Luận án tiến sĩ về nghiệm của một số lớp phương trình vi tích phân tự tham chiếu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Thanh Lan VỀ NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN TỰ THAM CHIẾU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Thanh Lan VỀ NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI-TÍCH PHÂN TỰ THAM CHIẾU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: 1. Hướng dẫn chính: PGS. Nguyễn Minh Tuấn 2. Hướng dẫn phụ: GS.

Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2016 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của GS. Phạm Kỳ Anh và PGS. Nguyễn Minh Tuấn. Các kết quả trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Thanh Lan 1 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời cảm ơn Lời đầu tiên, tôi kính gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến GS. Phạm Kỳ Anh và PGS. Nguyễn Minh Tuấn. Các Thầy hướng dẫn tôi rất tận tình, luôn động viên, chỉ bảo, cho tôi những lời khuyên vô cùng bổ ích và những góp ý vô cùng quý báu, cũng như hỗ trợ kinh phí trong suốt quá trình tôi học nghiên cứu sinh.

Tôi cũng kính gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến PGS. Vũ Hoàng Linh và Ban Chủ Nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học đã tạo mọi điều kiện làm việc tốt nhất trong suốt quá trình học của tôi. Tôi kính gửi lời cảm ơn đến PGS. Vũ Hoàng Linh, PGS.

Nguyễn Hữu Điển, TS. Nguyễn Trung Hiếu và các Thầy, Cô trong Bộ môn Toán học Tính Toán đã cho tôi nhiều góp ý quý báu để luận án của tôi được tốt hơn. Tôi kính gửi lời cảm ơn chân thành đến GS. Nguyễn Văn Mậu đã luôn động viên tôi trong suốt quá trình tôi học tập ở đây.

Thầy cũng là người đã tài trợ kinh phí trong thời gian đầu tôi ra Hà Nội học tập. Tôi kính gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau đại học của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên thuộc Đại học Quốc Gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình tôi học tập tại đây. Tôi kính gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến Trường Đại học Sài Gòn đã hỗ trợ về mặt kinh phí và tạo điều kiện về thời gian cho tôi đi học nghiên cứu sinh. Tôi kính gửi lời cảm ơn đến PGS.

Phạm Hoàng Quân và Ban Chủ nhiệm Khoa Toán ứng dụng Trường Đại học Sài Gòn đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong việc hoàn thành chương trình học. Tôi cũng chân thành cảm ơn TS. Vũ Tiến Dũng (Bộ môn Tin học), TS. Vũ Nhật Huy (Bộ môn Giải tích), NCS Đặng Văn Hiếu, NCS Phạm Thị Thảo đã hỗ trợ và cho tôi những góp ý quý báu để luận án của tôi được tốt hơn.

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Mẹ và chồng, những người luôn hỗ trợ, chia sẻ công việc gia đình và không ngừng động viên tôi, cho tôi yên tâm học hành trong suốt quãng thời gian làm nghiên cứu sinh ở Hà Nội. Và tôi kính xin dành tặng thành quả này 2 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com đến người Cha kính yêu đã khuất của tôi. Một người mà dù khó khăn đến đâu cũng luôn mỉm cười, chia sẻ, khích lệ và tạo điều kiện hết sức có thể cho tôi được học hành đến nơi đến chốn trong suốt quãng đời của mình. Mặc dù có nhiều cố gắng, nhưng do kiến thức của bản thân còn nhiều hạn chế nên luận án khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo của Quý Thầy, Cô và sự góp ý chân thành của các bạn khi đọc luận án này.

Tôi xin chân thành cảm ơn. Nguyễn Thị Thanh Lan 3 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt ∂ ∂t u(x,t) Đạo hàm riêng cấp một của hàm u(x,t) theo biến t. k f k0 k f k0 = maxx∈[a,b] | f (x)|, với f : [a, b] → R là hàm liên tục. Lip(R, R) Không gian các hàm thực liên tục Lipschitz trên R.c Nửa liên tục dưới.

max{T0 , T1 } Giá trị lớn nhất trong hai giá trị T0 , T1. 4 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Trang Lời cam đoan. 2 Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt. Một số kiến thức chuẩn bị.

Một số không gian hàm. Điểm bất động của ánh xạ phi tuyến. Phương trình vi phân tự tham chiếu. Phương trình vi phân cấp một tự tham chiếu.

Hệ phương trình vi phân cấp một tự tham chiếu. Sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương. Sự tồn tại nghiệm toàn cục. Hệ phương trình vi phân cấp một tự tham chiếu có trọng.

Sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương. Sự tồn tại nghiệm toàn cục. Các ví dụ minh họa. Bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân tự tham chiếu.

Thiết lập sự tồn tại nghiệm bằng Định lý Schauder. Sử dụng dãy lặp để chứng minh sự tồn tại nghiệm. 57 5 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail. Phương trình vi phân cấp hai tự tham chiếu.

Sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương. Ví dụ minh họa. 75 Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án. 76 Tài liệu tham khảo.

77 6 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mở đầu Lý thuyết phương trình vi-tích phân có ứng dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học như Vật lí, Cơ học, Sinh học,. và đã được các nhà toán học nghiên cứu bằng các công cụ thích hợp. Tuy nhiên, trong thực tế ứng dụng, có những loại phương trình vi-tích phân phi tuyến mà hàm phải tìm lại là biến của chính nó, được gọi là các phương trình vi-tích phân tự tham chiếu. Luận án tập trung khảo sát các lớp phương trình vi-tích phân như thế.

Các phương trình vi-tích phân tự tham chiếu có cấu trúc đặc biệt, có độ phi tuyến cao, nên sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm cũng như các phương pháp tìm nghiệm gần đúng của chúng không suy ra được từ những kết quả đã biết trong lý thuyết phương trình vi phân thường. Một trong các mô hình thú vị, thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học, là các phương trình vi-tích phân ứng dụng trong di truyền học thuộc dạng tự tham chiếu. Mô hình này được Miranda và Pascali [14] mô tả dưới dạng phương trình toán tử như sau: Cho X,Y là các không gian hàm, và giả sử A : X → Y, B : X → Y là các toán tử. Xét phương trình
(Au)(x,t) = u (Bu)(x,t),t , (0.1) trong đó u = u(x,t) là hàm cần tìm thỏa mãn điều kiện đầu tại t = 0, (x,t) ∈ R × [0, +∞), A và B là các toán tử từ không gian hàm X vào không gian hàm Y.

Mối quan hệ giữa X và Y phụ thuộc vào việc A, B là toán tử vi phân hay tích phân. Bu được xem như toán tử di truyền, được biểu diễn dưới dạng vi phân hoặc tích phân, chẳng hạn như Z t (Bu)(x,t) = u(x, s)ds, 0 7 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.1) được xem là một mô hình của di truyền học.1) đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Công trình quan trọng đầu tiên về phương trình vi-tích phân tự tham chiếu được Volterra [26] công bố vào năm 1962. Khi A là toán tử vi phân và B là toán tử đồng nhất, sử dụng định lý điểm bất động Banach, ở [7], tác giả đã nhận được sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của phương trình x0 (t) = x(x(t)), (0.2) với x(t0 ) = x0 , trong đó (t0 , x0 ) là một cặp số thực cho trước bất kỳ.

Tiếp theo đó, có rất nhiều kết quả nghiên cứu về lĩnh vực này. Cụ thể như sau. Trong [18], các tác giả đã nghiên cứu phương trình tổng quát hơn (0.3) trong đó a 6= 1 và b 6= 0 là các số phức, và x : C → C là hàm biến phức cần tìm. Ở đây, các tác giả sử dụng phương pháp chuỗi hội tụ để chứng minh sự tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán (0.

Trong trường hợp a = 0 và b = 1, phương trình (0.3) trở thành phương trình (0.2) và sự tồn tại nghiệm dưới dạng giải tích cũng được chứng minh bằng định lí điểm bất động Banach.3) trở thành phương trình x0 (z) = x(az).4) Nếu |a| ≤ 1 thì phương trình (0. n=0 n! Khi a 6= 1 và b 6= 0, nghiệm dưới dạng giải tích của phương trình (0.3) có −a) thể được xây dựng trong một lân cận nào đó của số phức (β (1−a) , trong đó β thỏa mãn một trong các điều kiện sau: (H1) 0 < |β | < 1; hoặc 8 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com (H2) |β | = 1, với β không là căn bậc hai của đơn vị và 1 log ≤ µ log n, n = 2, 3,. Kỹ thuật để tìm các nghiệm trên như sau: đầu tiên các tác giả tìm nghiệm chuỗi lũy thừa của bài toán giá trị đầu  n o y0 (β z) = 1 y0 (z) y(β 2 z) − ay(β z) + a ,   β (0. Tiếp theo, các tác giả chứng minh 1   a x(z) = y β y−1 (z) − z, (0.6) b b −a là một nghiệm dưới dạng giải tích của (0.3) trong một lân cận nào đó của β1−a như trong định lý dưới đây.

Giả sử số phức β thỏa mãn giả thiết (H1) hoặc (H2). Khi đó, phương trình (0.3) có nghiệm dưới dạng giải tích x(z) được biểu diễn bởi (0.6) trong −a) một lân cận nào đó của (β (1−a) , trong đó y(z) là một nghiệm giải tích của phương trình (0. Sau đó, các tác giả đã thiết lập một nghiệm dưới dạng giải tích của (0.3) bằng biểu thức (0. Ngoài ra, trong [28], các tác giả đã nghiên cứu phương trình αz + β x0 (z) = x(az + bx0 (z)), (0.7) 9 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com trong đó α, β , a, b cũng là các số phức.

Các nghiên cứu về lĩnh vực này có thể tham khảo thêm trong các công trình ([10], [19] − [25], [27]) và những tài liệu trong đó.8) Stanek đã chứng minh được rằng nghiệm bất kỳ của phương trình (0.8) hoặc bằng 0, hoặc đơn điệu thực sự. Đồng thời, tác giả còn chứng minh được sự tồn tại duy nhất nghiệm của (0.