫu nhiên (chẳng hạn, xem [15, 71, 77]). Gần đây, một số tác giả như N.

Agarwal đã đưa ra một số định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát mở rộng các kết quả của các tác giả trước và trên cơ sở đó phiên bản ngẫu nhiên của nhiều định lý điểm bất động cho toán tử tất định đã được chứng minh (xem [58, 63, 64, 65]). Nếu lớp các toán tử ngẫu nhiên thỏa mãn các điều kiện của định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát là rộng rãi thì việc ngẫu nhiên hóa các định lý điểm bất động cho toán tử tất định không còn nhiều thú vị, việc chứng minh sự tồn tại điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên thực sự trở thành việc chứng minh sự tồn tại điểm bất động của một toán tử tất định. Tuy nhiên, một điều đáng chú ý là: Trong các định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, điều kiện các tác giả đặt lên các toán tử ngẫu nhiên và các không gian thường khá phức tạp, thậm chí nhiều khi ta khó có thể tìm được ví dụ về toán tử ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện đó. Khi nghiên cứu về phương trình toán tử ngẫu nhiên, chúng tôi cũng hy vọng đạt được kết quả tương tự như trường hợp bài toán điểm bất động ngẫu nhiên.

Tức là, đưa ra được điều kiện để một phương trình toán tử ngẫu nhiên nếu có nghiệm tất định thì có nghiệm ngẫu nhiên. Bằng việc sử dụng các kết quả của lý thuyết ánh xạ đa trị, chúng tôi đã chứng minh được rằng với điều kiện: Toán tử ngẫu nhiên đo được, xác định trên không gian metric khả ly đầy đủ, nếu phương trình toán tử ngẫu nhiên có nghiệm tất định với mỗi ω thì phương trình đó có nghiệm ngẫu nhiên. Chú ý rằng điều kiện đo được của toán tử ngẫu nhiên là khá yếu, chẳng hạn các toán tử ngẫu nhiên liên tục sẽ thỏa mãn điều kiện này. Áp dụng kết quả đạt được cho bài toán điểm bất động ngẫu 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com nhiên chúng tôi nhận được, mở rộng các kết quả quả Xu, Tan, Yuan, Shahzad,.

và nhận được hầu hết các định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát hiện có. Theo kết quả mà chúng tôi đạt được, mỗi định lý điểm bất động cho toán tử tất định sẽ có một phiên bản tương ứng cho toán tử ngẫu nhiên. Toán tử ngẫu nhiên có thể được xem như một ánh xạ biến mỗi phần tử của không gian metric thành một biến ngẫu nhiên. Mỗi phần tử của không gian metric có thể được xem như một biến ngẫu nhiên suy biến nhận giá trị là phần tử đó với xác suất 1.

Từ cách quan niệm như vậy ta coi không gian metric X như tập con (gồm các biến ngẫu nhiên suy biến) của không gian các biến ngẫu nhiên X-giá trị LX 0 (Ω). Với f là một toán tử ngẫu nhiên liên tục từ X vào X chúng ta có thể xây dựng được một ánh xạ Φ từ LX X 0 (Ω) vào L0 (Ω) mà hạn chế của Φ trên X trùng với f và f có điểm bất động ngẫu nhiên khi và chỉ khi Φ có điểm bất động. Dựa trên thực tiễn đó cùng với các kết quả về điểm bất động của ánh xạ trong không gian metric xác suất, O. Pap đã có những liên hệ ứng dụng sang lý thuyết điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên (xem [33, 34]).

Từ ý tưởng của bài toán mở rộng miền xác định của toán tử ngẫu nhiên và các kết quả của Hadzic và Pap, chúng tôi đưa ra khái niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, trong đó ánh xạ mỗi biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric thành biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric. Bước đầu, chúng tôi đã chứng minh được một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên dựa trên các tính toán thuần túy xác suất mà không sử dụng các công cụ của lý thuyết không gian metric xác suất. Chúng tôi cũng nhận được các kết quả tương tự như của Hadzic và Pap. 3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Nội dung của luận án liên quan đến các kết quả nghiên cứu về phương trình toán tử ngẫu nhiên và điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên.

Luận án gồm 3 chương. Chương 1 thống nhất các khái niệm cơ bản và trình bày một số kết quả của các tác giả khác mà được sử dụng trong phần sau của luận án. Những kết quả đó chỉ được trích dẫn và không có chứng minh chi tiết. Chương 2 trình bày các kết quả nghiên cứu của tác giả về phương trình toán tử ngẫu nhiên.

Nội dung chính của chương này là các định lý về sự tồn tại nghiệm ngẫu nhiên của phương trình toán tử ngẫu nhiên. Chương 3 liên quan đến bài toán điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên. Áp dụng các kết quả về phương trình toán tử ngẫu nhiên cho bài toán điểm bất động ngẫu nhiên chúng tôi nhận được và mở rộng một số định lý điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên. Phiên bản ngẫu nhiên của một số định lý điểm bất động cho toán tử tất định cũng được trình bày.

Trong chương này chúng tôi cũng đưa ra khái niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên và chứng minh một số định lý điểm bất động cho toán tử đó. Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Đặng Hùng Thắng. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành tới GS.TSKH Đặng Hùng Thắng, Thầy đã quan tâm hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong suốt nhiều năm qua. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học đã cung cấp nhiều bài giảng và giới thiệu cho tôi nhiều tài liệu bổ ích.

Tác giả xin cảm ơn các thầy trong Hội đồng cấp cơ sở đã có nhiều ý kiến đóng góp quý báu. 4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tác giả xin cảm ơn các thành viên của seminar Toán tử ngẫu nhiên, đã tạo điều kiện cho tác giả trình bày và giúp tác giả kiểm tra các kết quả nghiên cứu.