Luận án Tiến sĩ: Sự ổn định của một vài lớp phương trình sai phân dạng phân thức - Trần Hồng Thái

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN HỒNG THÁI SỰ ỔN ĐỊNH CỦA MỘT VÀI LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN DẠNG PHÂN THỨC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRẦN HỒNG THÁI SỰ ỔN ĐỊNH CỦA MỘT VÀI LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN DẠNG PHÂN THỨC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 9460101.02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: 1. Lê Đình Định Hà Nội - 2019 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. Vũ Văn Khương và TS. Lê Đình Định.

Các kết quả được công bố trong 05 bài báo viết chung đã được đồng tác giả cho phép sử dụng trong luận án và 01 bài báo của tác giả luận án. Các kết quả trong luận án là mới, trung thực và chưa từng được công bố trong các công trình khoa học của tác giả nào khác. Hà Nội, ngày 17 tháng 7 năm 2019 Tác giả luận án Trần Hồng Thái 1 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. Vũ Văn Khương và TS.

Lê Đình Định. Các Thầy đã dành nhiều thời gian, công sức, tận tâm dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học, luôn động viên khích lệ tác giả vượt lên những khó khăn trong học tập và cuộc sống. Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất đối với các Thầy. Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án, tác giả luôn nhận được sự quan tâm, động viên, giúp đỡ của các thầy, cô trong bộ môn Giải tích, khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG Hà Nội, đặc biệt là GS.

Nguyễn Văn Mậu và TS. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất. Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Cơ - Tin học, trường Đại học KHTN - ĐHQG Hà Nội đã tạo những điều kiện thuận lợi trong quá trình học tập và hoàn thành luận án này. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Khoa học cơ bản và các đồng nghiệp trong bộ môn Toán, trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Hưng Yên đã hết sức quan tâm, động viên, giúp đỡ cho tác giả có thời gian và điều kiện để chuyên tâm nghiên cứu khoa học.

Cuối cùng, tác giả xin chia sẻ niềm vui lớn này với bạn bè, người thân và gia đình, những người luôn sát cánh động viên giúp đỡ tác giả hoàn thành luận án này. 2 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Lời cam đoan 1 Lời cảm ơn 2 Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt 6 Danh mục các hình vẽ, đồ thị 7 Mở đầu 8 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 14 1.1 Phương trình sai phân cấp cao .2 Phân tích sự ổn định tuyến tính .3 Kết quả so sánh .4 Định lý hội tụ .2 Hệ phương trình sai phân .1 Các định nghĩa về ổn định .2 Hệ tuyến tính hóa của hệ phương trình sai phân. 21 Chương 2: Sự ổn định của điểm cân bằng của một số dạng phương trình sai phân cấp cao dạng phân thức 24 2.1 Sự ổn định tiệm cận của nghiệm của phương trình sai phân cấp hai dạng phân thức. 25 3 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.1 Sự ổn định tiệm cận của điểm cân bằng của phương trình (2.2 Sự ổn định tiệm cận của điểm cân bằng của phương trình (2.2 Dạng tiệm cận của nghiệm của phương trình sai phân cấp ba dạng phân thức .1 Đặt vấn đề và khái niệm mở đầu .2 Dạng tiệm cận của nghiệm của phương trình (2.3 Sự ổn định toàn cục của nghiệm của phương trình sai phân cấp bốn dạng phân thức .1 Đặt bài toán .2 Sự ổn định tiệm cận toàn cục của điểm cân bằng 46 2.3 Ví dụ minh họa.

49 Chương 3: Sự ổn định tiệm cận của điểm cân bằng của một số hệ phương trình sai phân dạng phân thức 54 3.1 Sự ổn định tiệm cận của nghiệm của hệ phương trình sai phân cấp một dạng phân thức .1 Đặt bài toán .2 Tính bị chặn của nghiệm .3 Phân tích sự ổn định của nghiệm .4 Ví dụ minh họa .2 Sự ổn định tiệm cận của nghiệm của hệ phương trình sai phân cấp hai dạng phân thức .1 Đặt bài toán .2 Tính bị chặn của nghiệm .3 Phân tích sự ổn định của nghiệm. 77 4 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.4 Ví dụ minh họa. 85 Kết luận và kiến nghị 95 Danh mục các công trình khoa học đã công bố của luận án 96 Tài liệu tham khảo 97 5 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT N tập số tự nhiên Z tập số nguyên Z+ tập số nguyên không âm R tập số thực R+ tập số thực không âm Rk không gian véc tơ thực k−chiều {xn }∞ n=−k dãy số thực x điểm cân bằng JF ma trận Jacobi kxk chuẩn của véc tơ x B(a, r) quả cầu mở tâm a bán kính r xT chuyển vị của véc tơ x ∈ Rk ∅ tập rỗng x∈A phần tử x thuộc tập A x∈ /A phần tử x không thuộc tập A J khoảng của tập số thực A×B tích Decartes của hai tập A và B ∃x tồn tại x ∀x với mọi x lim xn giới hạn của dãy số {xn } n→∞ limn→∞ xn giới hạn dưới của dãy số {xn } limn→∞ xn giới hạn trên của dãy số {xn } tr. 5 trang 5 2 kết thúc chứng minh 6 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Hình vẽ Trang Hình 2.8 93 7 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU 1.

Tổng quan về hướng nghiên cứu và lý do chọn đề tài Phương trình sai phân xuất hiện trong nhiều lĩnh vực của đời sống xã hội: kinh tế, sinh học, y học, toán học,. Thí dụ, để dự báo dân số của một tỉnh nào đó, theo dân số năm 2018 là A, tốc độ tăng dân số là a%, ta làm như sau: Gọi năm 2018 là 0, năm 2019 là 1, năm 2020 là 2,. Gọi dân số năm thứ n là yn , khi đó dân số năm thứ (n+1) là yn+1 = yn + a%.yn = a
1+ yn và ta đưa việc dự báo dân số về việc giải phương trình sai 100 phân  yn+1 = 1 + a yn ,    100 y0 = A.  Thí dụ khác, để tìm nghiệm của phương trình đại số hoặc siêu việt f (x) = 0 (1) trên (a; b), trong đó f 0 (x) và f 00 (x) không đổi dấu và f (a).

Phương trình sai phân xuất hiện ở dạng tuyến tính hoặc phi tuyến. Đã có những phương pháp giải để tìm nghiệm tường minh của nhiều 8 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com lớp phương trình tuyến tính. Đối với phương trình phi tuyến thì chưa có phương pháp chung để giải do sự đa dạng của các kiểu phương trình. Nghiên cứu các phương trình và hệ phương trình sai phân phi tuyến đã được bắt đầu từ lâu nhưng phát triển mạnh nhất là từ cuối thế kỷ XX và hơn một thập kỷ đầu của thế kỷ XXI.

Việc nghiên cứu đó thu hút rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Ở nước ngoài, có thể kể đến các tên tuổi lớn như R. Ladas [4, 5, 45, 53, 54, 56], gần đây nhất có thể kể đến các nghiên cứu của Q. Stefanidou [67, 68, 69, 70, 71, 72, 74] và các nhà toán học khác như E.

Ở trong nước, có thể xem các nghiên cứu của Phạm Kỳ Anh, [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12], Đặng Vũ Giang, Đinh Công Hướng [31, 32, 35, 36, 37, 38, 39], Vũ Văn Khương [40, 41, 42, 43, 44]. Phương trình sai phân phi tuyến cấp lớn hơn một có vai trò rất quan trọng trong ứng dụng mà ở đó thế hệ thứ (n + 1) của hệ phụ thuộc vào n thế hệ trước đó, đặc biệt là các phương trình sai phân phi tuyến dạng phân thức. Các phương trình đó xuất hiện một cách tự nhiên như sự rời rạc hay như nghiệm số của các phương trình vi phân và vi phân có trễ mô tả các hiện tượng khác nhau trong các lĩnh vực: sinh học, sinh thái học, sinh lý học, vật lý, kỹ thuật và kinh tế, ., ví dụ như các mô hình sau: • Mô hình sản sinh tế bào máu do Mackey và Glass đề xuất, xem 9 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com trong ([45], tr., (3) 1 + xpn−k trong đó α ∈ [0; 1), p, β ∈ (0, ∞), k ∈ Z+ và các giá trị ban đầu x−k ,. • Mô hình của một loại cây hàng năm, xem trong ([45], tr., (4) (1 + axn )p + bλxn trong đó a, b, p ∈ (0, ∞), λ ∈ [1, +∞) và giá trị ban đầu x0 là số thực dương.

• Mô hình mô tả mối quan hệ giữa vật chủ và ký sinh do R. May đề xuất, xem trong ([49], tr. 168)  αxn xn+1 = ,   1 + βyn n = 0, 1, 2, ., (5) βxn yn yn+1 = ,   1 + βyn trong đó α, β ∈ (0, ∞) và các giá trị ban đầu x0 , y0 là các số dương tùy ý. • Mô hình tương tác giữa sâu đục cành và cây nho ở đồng bằng Texas, xem trong ([45], tr.

197)  αxn xn+1 =  , y e n + βyn n = 0, 1, 2, ., (6)  y = γ(x + 1)y , n+1 n n trong đó α ∈ (1, ∞), β ∈ (0, ∞), γ ∈ (0; 1) và giá trị ban đầu x0 , y0 là các số dương tùy ý. 10 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Trong cuốn chuyên khảo [48] năm 2002, M. Ladas đã tổng hợp các kết quả nghiên cứu về tính giới nội, tính ổn định toàn cục và tính tuần hoàn của lớp phương trình sai phân phân thức cấp hai có dạng α + βxn + γxn−1 xn+1 = , n = 0, 1, 2, ., (7) A + Bxn + Cxn−1 trong đó các tham số α, β, γ, A, B, C và các giá trị ban đầu x−1 , x0 là các số thực không âm sao cho A + Bxn + Cxn−1 > 0 với mọi n ≥ 0.