Luận án: Ứng dụng phương pháp biến phân nghiên cứu nghiệm bài toán elliptic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trịnh Thị Minh Hằng ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐỂ NGHIÊN CỨU TỒN TẠI NGHIỆM CỦA CÁC BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội- 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trịnh Thị Minh Hằng ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN ĐỂ NGHIÊN CỨU TỒN TẠI NGHIỆM CỦA CÁC BÀI TOÁN BIÊN ĐỐI VỚI TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số : 62460103 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. HOÀNG QUỐC TOÀN Hà Nội- 2014 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan những kết quả được trình bày trong luận án là mới. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Nghiên cứu sinh Trịnh Thị Minh Hằng i TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự động viên, khích lệ và hướng dẫn tận tình của PGS.

Hoàng Quốc Toàn. Nhân dịp này, nghiên cứu sinh xin được gửi tới Thầy lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất. Nghiên cứu sinh xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các Thầy phản biện: GS. Đinh Nho Hào, PGS.

Cung Thế Anh, PGS. Nguyễn Thiệu Huy cùng các Thầy trong Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp ĐHQG đã bỏ công sức đọc bản thảo và cho nghiên cứu sinh nhiều ý kiến chỉnh sửa quý báu để có thể hoàn thành tốt hơn bản luận án này. Nghiên cứu sinh xin được bày tỏ lòng cảm ơn đến Ban chủ nhiệm Khoa Toán -Cơ -Tin học, Phòng Sau đại học và Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để nghiên cứu sinh có thể hoàn thành luận án của mình. Nghiên cứu sinh cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô trong Khoa Toán-Cơ-Tin học, các thành viên của Seminar Bộ môn Giải tích Khoa Toán- Cơ Tin học cùng các bạn đồng nghiệp tại bộ môn Toán học trường Đại học Xây dựng Hà nội về sự động viên khích lệ cũng như những trao đổi hữu ích trong suốt quá trình học tập và công tác.

Cuối cùng, tôi xin chia sẻ niềm vui lớn này với bạn bè, người thân và gia đình tôi, những người luôn sát cánh động viên giúp đỡ tôi hoàn thành luận án này. Nghiên cứu sinh Trịnh Thị Minh Hằng ii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Lời cam đoan. ii Danh mục kí hiệu, định nghĩa và định lí cơ sở. 7 1 BÀI TOÁN NEUMANN CHO LỚP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH 17 1.1 Bài toán Neumann cho phương trình elliptic tựa tuyến tính với toán tử p-laplacian trong miền không bị chặn .2 Bài toán Neumann cho hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính trong miền không bị chặn .3 Sự không tồn tại và tồn tại đa nghiệm dương của hệ (p, q)- Laplacian với điều kiện biên không tuyến tính phụ thuộc tham số.

43 2 BÀI TOÁN BIÊN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC KHÔNG TUYẾN TÍNH KHÔNG ĐỀU, KHÔNG THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN AMBROSSETTI-RABINOWITZ 53 2.1 Giới thiệu bài toán .2 Sự tồn tại nghiệm yếu không âm của bài toán Dirichlet cho phương trình elliptic nửa tuyến tính không đều .3 Sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán biên Dirichlet đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính không đều có tham số. 68 1 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Kết luận. 81 Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án. 82 Tài liệu tham khảo.

83 2 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com DANH MỤC KÍ HIỆU, ĐỊNH NGHĨA VÀ ĐỊNH LÍ CỞ SỞ 1. Các kí hiệu Ω ⊂ RN là một tập đo được trong RN , Ω’ ⊂⊂ Ω là một tập compact chứa trong Ω và u : Ω −→ R là một hàm đo được Lebesgue. R Lp (Ω) = {u : Ω −→ R : |u|p dx < +∞}, 1 ≤ p < +∞ với chuẩn Ω   p1 Z ||u||Lp =  |u|p dx. C0∞ (Ω) là không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong Ω.

H m,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) : Dα u ∈ Lp (Ω), ∀|α| ≤ m} với chuẩn X ||u||H m,p = ||Dα u||Lp. Nếu Ω là một miền bị chặn thì có thể trang bị một chuẩn tương đương là X ||u||H0m,p = ||Dα u||Lp. Trong trường hợp p q p = q = 2, ta có thể viết ngắn gọn là H m (Ω). Bất đẳng thức Hölder 1 1 Với mọi u ∈ Lp (Ω) và v ∈ Lq (Ω) với + = 1, ta có p q Z u(x)v(x)dx ≤ ||u||Lp.

Ω 3 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail. Bất đẳng thức nội suy 1 δ 1−δ Giả sử Ω là một miền bị chặn trong RN , 1 < p ≤ q ≤ r, = + , δ ∈ [0, 1] q p r và u ∈ Lr (Ω). Khi đó, ||u||Lq ≤ ||u||δLp. Hàm Carathéodory Ta nói f : Ω × RN −→ R là một hàm Carathéodory nếu với mỗi x ∈ Ω cố định, hàm u 7→ f (x, u) liên tục trên RN và với mỗi u ∈ RN cố định, hàm x 7→ f (x, u) đo được trên Ω.

Đạo hàm Fréchet và đạo hàm Gâteax Giả sử X, Y là các không gian Banach, U là một tập mở trong X, x ∈ U , f : U −→ Y là một hàm xác định trên U. Ta nói f khả vi Fréchet tại điểm x nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục DF f (x) ∈ L(X, Y ) sao cho ||f (x + h) − f (x) − DF f (x)h||Y = o(||h||X ), ∀h ∈ X và x + h ∈ U. Nếu f khả vi Fréchet tại mọi x ∈ U khi đó ta nói f khả vi Fréchet trên tập U. Nếu f khả vi Fréchet tại x ∈ U và ánh xạ x 7→ DF f (x) từ U vào L(X, Y ) liên tục tại x ta nói f khả vi Fréchet liên tục tại x.

Nếu f khả vi Fréchet liên tục tại mọi x ∈ U , ta nói f khả vi Fréchet liên tục trên U và kí hiệu f ∈ C 1 (X, Y ). Ta nói f khả vi Gâteaux tại điểm x theo hướng h nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính liên tục DG f (x) ∈ L(X, Y ) sao cho f (x + th) − f (x) lim = DG f (x)h, h ∈ X. t→0 t Nếu f khả vi Gâteaux tại mọi điểm x ∈ U khi đó ta nói f khả vi Gâteaux trên tập U. Nếu f : U −→ Y khả vi Fréchet tại x thì f khả vi Gâteaux tại x.

Nếu f : U −→ R có đạo hàm Gâteaux DG f liên tục trong U thì f khả vi Fréchet và f ∈ C 1 (U, R). 4 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail. Giả sử F = F (x, u, p) : Ω × Rn+1 → R đo được với x ∈ Ω, khả vi liên tục với u ∈ R và p ∈ Rn và các điều kiện sau đây thoả mãn: 2n 1) |F (x, u, p)| ≤ C(1 + |u|s1 + |p|2 ), với s1 ≤ khi n ≥ 3; n−2 2) |Fu (x, u, p)| ≤ C(1 + |u|s2 + |p|t2 ), với t2 ≤ 2 khi n ≤ 2 và tương ứng với n+2 n+2 ∂F s2 ≤ , t2 ≤ khi n ≥ 3 ở đây Fu = ; n−2 n ∂u n ∂F 3) |Fp (x, u, p)| ≤ C(1 + |u|s3 + |p|) với s3 ≤ khi n ≥ 3, Fp =. n−2 ∂p Khi đó phiếm hàm Z E(u) = F (x, u(x), ∇u(x))dx Ω xác định một phiếm hàm C 1 trên H 1,2 (Ω).

Hơn nữa, DE(u) được cho bởi: Z hv, DE(u)i = (Fu (x, u, ∇u)v + Fp (x, u, ∇u)∇v)dx, Ω với DE(u) là đạo hàm Fréchet của E(u) tại u. Giả sử g : Ω × Rm −→ R là một hàm Carathéodory thoả mãn điều kiện 1) |g(x, u)| ≤ C(|1 + |u|s |) với s ≥ 1. Khi đó toán tử u 7→ (g(.))) là liên tục từ Lsp (Ω) vào Lp (Ω) với mỗi p ∈ [1, +∞]. Tính nửa liên tục dưới và tính nửa liên tục dưới yếu Giả sử X là một không gian Banach, f : X → R là một phiếm hàm xác định trên X.

Phiếm hàm f được gọi là nửa liên tục dưới trên X nếu với mọi dãy {um } hội tụ mạnh đến u trong X, ta đều có f (u) ≤ lim inf f (um ). m→∞ 5 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Phiếm hàm f gọi là nửa liên tục dưới yếu trên X nếu với mọi dãy {um } hội tụ yếu đến u trong X, ta đều có f (u) ≤ lim inf f (um ). m→∞ Như vậy, một phiếm hàm nửa liên tục dưới thì sẽ nửa liên tục dưới yếu nhưng điều ngược lại không đúng. Cho Ω là một miền trong Rn và giả sử rằng F : Ω × Rn × Rn → R là một hàm Caratheodory thỏa mãn điều kiện sau: 1) F (x, u, p) ≥ ϕ(x) với h.) lồi đối với p và với h.

1,1 Khi đó, nếu um , u ∈ Hloc (Ω) và um → u trong L1 (Ω’ ), ∇um hội tụ yếu đến ∇u trong L1 (Ω’ ) với mọi tập bị chặn Ω’ ⊂⊂ Ω, thì ta có E(u) ≤ lim inf E(um ), m→∞ R với E(u) = F (x, u, ∇u)dx. Ω 6 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU Phương trình đạo hàm riêng là phương tiện nghiên cứu trong nhiều ngành khoa học khác nhau, là chiếc cầu nối giữa khoa học và ứng dụng. Nhiều bài toán cơ học và vật lí được mô hình hoá toán học thông qua các phương trình đạo hàm riêng. Vấn đề chủ yếu xuyên suốt trong quá trình nghiên cứu lí thuyết và ứng dụng của ngành phương trình đạo hàm riêng là bài toán tồn tại nghiệm.

Cho đến đầu thế kỉ 20, nghiệm của một phương trình đạo hàm riêng được hiểu theo một cách chung nhất đó là các nghiệm cổ điển, tức là nghiệm khả vi đến cấp cao nhất của đạo hàm của ẩn hàm có mặt trong phương trình. Tuy nhiên, để phản ánh tương đối chính xác một quá trình vật lí hay cơ học thì mô tả nó mà chỉ quan tâm đến nghiệm cổ điển của phương trình đạo hàm riêng là chưa đủ. Vì vậy, để nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng có ý nghĩa hơn đối với đối tượng mà nó phản ánh, thì việc mở rộng khái niệm nghiệm của chúng là cần thiết. Do đó khái niệm nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng ra đời.