Luận án tiến sĩ toán học: Một số dạng luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn - Lê Văn Dũng
Luận án tiến sĩ nghiên cứu luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên trong không gian Banach p-khả trơn, đóng góp phương pháp mới trong xác suất thống kê.
Năm xuất bản
Số trang
75
Thời gian đọc
12 phút
Lượt xem
0
Lượt tải
0
Phí lưu trữ
40 Point
Tổng quan nhanh
- Chủ đề:
- 1. Giới thiệu chung: Luật số lớn trong không gian Banach
- Số trang:
- 75 trang
- Trường:
- Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội
- Chuyên ngành:
- Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
- Tác giả:
- Lê Văn Dũng
- Năm:
- 2013
Tóm tắt nội dung luận án
I. Giới thiệu chung Luật số lớn trong không gian Banach
Luật số lớn là một trong những định lý nền tảng của lý thuyết xác suất. Nó được xem là một trong ba viên ngọc quý của ngành này. Luật số lớn mô tả sự hội tụ của trung bình mẫu về kỳ vọng lý thuyết. Nghiên cứu này mở rộng các dạng luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên. Mảng biến ngẫu nhiên có giá trị trong không gian Banach. Luận án giải quyết các vấn đề còn tồn đọng. Mục tiêu là phát triển lý thuyết xác suất định chuẩn. Các kết quả có ý nghĩa quan trọng. Chúng đóng góp vào hiểu biết về hành vi của biến ngẫu nhiên phức tạp. Nghiên cứu tập trung vào không gian Banach p-khả trơn. Đây là một lớp không gian đặc biệt. Tính chất hình học của không gian này ảnh hưởng đến sự hội tụ. Sự phát triển của luật số lớn vẫn là một vấn đề thời sự. Nhiều tác giả đã nghiên cứu nó trong không gian Banach. Luận án này tiếp tục mở rộng những hiểu biết đó. Các kết quả mới được thiết lập. Chúng áp dụng cho mảng biến ngẫu nhiên không độc lập. Sự khám phá này tăng cường cơ sở lý thuyết.
1.1. Tầm quan trọng của Luật số lớn
Luật số lớn giữ vị trí trung tâm trong lý thuyết xác suất. Nó khẳng định rằng trung bình cộng của một dãy các biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối giống nhau sẽ hội tụ về giá trị kỳ vọng. Kolmogorov từng nhấn mạnh tầm quan trọng của các định lý giới hạn. Ông coi chúng là các kết quả chủ yếu nhất của lý thuyết xác suất. Luật số lớn là một ví dụ điển hình. Nghiên cứu này tiếp tục truyền thống đó. Nó mở rộng phạm vi áp dụng của luật số lớn. Từ dãy biến ngẫu nhiên sang mảng biến ngẫu nhiên. Từ biến ngẫu nhiên thực sang biến ngẫu nhiên có giá trị trong không gian Banach. Các kết quả này cung cấp nền tảng vững chắc. Chúng cho các ứng dụng trong thống kê và học máy. Sự hội tụ hầu chắc chắn là một khía cạnh quan trọng. Nó được khám phá sâu sắc. Tầm quan trọng của luật số lớn không ngừng được khẳng định.
1.2. Mảng biến ngẫu nhiên Vấn đề hiện tại
Việc nghiên cứu luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên đang gặp nhiều thách thức. Đặc biệt là với các biến ngẫu nhiên không độc lập. Lý thuyết martingale đã được mở rộng cho dãy biến ngẫu nhiên trong không gian Banach. Tuy nhiên, việc mở rộng khái niệm martingale cho mảng nhiều chỉ số phức tạp hơn. Điều này dẫn đến ít nghiên cứu về định lý giới hạn. Đặc biệt là cho mảng biến ngẫu nhiên không độc lập. Luận án này tập trung giải quyết khoảng trống đó. Nó xem xét các mảng biến ngẫu nhiên hai chỉ số. Các điều kiện cho sự hội tụ được xác định rõ ràng. Nghiên cứu đóng góp vào lĩnh vực lý thuyết xác suất định chuẩn. Nó cung cấp các công cụ mới để phân tích hành vi của hệ thống phức tạp. Sự hiểu biết về mảng biến ngẫu nhiên được nâng cao. Điều này mở ra hướng đi mới trong nghiên cứu.
1.3. Mục tiêu nghiên cứu luận án
Mục tiêu chính của luận án là nghiên cứu sự hội tụ cho mảng biến ngẫu nhiên. Luận án xem xét sự hội tụ của chuỗi kép các biến ngẫu nhiên. Các dạng luật mạnh số lớn được khám phá. Bao gồm luật Kolmogorov và Marcinkiewicz-Zygmund. Nghiên cứu này áp dụng chúng cho mảng biến ngẫu nhiên trong không gian Banach p-khả trơn. Ngoài ra, luận án cũng khảo sát hội tụ theo trung bình bậc p. Các dạng luật yếu số lớn cũng được nghiên cứu. Đặc biệt là luật yếu số lớn Feller. Nó cũng xem xét luật yếu số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên dưới điều kiện khả tích đều. Các mục tiêu này nhằm phát triển lý thuyết xác suất định chuẩn. Chúng cung cấp cái nhìn sâu sắc về hành vi giới hạn của các cấu trúc ngẫu nhiên phức tạp. Đây là một đóng góp quan trọng cho giải tích hàm và lý thuyết xác suất.
II. Cơ sở lý thuyết Không gian Banach p khả trơn
Nghiên cứu về luật số lớn trong không gian Banach đòi hỏi kiến thức nền tảng vững chắc. Đặc biệt là về tính chất hình học của không gian Banach. Không gian Banach p-khả trơn đóng vai trò trung tâm trong luận án này. Lớp không gian này có các đặc tính cụ thể. Chúng ảnh hưởng trực tiếp đến hành vi hội tụ của biến ngẫu nhiên. Giải tích hàm cung cấp công cụ cần thiết. Các khái niệm như kỳ vọng có điều kiện và các dạng hội tụ được sử dụng. Sự hội tụ của mảng biến ngẫu nhiên là đối tượng chính. Luận án xây dựng khung lý thuyết. Nó cho phép phân tích sự hội tụ. Các biến ngẫu nhiên có giá trị trong không gian Banach. Sự khác biệt so với không gian Euclid được nhấn mạnh. Các không gian kiểu p (Type p spaces) và không gian Cokieu q (Cotype q spaces) là những khái niệm liên quan. Chúng giúp phân loại và hiểu rõ hơn về tính chất của không gian Banach. Nghiên cứu này đặt nền tảng cho các kết quả chính về luật số lớn.
2.1. Kiến thức chuẩn bị về xác suất
Chương đầu tiên của luận án tập trung vào các kiến thức cơ bản. Kiến thức này cần thiết cho việc nghiên cứu luật số lớn. Kì vọng có điều kiện là một khái niệm trọng yếu. Nó được sử dụng để phân tích các biến ngẫu nhiên phụ thuộc. Các dạng hội tụ của mảng biến ngẫu nhiên cũng được trình bày. Bao gồm hội tụ theo xác suất, hội tụ hầu chắc chắn, và hội tụ theo phân phối. Sự hiểu biết về các dạng hội tụ này là nền tảng. Nó giúp đánh giá tính chính xác của các định lý giới hạn. Các định nghĩa và tính chất cơ bản được nhắc lại. Chúng bao gồm các kí hiệu dùng trong luận án. Việc chuẩn bị kỹ lưỡng này đảm bảo tính chặt chẽ. Nó hỗ trợ việc phát triển các kết quả mới. Đặc biệt là cho biến ngẫu nhiên có giá trị trong không gian Banach.
2.2. Định nghĩa không gian Banach p khả trơn
Không gian Banach p-khả trơn là một lớp không gian quan trọng. Nó có những tính chất hình học đặc biệt. Những tính chất này ảnh hưởng đến lý thuyết xác suất trong không gian định chuẩn. Một không gian Banach được gọi là p-khả trơn nếu nó thỏa mãn một điều kiện nhất định. Điều kiện này liên quan đến độ 'trơn' của chuẩn. Cụ thể, nó liên quan đến tốc độ suy giảm của các kỳ vọng đối với các biến Rademacher. Định nghĩa này giúp phân loại các không gian Banach. Nó cho phép áp dụng các kỹ thuật phân tích khác nhau. Các không gian kiểu p và không gian Cokieu q là các khái niệm liên quan chặt chẽ. Chúng cung cấp khung lý thuyết để nghiên cứu các định lý giới hạn. Việc hiểu rõ không gian Banach p-khả trơn là chìa khóa. Nó giúp thiết lập các điều kiện chính xác cho luật số lớn.
2.3. Biến ngẫu nhiên có giá trị trong không gian Banach
Biến ngẫu nhiên có giá trị trong không gian Banach là một mở rộng quan trọng. Nó mở rộng khái niệm biến ngẫu nhiên truyền thống. Các giá trị của biến ngẫu nhiên này không chỉ là số thực. Chúng là các phần tử trong một không gian Banach. Lý thuyết xác suất định chuẩn nghiên cứu hành vi của chúng. Việc này đòi hỏi sự kết hợp giữa lý thuyết xác suất và giải tích hàm. Các thuộc tính của không gian Banach, như tính p-khả trơn, trở nên cực kỳ quan trọng. Chúng ảnh hưởng đến sự tồn tại và tính chất của kỳ vọng. Chúng cũng ảnh hưởng đến sự hội tụ của các tổng biến ngẫu nhiên. Luận án này đặt trọng tâm vào các biến ngẫu nhiên như vậy. Nó xem xét cách các đặc tính của không gian nền ảnh hưởng đến luật số lớn. Các kết quả cung cấp hiểu biết sâu sắc. Chúng về cách các biến ngẫu nhiên hoạt động trong các không gian trừu tượng.
III. Luật mạnh số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên trong Banach
Luật mạnh số lớn là một trọng tâm của nghiên cứu. Nó khẳng định sự hội tụ hầu chắc chắn của trung bình cộng. Luận án mở rộng các định lý cổ điển cho mảng biến ngẫu nhiên. Các biến này có giá trị trong không gian Banach p-khả trơn. Việc này đòi hỏi các kỹ thuật phân tích phức tạp hơn. Đặc biệt là khi xử lý các biến ngẫu nhiên không độc lập. Nghiên cứu này đưa ra các điều kiện mới. Những điều kiện này đảm bảo sự hội tụ. Kết quả là sự phát triển của lý thuyết xác suất định chuẩn. Định lý Kolmogorov và Marcinkiewicz-Zygmund là các điểm nhấn. Chúng được tổng quát hóa cho môi trường không gian Banach. Các chứng minh đòi hỏi sự khéo léo. Chúng sử dụng tính chất hình học của không gian. Sự hội tụ hầu chắc chắn là một kết quả mạnh mẽ. Nó có nhiều ứng dụng trong lý thuyết và thực tiễn. Nghiên cứu cung cấp một cái nhìn sâu sắc. Nó vào hành vi của các tổng ngẫu nhiên trong không gian trừu tượng.
3.1. Nghiên cứu chuỗi kép biến ngẫu nhiên
Luận án xem xét chuỗi kép các biến ngẫu nhiên hai chỉ số. Đây là bước đầu tiên trong việc nghiên cứu mảng biến ngẫu nhiên. Sự hội tụ của chuỗi kép là nền tảng. Nó cho việc thiết lập luật mạnh số lớn. Các điều kiện cho sự hội tụ của chuỗi này được thiết lập. Chúng dựa trên các tính chất của không gian Banach p-khả trơn. Các kết quả này mở rộng các định lý về chuỗi biến ngẫu nhiên thực. Việc xử lý hai chỉ số làm tăng độ phức tạp. Các kỹ thuật ước lượng chuẩn được sử dụng. Chúng đảm bảo sự hội tụ của tổng riêng. Sự hiểu biết về chuỗi kép rất quan trọng. Nó là cầu nối để chuyển từ dãy sang mảng. Đây là một đóng góp cụ thể cho lý thuyết xác suất định chuẩn.
3.2. Định lý Luật mạnh số lớn Kolmogorov
Một trong những đóng góp chính là việc tổng quát hóa định lý luật mạnh số lớn Kolmogorov. Định lý này được áp dụng cho mảng biến ngẫu nhiên. Các biến ngẫu nhiên này nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn. Định lý Kolmogorov cổ điển yêu cầu độc lập và phân phối giống nhau. Luận án tìm các điều kiện yếu hơn. Các điều kiện này vẫn đảm bảo sự hội tụ hầu chắc chắn. Tính chất của không gian p-khả trơn là yếu tố then chốt. Nó giúp kiểm soát hành vi của các tổng ngẫu nhiên. Các kết quả này mở rộng đáng kể phạm vi ứng dụng của luật số lớn. Chúng cho phép phân tích các tình huống thực tế phức tạp hơn. Đây là một bước tiến quan trọng. Nó trong việc xây dựng lý thuyết cho mảng biến ngẫu nhiên.
3.3. Luật mạnh Marcinkiewicz Zygmund mở rộng
Luận án cũng nghiên cứu luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund. Định lý này được mở rộng cho mảng biến ngẫu nhiên. Các biến này có giá trị trong không gian Banach p-khả trơn. Luật Marcinkiewicz-Zygmund là một dạng tổng quát hơn của luật số lớn. Nó cho phép các biến ngẫu nhiên có kỳ vọng không tồn tại. Hoặc có phương sai vô hạn. Các điều kiện cho sự hội tụ được xác định. Chúng dựa trên các chuẩn Lp và tính chất của không gian. Kết quả này cung cấp một công cụ mạnh mẽ. Nó để phân tích các biến ngẫu nhiên có đuôi nặng. Sự hội tụ hầu chắc chắn vẫn là mục tiêu chính. Các phương pháp mới được phát triển. Chúng giải quyết các thách thức từ tính chất hình học của không gian. Nghiên cứu này làm sâu sắc thêm hiểu biết về luật số lớn.
IV. Hội tụ trung bình luật yếu số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên
Bên cạnh luật mạnh, luận án cũng khảo sát luật yếu số lớn và hội tụ theo trung bình. Đây là những khái niệm quan trọng trong lý thuyết xác suất định chuẩn. Hội tụ theo trung bình bậc p là một dạng hội tụ yếu hơn hội tụ hầu chắc chắn. Tuy nhiên, nó có nhiều ứng dụng thực tiễn. Nghiên cứu này tập trung vào mảng biến ngẫu nhiên có giá trị trong không gian Banach p-khả trơn. Khả tích đều là một điều kiện then chốt. Nó đảm bảo sự hội tụ theo trung bình. Các định lý giới hạn yếu được thiết lập. Chúng bao gồm luật yếu số lớn Feller. Nó cũng bao gồm luật yếu cho mảng biến ngẫu nhiên khả tích đều. Các kết quả này bổ sung cho luật mạnh. Chúng cung cấp cái nhìn toàn diện về hành vi giới hạn của mảng biến ngẫu nhiên. Các phương pháp từ giải tích hàm được tích hợp. Điều này nâng cao khả năng phân tích.
4.1. Khả tích đều Cơ sở cho hội tụ
Khả tích đều là một điều kiện thiết yếu. Nó đảm bảo sự hội tụ trong Lp. Một tập hợp các biến ngẫu nhiên được gọi là khả tích đều. Nếu các kỳ vọng của chúng không 'thoát' ra khỏi một giá trị hữu hạn. Điều kiện này đặc biệt quan trọng. Nó khi xem xét luật yếu số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên. Luận án sử dụng khái niệm này. Nó thiết lập các định lý hội tụ theo trung bình. Khả tích đều giúp kiểm soát hành vi của các biến ngẫu nhiên. Đặc biệt là ở các giá trị lớn. Việc hiểu rõ và áp dụng điều kiện khả tích đều là rất quan trọng. Nó cho việc chứng minh các kết quả về luật yếu số lớn. Đây là một yếu tố cơ bản trong lý thuyết xác suất định chuẩn.
4.2. Định lí hội tụ theo trung bình
Luận án phát triển các định lí hội tụ theo trung bình bậc p. Các định lí này áp dụng cho mảng biến ngẫu nhiên. Các biến này nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn. Hội tụ theo trung bình có nghĩa là trung bình của các biến ngẫu nhiên hội tụ về kỳ vọng trong chuẩn Lp. Các điều kiện để đảm bảo sự hội tụ này được xác định. Chúng bao gồm điều kiện khả tích đều. Kết quả này mở rộng các định lí cổ điển về hội tụ trong Lp. Nó áp dụng cho môi trường không gian định chuẩn. Sự hiểu biết về hội tụ theo trung bình là cần thiết. Nó cho việc phân tích tính ổn định của các ước lượng. Định lí này là một đóng góp quan trọng. Nó cho lý thuyết xác suất và giải tích hàm.
4.3. Luật yếu số lớn Feller và mảng khả tích đều
Luận án nghiên cứu luật yếu số lớn Feller. Luật này được mở rộng cho mảng biến ngẫu nhiên trong không gian Banach p-khả trơn. Luật yếu số lớn Feller cung cấp các điều kiện để trung bình cộng hội tụ theo xác suất về kỳ vọng. Ngoài ra, luận án cũng thiết lập các luật yếu số lớn mới. Các luật này áp dụng cho mảng biến ngẫu nhiên dưới điều kiện khả tích đều. Điều kiện khả tích đều là một giả thiết quan trọng. Nó giúp đơn giản hóa các chứng minh. Đồng thời đảm bảo sự hội tụ. Các kết quả này củng cố thêm hiểu biết về hành vi giới hạn. Chúng đặc biệt hữu ích khi các điều kiện cho luật mạnh không được thỏa mãn. Các đóng góp này làm phong phú lý thuyết xác suất định chuẩn.
V. Kết luận đóng góp Lý thuyết xác suất định chuẩn
Luận án đã đạt được nhiều kết quả quan trọng. Các kết quả này về luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên. Các biến này có giá trị trong không gian Banach p-khả trơn. Các dạng luật mạnh và luật yếu số lớn đã được thiết lập. Bao gồm các phiên bản tổng quát của định lý Kolmogorov và Marcinkiewicz-Zygmund. Nghiên cứu cũng khảo sát hội tụ theo trung bình và luật yếu Feller. Điều kiện khả tích đều đóng vai trò then chốt. Các đóng góp này làm giàu thêm lý thuyết xác suất định chuẩn. Chúng cung cấp các công cụ phân tích mới. Các công cụ này dùng cho các hệ thống ngẫu nhiên phức tạp. Luận án đã làm sâu sắc thêm hiểu biết về mối liên hệ. Mối liên hệ giữa tính chất hình học của không gian Banach và hành vi hội tụ của biến ngẫu nhiên. Đây là một bước tiến đáng kể trong lĩnh vực này.
5.1. Tóm tắt kết quả chính
Nghiên cứu đã thành công trong việc mở rộng luật số lớn. Nó mở rộng cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn. Các định lý luật mạnh số lớn Kolmogorov và Marcinkiewicz-Zygmund đã được chứng minh. Chúng áp dụng cho chuỗi kép các biến ngẫu nhiên hai chỉ số. Các điều kiện cho hội tụ hầu chắc chắn được xác định rõ ràng. Hơn nữa, luận án đã thiết lập các định lí hội tụ theo trung bình bậc p. Các luật yếu số lớn Feller và luật yếu cho mảng khả tích đều cũng được phát triển. Các kết quả này cung cấp một cái nhìn toàn diện. Nó về các dạng hội tụ khác nhau. Chúng đều trong bối cảnh không gian Banach trừu tượng. Đây là những đóng góp có ý nghĩa lý thuyết cao. Chúng làm phong phú thêm giải tích hàm và lý thuyết xác suất.
5.2. Hướng nghiên cứu tiếp theo
Các kết quả trong luận án mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới. Một hướng tiềm năng là mở rộng các định lý này. Nó cho các lớp không gian Banach rộng hơn. Ví dụ, các không gian kiểu p hoặc Cokieu q. Các dạng biến ngẫu nhiên khác cũng có thể được xem xét. Bao gồm các biến ngẫu nhiên phụ thuộc phức tạp hơn. Việc nghiên cứu luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên nhiều hơn hai chỉ số là một thách thức khác. Các ứng dụng trong các lĩnh vực cụ thể cũng là một hướng đi. Ví dụ, trong xử lý tín hiệu ngẫu nhiên hoặc tài chính định lượng. Việc khám phá mối liên hệ sâu sắc hơn. Mối liên hệ giữa tính chất hình học của không gian và tốc độ hội tụ cũng rất hấp dẫn. Các nghiên cứu tiếp theo có thể tận dụng các công cụ mới từ lý thuyết toán học.
5.3. Ý nghĩa thực tiễn
Các đóng góp của luận án có ý nghĩa lý thuyết sâu sắc. Chúng cũng tiềm năng cho các ứng dụng thực tiễn. Việc hiểu rõ hành vi giới hạn của mảng biến ngẫu nhiên. Đặc biệt trong các không gian trừu tượng, có thể ứng dụng trong nhiều lĩnh vực. Ví dụ, trong mô hình hóa các hệ thống phức tạp. Bao gồm các mạng lưới cảm biến hoặc dữ liệu lớn. Các kết quả về luật số lớn cung cấp cơ sở để xây dựng các thuật toán mạnh mẽ hơn. Các thuật toán này trong thống kê suy luận và học máy. Nó giúp đánh giá tính chính xác của các ước lượng. Nó cũng giúp dự đoán hành vi của các hệ thống ngẫu nhiên. Luận án đóng góp vào nền tảng tri thức chung. Nó cho phép giải quyết các vấn đề thực tiễn một cách hiệu quả hơn. Đây là một bước tiến trong việc áp dụng lý thuyết xác suất định chuẩn.
Mục lục chi tiết luận án
Tải xuống file đầy đủ để xem toàn bộ nội dung
Tải đầy đủ (75 trang)Trích đoạn nội dung luận án
Tải xuống để đọc toàn bộĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ VĂN DŨNG MỘT SỐ DẠNG LUẬT SỐ LỚN CHO MẢNG BIẾN NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH p-KHẢ TRƠN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2013 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Lê Văn Dũng MỘT SỐ DẠNG LUẬT SỐ LỚN CHO MẢNG BIẾN NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH p-KHẢ TRƠN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. Nguyễn Duy Tiến Hà Nội - 2013 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác. Tác giả Lê Văn Dũng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.
Nguyễn Duy Tiến. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy vì sự định hướng và sự gợi mở vấn đề của Thầy trong nghiên cứu, sự nghiêm khắc của Thầy trong học tập và vì tình thương của Thầy dành cho tác giả trong cuộc sống. Trong quá trình học tập và hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và góp ý của GS. Nguyễn Hữu Dư, GS.
Nguyễn Văn Hữu, TS. Nguyễn Văn Hùng, TS. Nguyễn Hắc Hải, PGS. Hồ Đăng Phúc, PGS.
Phạm Ngọc Phúc, PGS. Nguyễn Văn Quảng, PGS. Trần Hùng Thao, GS. Đặng Hùng Thắng, PGS.
TS Phan Viết Thư, TS. Tác giả xin chân thành cảm ơn tới quý thầy và bạn Lê Văn Thành về sự giúp đỡ quý báu đó. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội, nơi tác giả đã học tập và nghiên cứu từ năm 2008 tới nay. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Thầy, Cô ở Bộ môn Lý thuyết xác suất và thống kê toán, Khoa Toán - Cơ - Tin học đã giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành luận án.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Sư phạm - Đại học Đà Nẵng, các đồng nghiệp Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm, nơi tác giả đang công tác và giảng dạy. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tất cả thầy cô, gia đình và bạn bè đã góp ý, ủng hộ và động viên tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận án. Lê Văn Dũng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỤC LỤC Những kí hiệu dùng trong luận án 4 Mở đầu 5 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 9 1.1 Kì vọng có điều kiện .2 Một số dạng hội tụ của mảng biến ngẫu nhiên .3 Không gian Banach p-khả trơn.
Luật mạnh số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên 18 2.1 Chuỗi kép các biến ngẫu nhiên 2 chỉ số .2 Luật mạnh số lớn. Hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên 44 3.1 Khả tích đều .2 Định lí hội tụ theo trung bình .3 Luật yếu số lớn Feller .4 Luật yếu số lớn đối với mảng khả tích đều. 62 Kết luận và kiến nghị 66 Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 67 Tài liệu tham khảo 68 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN N Tập hợp các số nguyên dương R Tập hợp các số thực E Không gian Banach thực và khả ly k·k Chuẩn trên không gian Banach E B(E) σ -đại số Borel trên không gian Banach E (Ω, F, P ) Không gian xác suất đầy đủ Card(A) Số phần tử của tập hợp A I(A) Hàm chỉ tiêu của tập hợp A a := b a được gán bằng b (k, l) ≺ (m, n) k ≤ m và l ≤ n m∨n max{m, n} m∧n min{m, n} log(x) logarit cơ số e của x log+ (x) max{log(x), 0} [x] Số nguyên lớn nhất không vượt quá x. 4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU 1.
Lí do chọn đề tài 1. Kolmogorov đã từng nói "Giá trị chấp nhận được của lý thuyết xác suất là các định lí giới hạn, các kết quả chủ yếu nhất và quan trọng nhất của lý thuyết xác suất là các luật số lớn", và luật số lớn được đánh giá là một trong ba viên ngọc quý của lý thuyết xác suất. Ngày nay, luật số lớn vẫn đang là vấn đề có tính thời sự của lý thuyết xác suất. Từ những năm 1950 trở lại đây, luật số lớn đã được nghiên cứu mở rộng cho dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.
Ngày nay vấn đề này vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu. Luật số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên martingale nhận giá trị trong không gian Banach đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả có tên tuổi. Tuy nhiên việc mở rộng khái niệm martingale cho mảng nhiều chỉ số gặp khó khăn nên các định lí giới hạn đối với mảng nhiều chỉ số các biến ngẫu nhiên không độc lập vẫn chưa được nghiên cứu nhiều. Với các lí do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: Một số dạng luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn.
Mục đích nghiên cứu Luận án nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi kép, luật mạnh số lớn Kol- mogorov và luật mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund đối với mảng biến ngẫu nhiên, hội tụ theo trung bình bậc p, luật yếu số lớn Feller và luật yếu số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên dưới điều kiện khả tích đều. Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach. 5 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Phạm vi nghiên cứu Luận án nghiên cứu luật số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.
Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi sử dụng các kĩ thuật của giải tích và xác suất, kĩ thuật martingale để chứng minh các định lí hội tụ. Một số bổ đề quan trọng như: Bổ đề Borel-Cantelli, Bổ đề Toeplitz và Bất đẳng thức cực đại Kolmogorov, Bất đẳng thức Doob,. cũng được sử dụng để chứng minh các kết quả. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Ý nghĩa khoa học: góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sự hiểu biết về sự hội tụ của chuỗi, luật mạnh số lớn, hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach.
Ý nghĩa thực tiễn: luận án góp phần phát triển lý thuyết về các định lí giới hạn của mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach trong lý thuyết xác suất. Tổng quan và cấu trúc luận án 7. Tổng quan luận án. Các định lí giới hạn trong lý thuyết xác suất nói chung và luật số lớn nói riêng đóng vai trò quan trọng trong phát triển lý thuyết và thực hành xác suất và thống kê.
Luật số lớn đầu tiên của James Bernoulli được công bố năm 1713. Về sau, kết quả này được Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mở rộng. Tuy nhiên, phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn mới được E. Borel phát hiện.
Kết quả này của Borel được Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1926. Luật mạnh số lớn Kolmogorov phát biểu rằng: Nếu {Xn } là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập với các moment bậc 2 hữu hạn, {bn } là dãy các hằng số sao cho 0 < bn ↑ ∞. Khi đó, nếu ∞ X DXn <∞ n=1 b2n thì Sn − ESn → 0 h., bn 6 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com trong đó Sn = X1 + X2 +. Sau khi Day [10] đưa ra khái niệm không gian Banach p-khả trơn, đã có rất nhiều tác giả nghiên cứu luật số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn như: Woyczyński, Hoffmann- Jørgensen, Pisier,.
Assouad [2] đã đưa ra điều kiện cần và đủ để một không gian Banach thực khả ly là không gian p-khả trơn dựa trên dãy biến ngẫu nhiên martingale. Hoffmann-Jørgensen và Pisier [22] đã đưa ra được tính chất đặc trưng của không gian p-khả trơn về luật số lớn Kolmogorov. Trong những năm gần đây nhiều tác giả vẫn tiếp tục nghiên cứu các định lí giới hạn trên không gian p-khả trơn như: Nguyễn Văn Quảng [33, 34, 35], Volodin, A. và đã thu được nhiều kết quả quan trọng.
Việc nghiên cứu các định lí hội tụ theo trung bình bậc p cũng là một hướng để thu được luật yếu số lớn. Các tác giả thu được nhiều kết quả về hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên trong những năm gần đây phải kể đến là Adler, A. Trong luận án này chúng tôi tiếp tục nghiên cứu luật số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn. Việc mở rộng khái niệm martingale sang mảng nhiều chiều gặp phải khó khăn trong xây dựng quan hệ thứ tự.
Mặc dù vậy, cũng đã có một số tác giả xây dựng khái niệm martingale đối với mảng nhiều chiều. Trong luận án này thay vì xây dựng khái niệm martingale cho mảng 2 chiều, chúng tôi đã xây dựng mảng σ -đại số ngay trên mảng biến ngẫu nhiên đã cho để sao cho vẫn thu được bất đẳng thức cực đại đối với mảng nhiều chiều tương tự bất đẳng thức cực đại trong mảng 1 chiều. Vì đây là bất đẳng thức quan trọng nhất trong thiết lập luật số lớn. Việc mở rộng cho trường hợp d (d > 2) chiều hoàn toàn tương tự trường hợp mảng 2 chiều nên trong luận án này chúng tôi chỉ xét cho mảng biến ngẫu nhiên 2 chiều.
Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại các hội nghị: Hội nghị toàn quốc lần thứ 4 về Xác suất và thống kê (Vinh, 5/2010), Hội Nghị 7 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Khoa Học Khoa Toán - Cơ - Tin học (trường ĐH Khoa học Tự nhiên- ĐHQG Hà Nội, 10/2010), và đã được đăng ở các tạp chí: Acta Mathematica Vietnamica, Statistics and Probability Letters, Lobachevskii Journal of Mathematics, Bulletin of the Korean Mathematical Society, Journal of the Korean Mathematical Society.2 Cấu trúc luận án. Ngoài phần mở đầu, Kết luận, Danh mục các bài báo của nghiên cứu sinh liên quan đến luận án và tài liệu tham khảo, luận án được trình bày trong ba chương.
Nội dung được bảo vệ bản quyền — Tải xuống đầy đủ
Trích dẫn luận án này
Lê Văn Dũng (2013). Luận án tiến sĩ: Luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên trong không gian Banach p-khả trơn [Luận án tiến sĩ, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội]. LuanAn.net. https://luanan.net/toan-hoc/xac-suat-thong-ke/luan-an-tien-si-luat-so-lon-mang-bien-ngau-nhien-khong-gian-banach-p-kha-tron
Câu hỏi thường gặp
Luận án "Luận án tiến sĩ: Luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên trong không gian Banach p-khả trơn" nghiên cứu về vấn đề gì?
Luận án tiến sĩ nghiên cứu luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên trong không gian Banach p-khả trơn, đóng góp phương pháp mới trong xác suất thống kê.
Luận án "Luận án tiến sĩ: Luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên trong không gian Banach p-khả trơn" được bảo vệ tại trường nào?
Luận án này được bảo vệ tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội. Năm bảo vệ: 2013.
Luận án "Luận án tiến sĩ: Luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên trong không gian Banach p-khả trơn" thuộc chuyên ngành gì?
Luận án "Luận án tiến sĩ: Luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên trong không gian Banach p-khả trơn" thuộc chuyên ngành Lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Danh mục: Xác Suất Thống Kê.
Luận án "Luận án tiến sĩ: Luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên trong không gian Banach p-khả trơn" có bao nhiêu trang?
Luận án "Luận án tiến sĩ: Luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên trong không gian Banach p-khả trơn" có 75 trang. Bạn có thể xem trước một phần tài liệu ngay trên trang web trước khi tải về.
Cách tải luận án "Luận án tiến sĩ: Luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên trong không gian Banach p-khả trơn" về máy như thế nào?
Để tải luận án về máy, bạn nhấn nút "Tải xuống ngay" trên trang này, sau đó hoàn tất thanh toán phí lưu trữ. File sẽ được tải xuống ngay sau khi thanh toán thành công. Hỗ trợ qua Zalo: 0559 297 239.