Luận án tiến sĩ một số vấn đề về phương trình toán tử ngẫu nhiên 62 46 15 01

Luận án tiến sĩ khám phá các vấn đề về phương trình toán tử ngẫu nhiên. Nghiên cứu tập trung vào lý thuyết, ứng dụng và phương pháp giải.

Trường ĐH
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội
Chuyên ngành
Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
Tác giả

Luan An

Thể loại

Luận án tiến sĩ

Năm xuất bản

Số trang

86

Thời gian đọc

13 phút

Lượt xem

0

Lượt tải

0

Phí lưu trữ

40 Point

Tổng quan nhanh

Chủ đề:
Giới thiệu Phương trình Toán tử Ngẫu nhiên
Số trang:
86 trang
Trường:
Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội
Chuyên ngành:
Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học
Tác giả:
Năm:

Tóm tắt nội dung luận án

I.Giới thiệu Phương trình Toán tử Ngẫu nhiên

Phương trình toán tử ngẫu nhiên là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng. Đây là sự mở rộng của lý thuyết phương trình toán tử tất định. Lĩnh vực này đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học trong sáu thập kỷ qua. Nhiều kết quả quan trọng đã được đạt được. Tuy nhiên, phần lớn các thành tựu tập trung vào lý thuyết điểm bất động ngẫu nhiên. Các nghiên cứu về điểm bất động ngẫu nhiên bắt đầu từ những năm 1950. O. Spacek đã chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ co ngẫu nhiên. Đây là phiên bản ngẫu nhiên của nguyên lý ánh xạ co Banach. Sau đó, phiên bản ngẫu nhiên của nhiều định lý điểm bất động nổi tiếng khác cũng được phát triển. Công trình của A. Bharucha-Reid đã củng cố lý thuyết này. Cuốn sách "Random integral equations" (1972) và bài báo "Fixed point theorems in probabilistic analysis" (1976) của ông là cột mốc quan trọng. Nhiều tác giả đã mở rộng các kết quả hiện có hoặc chứng minh phiên bản ngẫu nhiên của các định lý điểm bất động tất định. Các nhà toán học như H. Yuan đã chứng minh các định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát. Các định lý này chỉ ra điều kiện để toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên khi các quỹ đạo có điểm bất động tất định. Gần đây, N. Agarwal đã đưa ra các định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát. Những phát triển này đã mở rộng đáng kể các kết quả trước đây. Chúng cho phép chứng minh phiên bản ngẫu nhiên của nhiều định lý điểm bất động tất định. Tuy nhiên, các điều kiện đặt ra cho toán tử ngẫu nhiên và các không gian thường rất phức tạp. Việc tìm kiếm ví dụ cụ thể thỏa mãn điều kiện này đôi khi khó khăn. Mục tiêu của nghiên cứu này là khám phá thêm về phương trình toán tử ngẫu nhiên. Luận án hy vọng đạt được kết quả tương tự như trường hợp bài toán điểm bất động ngẫu nhiên. Nó sẽ đưa ra các điều kiện tồn tại điểm bất động cho các phương trình toán tử ngẫu nhiên. Việc này đóng góp vào sự phát triển của lý thuyết xác suất và giải tích hàm ngẫu nhiên.

1.1. Khái niệm và Lịch sử Phát triển

Phương trình toán tử ngẫu nhiên là một nhánh của lý thuyết toán tử ngẫu nhiên. Nó liên quan đến việc ngẫu nhiên hóa các phương trình toán tử tất định. Nghiên cứu này bắt đầu vào giữa thế kỷ 20. O. Spacek và Hans là những người tiên phong. Họ đã xây dựng nền tảng cho lý thuyết điểm bất động ngẫu nhiên. Nguyên lý ánh xạ co Banach đã được mở rộng thành phiên bản ngẫu nhiên. Điều này đã mở đường cho nhiều nghiên cứu tiếp theo. Lý thuyết này phát triển mạnh mẽ từ những năm 1970. Các ứng dụng của nó bao gồm phương trình vi phân ngẫu nhiên và phương trình tích phân ngẫu nhiên. Lý thuyết xác suất đóng vai trò then chốt trong việc định hình các mô hình này. Quá trình ngẫu nhiên được sử dụng để mô tả sự biến động. Sự ra đời của các định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát đã giúp đơn giản hóa việc chứng minh sự tồn tại. Tuy nhiên, việc áp dụng các định lý này vẫn còn thách thức do các giả thiết phức tạp.

1.2. Lý thuyết Điểm bất động Ngẫu nhiên

Điểm bất động ngẫu nhiên là một khái niệm trung tâm. Nó là một trong những hướng nghiên cứu chính của phương trình toán tử ngẫu nhiên. Nhiều định lý điểm bất động đã được ngẫu nhiên hóa. Các định lý này bao gồm cả các định lý cho toán tử co và các toán tử tổng quát hơn. Mục tiêu là tìm kiếm một điểm 'ổn định' dưới tác động của một toán tử ngẫu nhiên. Các không gian Banach thường là nền tảng cho các nghiên cứu này. Sự tồn tại của điểm bất động ngẫu nhiên có ý nghĩa lớn. Nó đảm bảo nghiệm của các phương trình ngẫu nhiên. Các nghiên cứu gần đây tập trung vào việc làm rõ các điều kiện tồn tại. Việc này giúp mở rộng khả năng ứng dụng của lý thuyết. Tuy nhiên, cần có sự cân bằng giữa tính tổng quát và tính khả thi của các điều kiện.

II.Nền tảng Giải tích Hàm và Toán tử Ngẫu nhiên

Để nghiên cứu phương trình toán tử ngẫu nhiên, cần có nền tảng vững chắc. Các khái niệm cơ bản của giải tích hàm là thiết yếu. Chúng bao gồm các không gian định chuẩn, không gian Banach, và không gian Hilbert. Các không gian này cung cấp cấu trúc cho việc định nghĩa toán tử. Chúng cũng là nơi các nghiệm của phương trình tồn tại. Khái niệm ánh xạ đa trị cũng rất quan trọng. Nó mở rộng phạm vi của toán tử từ việc ánh xạ một điểm thành một tập hợp điểm. Điều này cho phép xử lý các bài toán có nhiều nghiệm tiềm năng. Định nghĩa về toán tử ngẫu nhiên là trọng tâm. Toán tử ngẫu nhiên là một ánh xạ phụ thuộc vào một biến cố ngẫu nhiên. Biến cố này thường nằm trong không gian xác suất. Một toán tử ngẫu nhiên phải thỏa mãn tính đo được. Tính đo được đảm bảo rằng các tính chất của toán tử có thể được phân tích bằng lý thuyết xác suất. Các kết quả về điểm bất động cho toán tử tất định là cơ sở. Chúng là điểm khởi đầu để ngẫu nhiên hóa. Các định lý như nguyên lý ánh xạ co Banach là ví dụ điển hình. Những định lý này cung cấp phương pháp để chứng minh sự tồn tại của nghiệm. Việc hiểu rõ các khái niệm này là bước đầu tiên. Nó giúp xây dựng các lý thuyết phức tạp hơn. Việc này cũng mở rộng ứng dụng của chúng. Các công cụ từ giải tích hàm ngẫu nhiên được sử dụng rộng rãi. Các lý thuyết về quá trình ngẫu nhiên cũng là một phần không thể thiếu. Chúng giúp mô hình hóa các hệ thống động lực học chịu tác động ngẫu nhiên.

2.1. Các Khái niệm Cơ bản trong Giải tích Hàm

Giải tích hàm cung cấp nền tảng lý thuyết. Các khái niệm như không gian định chuẩn và không gian Banach là cốt lõi. Chúng định nghĩa các cấu trúc mà trên đó toán tử hoạt động. Không gian Hilbert, với tích vô hướng, cung cấp thêm các công cụ hình học. Hiểu biết về tính liên tục, tính co, và tính compact là cần thiết. Những thuộc tính này quyết định hành vi của toán tử. Chúng ảnh hưởng đến sự tồn tại của nghiệm. Ánh xạ đa trị là một mở rộng quan trọng. Nó cho phép một đầu vào tương ứng với nhiều đầu ra. Điều này làm cho việc mô hình hóa các hiện tượng phức tạp trở nên khả thi. Các khái niệm này được sử dụng để xây dựng các chứng minh. Chúng đảm bảo tính chính xác và chặt chẽ của lý thuyết.

2.2. Định nghĩa và Phân loại Toán tử Ngẫu nhiên

Toán tử ngẫu nhiên là một ánh xạ có tính ngẫu nhiên. Nó thường được định nghĩa trên một không gian đo được. Toán tử phải thỏa mãn điều kiện đo được. Điều này đảm bảo tính hợp lệ trong khuôn khổ lý thuyết xác suất. Toán tử ngẫu nhiên có thể là đơn trị hoặc đa trị. Toán tử đơn trị ánh xạ một điểm ngẫu nhiên thành một điểm ngẫu nhiên duy nhất. Toán tử đa trị ánh xạ một điểm ngẫu nhiên thành một tập hợp ngẫu nhiên. Việc phân loại này quan trọng cho việc lựa chọn phương pháp giải. Hiểu rõ các tính chất của từng loại toán tử là cần thiết. Nó giúp phân tích các phương trình tương ứng một cách hiệu quả. Toán tử ngẫu nhiên thường xuất hiện trong các phương trình tích phân ngẫu nhiên. Chúng cũng xuất hiện trong phương trình vi phân ngẫu nhiên.

2.3. Điểm bất động của Toán tử Tất định

Điểm bất động của toán tử tất định là một khái niệm quen thuộc. Đây là một điểm mà toán tử không làm thay đổi vị trí. Các định lý điểm bất động cổ điển là cơ sở. Ví dụ nổi bật là Nguyên lý ánh xạ co Banach. Các định lý này cung cấp các điều kiện đủ để một toán tử có điểm bất động. Những kết quả này đóng vai trò quan trọng. Chúng là nền tảng cho việc mở rộng sang trường hợp ngẫu nhiên. Việc chuyển đổi các định lý này sang môi trường ngẫu nhiên không phải lúc nào cũng đơn giản. Các thách thức mới xuất hiện liên quan đến tính đo được và không gian xác suất. Tuy nhiên, việc hiểu vững chắc các kết quả tất định là cần thiết. Nó giúp định hình các phương pháp nghiên cứu cho toán tử ngẫu nhiên.

III.Giải pháp Phương trình Toán tử Ngẫu nhiên

Nghiên cứu về phương trình toán tử ngẫu nhiên tìm kiếm sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm. Các phương pháp giải thường dựa trên lý thuyết điểm bất động ngẫu nhiên. Các phương trình này có thể là đơn trị hoặc đa trị. Mỗi loại đòi hỏi các kỹ thuật phân tích khác nhau. Đối với phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị, các điều kiện về tính co hoặc tính compact thường được áp dụng. Các không gian Banach hoặc không gian Hilbert cung cấp môi trường thích hợp. Việc xác định các điều kiện để toán tử có điểm bất động ngẫu nhiên là mục tiêu chính. Điều này đảm bảo rằng phương trình có nghiệm. Đối với phương trình toán tử ngẫu nhiên đa trị, bài toán trở nên phức tạp hơn. Khái niệm ánh xạ đa trị đòi hỏi các công cụ khác. Các định lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị được sử dụng. Các kết quả này thường liên quan đến các tính chất như nửa liên tục trên hoặc dưới. Chúng cũng yêu cầu các điều kiện về tính lồi của tập giá trị. Sự khác biệt giữa hai loại phương trình này là đáng kể. Nó ảnh hưởng đến các giả thiết cần thiết và phương pháp chứng minh. Luận án nghiên cứu sâu vào cả hai trường hợp. Nó nhằm đưa ra các điều kiện tổng quát hơn. Các điều kiện này giúp đơn giản hóa việc kiểm tra sự tồn tại của nghiệm. Các phương trình tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên là những ví dụ cụ thể. Chúng thường được mô hình hóa bằng các phương trình toán tử ngẫu nhiên. Việc giải quyết chúng có ý nghĩa thực tiễn to lớn trong nhiều lĩnh vực.

3.1. Phương trình Toán tử Ngẫu nhiên Đơn trị

Phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị là dạng cơ bản. Trong trường hợp này, toán tử ánh xạ mỗi điểm thành một điểm duy nhất. Các nghiên cứu tập trung vào việc mở rộng các định lý điểm bất động tất định. Nguyên lý ánh xạ co ngẫu nhiên là một ví dụ điển hình. Các kỹ thuật bao gồm việc sử dụng tính chất đo được. Điều này giúp đảm bảo sự tồn tại của một hàm ngẫu nhiên là điểm bất động. Các điều kiện về tính liên tục và tính co của toán tử là quan trọng. Các kết quả thường được chứng minh trong các không gian Banach. Các không gian này cung cấp tính đầy đủ cần thiết cho các giới hạn. Nghiệm của phương trình thường là một quá trình ngẫu nhiên. Việc này có ứng dụng trong lý thuyết xác suất và các mô hình ngẫu nhiên.

3.2. Phương trình Toán tử Ngẫu nhiên Đa trị

Phương trình toán tử ngẫu nhiên đa trị phức tạp hơn. Toán tử ánh xạ mỗi điểm thành một tập hợp các điểm. Việc này đòi hỏi các công cụ từ lý thuyết tập hợp và giải tích hàm ngẫu nhiên. Các định lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị ngẫu nhiên được áp dụng. Điều kiện về tính nửa liên tục trên hoặc dưới của ánh xạ là then chốt. Tính lồi hoặc tính compact của tập giá trị cũng là các giả thiết phổ biến. Các kết quả thường chứng minh sự tồn tại của một quá trình ngẫu nhiên. Quá trình này nằm trong tập giá trị của toán tử. Các phương pháp chứng minh thường liên quan đến việc xây dựng chuỗi lặp. Chúng cũng liên quan đến việc sử dụng các tính chất topo của không gian. Việc này mở rộng khả năng mô hình hóa các hệ thống có nhiều trạng thái hoặc nghiệm khả dĩ.

IV.Khám phá Điểm bất động Toán tử Ngẫu nhiên

Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên là trọng tâm của luận án. Nghiên cứu này mở rộng các kết quả đã có. Nó xem xét các trường hợp toán tử đơn trị, đa trị và hoàn toàn ngẫu nhiên. Các định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát được phân tích. Các điều kiện cho sự tồn tại của điểm bất động được thiết lập. Đối với toán tử ngẫu nhiên đơn trị, luận án tập trung vào việc ngẫu nhiên hóa các nguyên lý điểm bất động cổ điển. Các điều kiện về tính liên tục và tính co ngẫu nhiên được kiểm tra. Sự tồn tại của một điểm bất động ngẫu nhiên đo được là mục tiêu chính. Các phương pháp xây dựng chuỗi lặp ngẫu nhiên được sử dụng. Điều này giúp xác định giới hạn hội tụ theo xác suất hoặc hầu chắc chắn. Đối với toán tử ngẫu nhiên đa trị, các thách thức tăng lên đáng kể. Việc này đòi hỏi các kỹ thuật phức tạp hơn. Các điều kiện về tính nửa liên tục của ánh xạ đa trị ngẫu nhiên là cần thiết. Luận án cũng xem xét các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Các toán tử này có các tính chất đặc biệt. Chúng thường liên quan đến các không gian hàm có cấu trúc nhất định. Sự tồn tại của điểm bất động trong những trường hợp này có ý nghĩa lớn. Nó mở rộng khả năng áp dụng lý thuyết vào các bài toán thực tiễn. Nghiên cứu này đóng góp vào giải tích hàm ngẫu nhiên. Nó cung cấp các công cụ để phân tích các phương trình có yếu tố ngẫu nhiên. Việc này có thể ứng dụng trong các mô hình kinh tế, vật lý và sinh học.

4.1. Điểm bất động của Toán tử Ngẫu nhiên Đơn trị

Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị là một hàm ngẫu nhiên. Hàm này không bị thay đổi bởi toán tử. Các định lý điểm bất động cho toán tử co ngẫu nhiên là cơ bản. Chúng đảm bảo sự tồn tại và duy nhất của điểm bất động. Các không gian Banach là môi trường tự nhiên cho các kết quả này. Điều kiện tính đo được của toán tử là cần thiết. Nó giúp đảm bảo rằng điểm bất động cũng là một biến ngẫu nhiên. Các phương pháp chứng minh thường liên quan đến các phép lặp. Chúng cũng liên quan đến các khái niệm hội tụ trong lý thuyết xác suất. Các kết quả này có ứng dụng trực tiếp trong việc giải các phương trình tích phân ngẫu nhiên. Chúng cũng được dùng trong các phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính.

4.2. Điểm bất động của Toán tử Ngẫu nhiên Đa trị

Trong trường hợp đa trị, điểm bất động có thể là một tập hợp ngẫu nhiên. Hoặc nó là một hàm ngẫu nhiên thuộc về một tập hợp ngẫu nhiên. Bài toán này phức tạp hơn so với trường hợp đơn trị. Các định lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị ngẫu nhiên được áp dụng. Điều kiện về tính nửa liên tục trên của ánh xạ là phổ biến. Tính lồi và đóng của tập giá trị cũng là các giả thiết quan trọng. Các không gian Banach hoặc không gian Hilbert được sử dụng. Chúng cung cấp cấu trúc đủ tốt để làm việc với các tập hợp. Các kết quả này mở rộng khả năng mô hình hóa. Chúng cho phép xử lý các bài toán có nhiều giải pháp hoặc không chắc chắn. Các ứng dụng có thể bao gồm các mô hình kinh tế với sự lựa chọn đa dạng.

4.3. Toán tử Hoàn toàn Ngẫu nhiên và Điểm bất động

Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên là một lớp đặc biệt. Các toán tử này có tính chất compact ngẫu nhiên. Tính chất này đảm bảo rằng hình ảnh của các tập hợp bị chặn là tương đối compact. Việc này giúp áp dụng các định lý điểm bất động kiểu Schauder ngẫu nhiên. Các điều kiện cho sự tồn tại của điểm bất động cho toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên được thiết lập. Luận án nghiên cứu sâu về các thuộc tính của lớp toán tử này. Nó cung cấp các điều kiện đủ để đảm bảo sự tồn tại của điểm bất động ngẫu nhiên. Các kết quả này có thể có ứng dụng trong việc giải các phương trình tích phân phi tuyến ngẫu nhiên. Chúng cũng có thể được dùng trong các bài toán điều khiển ngẫu nhiên.

V.Kết luận và Hướng phát triển Toán tử Ngẫu nhiên

Luận án đã đạt được nhiều kết quả quan trọng. Các nghiên cứu tập trung vào phương trình toán tử ngẫu nhiên. Nó bao gồm cả trường hợp đơn trị và đa trị. Các điều kiện cho sự tồn tại của nghiệm được thiết lập. Các đóng góp chính bao gồm việc mở rộng các định lý điểm bất động ngẫu nhiên. Nó áp dụng cho các lớp toán tử khác nhau. Các phương pháp mới đã được phát triển để xử lý các thách thức của ánh xạ đa trị ngẫu nhiên. Luận án đã làm rõ các mối liên hệ giữa lý thuyết toán tử tất định và ngẫu nhiên. Nó cung cấp một cái nhìn sâu sắc về cấu trúc của các điểm bất động ngẫu nhiên. Các kết quả này có ý nghĩa lý thuyết và ứng dụng. Chúng đóng góp vào sự phát triển của giải tích hàm ngẫu nhiên. Các định hướng nghiên cứu tiếp theo rất phong phú. Cần khám phá các loại không gian khác ngoài không gian Banach. Các không gian có cấu trúc yếu hơn có thể được xem xét. Việc này mở rộng phạm vi áp dụng của lý thuyết. Nghiên cứu cũng có thể tập trung vào việc giảm bớt các điều kiện phức tạp. Điều này giúp các định lý điểm bất động ngẫu nhiên trở nên dễ ứng dụng hơn. Việc phát triển các phương pháp tính toán số cũng là một hướng đi quan trọng. Nó giúp tìm nghiệm xấp xỉ của các phương trình toán tử ngẫu nhiên. Các ứng dụng cụ thể trong mô hình tài chính, kỹ thuật, và khoa học tự nhiên cần được khám phá sâu hơn.

5.1. Các Kết quả Chính của Luận án

Luận án đã đóng góp vào lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên. Nó đã thiết lập các điều kiện tồn tại điểm bất động. Cả toán tử ngẫu nhiên đơn trị và đa trị đều được xem xét. Các định lý điểm bất động tổng quát đã được phát triển. Chúng mở rộng các kết quả trước đây của nhiều tác giả. Luận án làm rõ các mối liên hệ giữa các khái niệm. Đặc biệt là giữa điểm bất động tất định và điểm bất động ngẫu nhiên. Nó cung cấp một khung lý thuyết vững chắc. Khung này cho phép phân tích các phương trình toán tử ngẫu nhiên. Các kết quả này có tiềm năng ứng dụng rộng rãi. Chúng giúp giải quyết các bài toán trong lý thuyết xác suất và thống kê toán học.

5.2. Định hướng Nghiên cứu Tiếp theo

Có nhiều hướng mở cho nghiên cứu trong tương lai. Việc mở rộng các định lý điểm bất động sang các không gian phi tuyến. Các không gian có cấu trúc phức tạp hơn là một ưu tiên. Việc giảm bớt các điều kiện giả thiết là cần thiết. Điều này sẽ giúp tăng tính ứng dụng của các định lý. Nghiên cứu về phương trình toán tử ngẫu nhiên trong các không gian metric xác suất là một hướng đầy hứa hẹn. Việc phát triển các thuật toán số để tìm nghiệm là quan trọng. Các ứng dụng thực tế trong các lĩnh vực mới nổi cũng cần được khám phá. Ví dụ, trong học máy ngẫu nhiên hoặc tối ưu hóa ngẫu nhiên. Việc này sẽ đưa lý thuyết đến gần hơn với các vấn đề thực tiễn.

Xem trước tài liệu
Tải đầy đủ để xem toàn bộ nội dung
Luận án tiến sĩ một số vấn đề về phương trình toán tử ngẫu nhiên 62 46 15 01

Tải xuống file đầy đủ để xem toàn bộ nội dung

Tải đầy đủ (86 trang)

Trích đoạn nội dung luận án

Tải xuống để đọc toàn bộ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -------------------------- TẠ NGỌC ÁNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- TẠ NGỌC ÁNH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 2012 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Lời cam đoan i Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt iv Mở đầu 1 1. Kiến thức chuẩn bị 6 1.1 Các khái niệm cơ bản .2 Ánh xạ đa trị .3 Toán tử ngẫu nhiên .4 Một số kết quả về điểm bất động cho toán tử tất định. Phương trình toán tử ngẫu nhiên 16 2.1 Phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị .2 Phương trình toán tử ngẫu nhiên đa trị. Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên 34 3.1 Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đơn trị .2 Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên đa trị .3 Điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.

48 ii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Kết luận và kiến nghị 69 Các kết quả chính của luận án. 69 Những nghiên cứu tiếp theo. 69 Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 70 Tài liệu tham khảo 71 Chỉ số 81 iii TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT N Tập hợp các số tự nhiên R Tập hợp các số thực R+ Tập hợp các số thực dương C[a, b] Không gian các hàm số liên tục trên [a, b] L(X) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X LX 0 (Ω) Tập hợp các biến ngẫu nhiên X-giá trị A, F σ-đại số B(X) σ-đại số Borel của X A⊗F σ-đại số tích của các σ-đại số A và F 2X Họ các tập hợp con khác rỗng của X C(X) Họ các tập hợp con đóng khác rỗng của X CB(X) Họ các tập hợp con đóng khác rỗng và bị chặn của X d(a, B) Khoảng cách từ điểm a đến tập hợp B d(A, B) Khoảng cách giữa hai tập hợp khác rỗng A, B H(A, B) Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp đóng A, B Gr(F ) Đồ thị của ánh xạ F µ Độ đo Lebesgue P Độ đo xác suất p-lim Giới hạn của sự hội tụ theo xác suất h. Hầu chắc chắn iv TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU Phương trình toán tử ngẫu nhiên là một trong các hướng nghiên cứu của lý thuyết toán tử ngẫu nhiên.

Đó là sự mở rộng, ngẫu nhiên hóa lý thuyết phương trình toán tử tất định. Trong vòng 60 năm trở lại đây, hướng nghiên cứu này đã nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học và thu được nhiều kết quả. Tuy nhiên, phần lớn các kết quả đạt được của lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên tập trung vào một trường hợp riêng là lý thuyết điểm bất động ngẫu nhiên. Các nghiên cứu về định lý điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên được khởi đầu bởi O.

Spacek trong những năm 1950 (xem [35, 70]). Họ đã chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ co ngẫu nhiên, đó chính là phiên bản ngẫu nhiên của nguyên lý ánh xạ co Banach. Sau các công trình của Spacek và Hans, phiên bản ngẫu nhiên của các định lý điểm bất động nổi tiếng khác cũng được chứng minh. Lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên và điểm bất động ngẫu nhiên thực sự được tiếp thêm sức mạnh sau sự ra đời của cuốn sách Random integral equations (1972) và bài báo tổng kết Fixed point theorems in probabilistic analysis (1976) của A.

Nhiều tác giả đã thành công trong việc mở rộng các kết quả về điểm bất động ngẫu nhiên đã có hoặc chứng minh phiên bản ngẫu nhiên của các định lý điểm bất động cho toán tử tất định (chẳng hạn, xem [14, 28, 38, 42, 52, 60, 77]). Vào những năm 1990, một số tác giả như: H. Yuan đã chứng minh các định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, trong đó các tác giả chỉ ra rằng với một số điều kiện nào đó, nếu các quỹ đạo của toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động tất định thì toán tử ngẫu nhiên 1 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com có điểm bất động ngẫu nhiên (chẳng hạn, xem [15, 71, 77]). Gần đây, một số tác giả như N.

Agarwal đã đưa ra một số định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát mở rộng các kết quả của các tác giả trước và trên cơ sở đó phiên bản ngẫu nhiên của nhiều định lý điểm bất động cho toán tử tất định đã được chứng minh (xem [58, 63, 64, 65]). Nếu lớp các toán tử ngẫu nhiên thỏa mãn các điều kiện của định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát là rộng rãi thì việc ngẫu nhiên hóa các định lý điểm bất động cho toán tử tất định không còn nhiều thú vị, việc chứng minh sự tồn tại điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên thực sự trở thành việc chứng minh sự tồn tại điểm bất động của một toán tử tất định. Tuy nhiên, một điều đáng chú ý là: Trong các định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, điều kiện các tác giả đặt lên các toán tử ngẫu nhiên và các không gian thường khá phức tạp, thậm chí nhiều khi ta khó có thể tìm được ví dụ về toán tử ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện đó. Khi nghiên cứu về phương trình toán tử ngẫu nhiên, chúng tôi cũng hy vọng đạt được kết quả tương tự như trường hợp bài toán điểm bất động ngẫu nhiên.

Tức là, đưa ra được điều kiện để một phương trình toán tử ngẫu nhiên nếu có nghiệm tất định thì có nghiệm ngẫu nhiên. Bằng việc sử dụng các kết quả của lý thuyết ánh xạ đa trị, chúng tôi đã chứng minh được rằng với điều kiện: Toán tử ngẫu nhiên đo được, xác định trên không gian metric khả ly đầy đủ, nếu phương trình toán tử ngẫu nhiên có nghiệm tất định với mỗi ω thì phương trình đó có nghiệm ngẫu nhiên. Chú ý rằng điều kiện đo được của toán tử ngẫu nhiên là khá yếu, chẳng hạn các toán tử ngẫu nhiên liên tục sẽ thỏa mãn điều kiện này. Áp dụng kết quả đạt được cho bài toán điểm bất động ngẫu 2 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com nhiên chúng tôi nhận được, mở rộng các kết quả quả Xu, Tan, Yuan, Shahzad,.

và nhận được hầu hết các định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát hiện có. Theo kết quả mà chúng tôi đạt được, mỗi định lý điểm bất động cho toán tử tất định sẽ có một phiên bản tương ứng cho toán tử ngẫu nhiên. Toán tử ngẫu nhiên có thể được xem như một ánh xạ biến mỗi phần tử của không gian metric thành một biến ngẫu nhiên. Mỗi phần tử của không gian metric có thể được xem như một biến ngẫu nhiên suy biến nhận giá trị là phần tử đó với xác suất 1.

Từ cách quan niệm như vậy ta coi không gian metric X như tập con (gồm các biến ngẫu nhiên suy biến) của không gian các biến ngẫu nhiên X-giá trị LX 0 (Ω). Với f là một toán tử ngẫu nhiên liên tục từ X vào X chúng ta có thể xây dựng được một ánh xạ Φ từ LX X 0 (Ω) vào L0 (Ω) mà hạn chế của Φ trên X trùng với f và f có điểm bất động ngẫu nhiên khi và chỉ khi Φ có điểm bất động. Dựa trên thực tiễn đó cùng với các kết quả về điểm bất động của ánh xạ trong không gian metric xác suất, O. Pap đã có những liên hệ ứng dụng sang lý thuyết điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên (xem [33, 34]).

Từ ý tưởng của bài toán mở rộng miền xác định của toán tử ngẫu nhiên và các kết quả của Hadzic và Pap, chúng tôi đưa ra khái niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, trong đó ánh xạ mỗi biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric thành biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric. Bước đầu, chúng tôi đã chứng minh được một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên dựa trên các tính toán thuần túy xác suất mà không sử dụng các công cụ của lý thuyết không gian metric xác suất. Chúng tôi cũng nhận được các kết quả tương tự như của Hadzic và Pap. 3 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Nội dung của luận án liên quan đến các kết quả nghiên cứu về phương trình toán tử ngẫu nhiên và điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên.

Luận án gồm 3 chương. Chương 1 thống nhất các khái niệm cơ bản và trình bày một số kết quả của các tác giả khác mà được sử dụng trong phần sau của luận án. Những kết quả đó chỉ được trích dẫn và không có chứng minh chi tiết. Chương 2 trình bày các kết quả nghiên cứu của tác giả về phương trình toán tử ngẫu nhiên.

Nội dung chính của chương này là các định lý về sự tồn tại nghiệm ngẫu nhiên của phương trình toán tử ngẫu nhiên. Chương 3 liên quan đến bài toán điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên. Áp dụng các kết quả về phương trình toán tử ngẫu nhiên cho bài toán điểm bất động ngẫu nhiên chúng tôi nhận được và mở rộng một số định lý điểm bất động cho toán tử ngẫu nhiên. Phiên bản ngẫu nhiên của một số định lý điểm bất động cho toán tử tất định cũng được trình bày.

Trong chương này chúng tôi cũng đưa ra khái niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên và chứng minh một số định lý điểm bất động cho toán tử đó. Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Đặng Hùng Thắng. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành tới GS.TSKH Đặng Hùng Thắng, Thầy đã quan tâm hướng dẫn và chỉ bảo tôi trong suốt nhiều năm qua. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học đã cung cấp nhiều bài giảng và giới thiệu cho tôi nhiều tài liệu bổ ích.

Tác giả xin cảm ơn các thầy trong Hội đồng cấp cơ sở đã có nhiều ý kiến đóng góp quý báu. 4 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Tác giả xin cảm ơn các thành viên của seminar Toán tử ngẫu nhiên, đã tạo điều kiện cho tác giả trình bày và giúp tác giả kiểm tra các kết quả nghiên cứu.

Nội dung được bảo vệ bản quyền — Tải xuống đầy đủ

Trích dẫn luận án này

Tạ Ngọc Ánh (2012). Luận án tiến sĩ một số vấn đề về phương trình toán tử ngẫu n [Luận án tiến sĩ, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội]. LuanAn.net. https://luanan.net/toan-hoc/luan-an-tien-si-mot-so-van-de-ve-phuong-trinh-toan-tu-ngau-nhien-62-46-15-01

Câu hỏi thường gặp

Luận án "Luận án tiến sĩ một số vấn đề về phương trình toán tử ngẫu n" nghiên cứu về vấn đề gì?

Luận án tiến sĩ khám phá các vấn đề về phương trình toán tử ngẫu nhiên. Nghiên cứu tập trung vào lý thuyết, ứng dụng và phương pháp giải.

Luận án "Luận án tiến sĩ một số vấn đề về phương trình toán tử ngẫu n" được bảo vệ tại trường nào?

Luận án này được bảo vệ tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. Năm bảo vệ: 2012.

Luận án "Luận án tiến sĩ một số vấn đề về phương trình toán tử ngẫu n" thuộc chuyên ngành gì?

Luận án "Luận án tiến sĩ một số vấn đề về phương trình toán tử ngẫu n" thuộc chuyên ngành Lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Danh mục: Toán Học.

Luận án "Luận án tiến sĩ một số vấn đề về phương trình toán tử ngẫu n" có bao nhiêu trang?

Luận án "Luận án tiến sĩ một số vấn đề về phương trình toán tử ngẫu n" có 86 trang. Bạn có thể xem trước một phần tài liệu ngay trên trang web trước khi tải về.

Cách tải luận án "Luận án tiến sĩ một số vấn đề về phương trình toán tử ngẫu n" về máy như thế nào?

Để tải luận án về máy, bạn nhấn nút "Tải xuống ngay" trên trang này, sau đó hoàn tất thanh toán phí lưu trữ. File sẽ được tải xuống ngay sau khi thanh toán thành công. Hỗ trợ qua Zalo: 0559 297 239.

Luận án liên quan

Chia sẻ tài liệu: Facebook Twitter