Luận án TS Toán ứng dụng: Tính ổn định nghiệm tối ưu hóa - Phạm Thanh Dược

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN oOo PHAM THANH DUGC LUAN AN TIEN SI TP. HO CHÍ MINH — 2023 VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH UNIVERSITY OF SCIENCE oOo PHAM THANH DUOC DOCTORAL THESIS HO CHI MINH CITY — 2023 DẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN oOo PHẠM THANH DƯỢC Ngành: Toán ứng dụng Mã số ngành: 9460112 Phản biện 1: PGS.

Nguyễn Đình Huy Phản biện 2: PGS. Tạ Quang Sơn Phản biện 3: PGS. Lé Thanh Tùng Phản biện độc lập 1: miễn Phản biện độc lập 2: miễn NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. GVHD chính: GS.

Lâm Quốc Anh 2. GVHD phụ: TS. Nguyễn Minh Tùng TP. HỒ CHÍ MINH - 2023 MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Trang thông tin luận án tiếng Việt ili Trang thông tin luận án tiếng Anh Vv Danh muc cac ki hiéu vii Chương 1.

Mở dau 1 11 Lý do chọn đề tài .2 Mục tiêu nghiên đỨU. Đối tượng và phương pháp nghiên cứu .4 Nội dung và phạm vi nghiên cứu.5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài. Tổng quan 4 Chương 3.2 Tính lồi, lõm mở rộng của ánh xạ .3 Tính liên tục của ánh xạ đa frỊ.Ặ SỐ QC 14 Chương 4. Kết quả nghiên cứu và phân tích, đánh giá, thảo luận 17 A.

Kết quả nghiên cứu .1 Các mô hình tối ưu và các dạng nghiệm .2 Các phương pháp vô hướng hoá .3 Tính liên tục của ánh xạ nghiệm. Phân tích, đánh giá, thảo luận. Kết luận và kiến nghị 46 5. ee 46 Tài liệu tham khảo 48 Danh mục các công trình khoa học 57 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan luận án tiến sĩ ngành Toán ứng dụng, với đề tài “Tính ổn định nghiệm trong tối ưu hoá” là công trình khoa học do Tôi thực hiện dưới sự hướng dan của GS.

Lâm Quốc Anh và TS. Nguyễn Minh Tùng. Những kết qua nghiên cứu của luận án hoàn toàn trung thực, chính xác, và không trùng lắp với các công trình, luận án đã công bố trong và ngoài nước. Tập thể cán bộ hướng dẫn Nghiên cứu sinh GS.

Lâm Quốc Anh TS. Nguyễn Minh Tùng Phạm Thanh Dược LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. Lâm Quốc Anh và TS. Nguyễn Minh Tùng.

Tác giả tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến hai người Thầy hướng dẫn kính mến của mình. Các Thầy không những hướng dẫn cho tác giả tích lũy kiến thức, kinh nghiệm trong nghiên cứu khoa học mà còn truyền cảm hứng, động viên và khích lệ tác giả vượt qua những khó khăn trong chuyên môn và trong cuộc sống. Làm việc với hai Thay, tác giả học được niềm say mê nghiên cứu và phong cách làm việc khoa học, trung thực và nghiêm túc. Tác giả gửi lời cảm ơn đến Ban lãnh đạo Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, Trường Dai học Khoa học Ty nhiên, Phong Đào tạo Sau Dai học, Khoa Toán-Tin học, Bộ môn Tối ưu và Hệ thống đã tạo những điều kiện tốt nhất cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.

Tác giả bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến PGS. Nguyễn Lê Hoàng Anh, TS. Võ Si Trọng Long và TS. Nguyễn Thị Thu Vân đã có những góp ý cho tác giả trong các lần báo cáo đề cương, báo cáo học thuật và báo cáo tại các hội nghị khoa học.

Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả cũng đã nhận được rất nhiều sự quan tâm và góp ý của nhiều người. Xin gửi lời cảm ơn đến TS. Phạm Thị Vui, TS. Tran Ngọc Tam, TS.

Trần Quốc Duy, TS. Dinh Vinh Hiển, NCS. Nguyễn Hữu Danh, NCS. Võ Thành Tài, ThS.

Trần Thị Thuy Dương, ThS. Nguyễn Chí Thang,. cùng với các bạn bè đồng nghiệp về những sự giúp đỡ rất quý báu đó. Cuối cùng nhưng không kém phần quan trọng, tác giả chân thành biết ơn gia đình, các bạn bè thân thiết và những người đã giúp đỡ, động viên để công việc học tập và nghiên cứu của tác giả được hoàn thành tốt đẹp.

il TRANG THONG TIN LUẬN ÁN Tên đề tài luận án: Tinh ổn định nghiệm trong tối ưu hoá Ngành: Toán ứng dụng Mã số ngành: 9460112 Họ tên nghiên cứu sinh: Phạm Thanh Dược Khóa đào tạo: 2019 Người hướng dẫn khoa học: 1. Lâm Quốc Anh 2. Nguyễn Minh Tùng Cơ sở đào tao: Trường Dai học Khoa học Ty nhiên, DHQG. TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN ÁN: Luận án nghiên cứu tính ổn định nghiệm cho các mô hình tối ưu và được cấu trúc xoay quanh các chủ đề chính sau: — Xem xét các mô hình tối ưu, bao gồm bài toán tối ưu tập, bài toán cân bằng và các dạng nghiệm hữu hiệu của chúng.

— Khảo sát các phương pháp vô hướng hoá tuyến tính và phi tuyến tính cho bài toán tối ưu tập và bài toán cân bằng. — Nghiên cứu các điều kiện ổn định cho các mô hình tối ưu: + Tính liên tục Hausdorff của ánh xạ nghiệm hữu hiệu xấp xỉ đối với bài toán tối ưu tập phụ thuộc tham số. + Tính liên tục Hausdorff của ánh xạ nghiệm xấp xỉ đối với bài toán cân bằng đa trị mạnh và yếu phụ thuộc tham số. + Tính liên tục Lipschitz của ánh xạ nghiệm xấp xỉ đối với bài toán cân bằng đơn trị phụ thuộc tham số.

+ Tính liên tục Hausdorff và liên tục Lipschitz của ánh xạ nghiệm các bai toán bao hàm thức biến phân Browder và cân bằng mạng giao thông phụ thuộc tham số. NHỮNG KET QUA MỚI CUA LUẬN ÁN: Các đóng góp mới của luận án được thể hiện qua những điểm chính sau đây: — Xây dựng và khảo sát được các tính chất của hàm vô hướng hoá dạng Gerstewitz cho các tập với quan hệ thứ tự giữa các tập theo nghĩa Kuroiwa- Nishnianidze-Young (KNY). — Thiết lap được các điều kiện đủ cho tính liên tục Hausdorff của ánh xa 11 nghiệm xấp xỉ đối với bài toán tối ưu tập phụ thuộc tham số mà không cần giả thiết tính đơn điệu, tính lồi và tính chất ngược. — Xây dựng được các điều kiện đủ cho tính liên tục Hausdorff của các ánh xạ nghiệm xấp xỉ đối với bài toán cân bằng đa trị yếu phụ thuộc tham số bằng phương pháp vô hướng hoá tuyến tính.

— Chứng minh được các điều kiện liên tục Hausdorff cho các ánh xạ nghiệm xấp xỉ đối với bài toán cân bằng đa trị mạnh phụ thuộc tham số thông qua các điều kiện lõm giảm nhẹ của ánh xạ da tri. — Khảo sát được tính liên tục Lipschitz của các ánh xạ nghiệm xấp xỉ đối với các bài toán cân bằng đơn trị phụ thuộc tham số dựa vào các điều kiện giảm nhẹ cho tính lõm của ánh xạ đơn trị và tính chất đường kính bị chặn đều của ánh xạ đa trị. — Tìm được điều kiện đủ cho tính liên tục Hausdorff đối với bao hàm thức biến phân Browder, tính liên tục Hausdorff và liên tục Lipschitz đối với bài toán cân bằng mạng giao thông. CÁC ỨNG DỤNG/ KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIEN HAY NHỮNG VẤN DE CON BO NGO CAN TIẾP TỤC NGHIEN CUU Các kết quả được trình bày trong luận án nay là cơ sở quan trọng của việc nghiên cứu tính chất nghiệm cho nhiều mô hình tối uu và ứng dụng trong các tình huống thực tế có liên quan.

Dưới đây là một số hướng nghiên cứu tiềm năng trong tương lai dựa trên những phát hiện của luận ấn: — Khảo sát điều kiện tồn tại nghiệm cho các mô hình tối ưu không lồi, không đơn điệu và không compact. — Xem xét các tính chất tôpô của tập nghiệm đối với các mô hình tối ưu thông qua các hàm vô hướng hoá đã được thảo luận trong luận ấn này va sau đó áp dụng chúng vào việc nghiên cứu các tính chất định tính cho bài toán tối ưu hai mức. — Nghiên cứu các điều kiện đủ cho tính liên tục, nửa liên tục, liên tục Hölder/ Lipschitz, tính khả vi của các dạng nghiệm khác nhau đối với các mô hình tối ưu mà không sử dụng các tính lồi, tính đơn điệu và tính compact. 1V THESIS INFORMATION Thesis title: On the stability of solutions to optimization models Speciality: Applied Mathematics Code: 9460112 Name of PhD Student: Pham Thanh Duoc Academic year: 2019 Supervisor: 1.

Lam Quoc Anh 2. Nguyen Minh Tung At: University of Science, Vietnam National University, Ho Chi Minh City 1. SUMMARY: The thesis investigates the stability of solutions to optimization models and is structured around the following key topics: — Consider optimization models, encompassing set optimization problems, equilibrium problems, and their efficient solution forms. — Investigate the linear and nonlinear scalarization methods for set optimiza- tion problems and equilibrium problems.

— Study stability conditions for the following optimization models: + The Hausdorff continuity of approximate efficient solution maps to para- metric set optimization problems. + The Hausdorff continuity of approximate solution maps to strongly and weakly parametric set-valued equilibrium problems. + The Lipschitz continuity of approximate solution maps to parametric single-valued equilibrium problems. + The Hausdorff and Lipschitz continuity of solution maps to parametric Browder variational inclusions and traffic network equilibrium problems.

NOVELTY OF THESIS: The new contributions of the thesis are evident through the following key points: — Proposing and examining the properties of Gerstewitz-type functions for sets with the KNY order relation. — Establishing sufficient conditions for the Hausdorff continuity of approx- imate efficient solution maps to parametric set optimization problems without assuming monotonicity, convexity, and converse properties. — Formulating sufficient conditions for the Hausdorff continuity of approx- imate solution maps to parametric weakly set-valued equilibrium problems by using the linear scalarization method. — Addressing Hausdorff continuity conditions for approximate solution maps to parametric strongly set-valued equilibrium problems via generalized concavity properties for set-valued maps.

— Investigating the Lipschitz continuity of approximate solution maps to parametric single-valued equilibrium problems, based on relaxed concavity con- ditions of the single-valued maps and the uniformly bounded diameter of the set-valued maps. — Identifying sufficient conditions for the Hausdorff continuity to Browder variational inclusions, as well as both the Hausdorff and Lipschitz continuity to traffic network equilibrium problems. APPLICATIONS/ APPLICABILITY/ PERSPECTIVE The results presented in this thesis can serve as a foundation for further exploration and expansion into various related areas. Here are some potential directions for future research based on the findings of the thesis: — Investigate existence conditions for solutions of nonconvex/nonmonotone/ noncompact optimization models.

— Consider topological properties of solution sets to optimization models via the nonlinear scalarization functions discussed in this work and apply to studying qualitative properties of solutions to bilevel optimization models. — Study sufficient conditions for the continuity, semicontinuity, Lipschitz/ Holder continuity, and differentiability of solution maps to optimization models without assuming convexity, monotonicity and compactness properties.