Luận án Tiến sĩ: Hàm dạng I với nhiều đối số ma trận và tích chập suy rộng

§¹i häc Quèc gia Hµ Néi Tr−êng §¹i häc khoa häc tù nhiªn -------------------------- TrÞnh Tu©n Hµm d¹ng I víi nhiÒu ®èi sè ma trËn vµ tÝch chËp suy réng cña phÐp biÕn ®æi I luËn ¸n TiÕn sÜ To¸n häc Hµ Néi - 2009 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com §¹i häc Quèc gia Hµ Néi Tr−êng §¹i häc khoa häc tù nhiªn TrÞnh Tu©n Hµm d¹ng I víi nhiÒu ®èi sè ma trËn vµ tÝch chËp suy réng cña phÐp biÕn ®æi I Chuyªn ngµnh: To¸n Gi¶i tÝch M sè: 62.01 TËp thÓ h−íng dÉn khoa häc: 1. NguyÔn Xu©n Th¶o 2. NguyÔn V¨n MËu luËn ¸n TiÕn sÜ To¸n häc Hµ Néi - 2009 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Môc lôc Danh môc c¸c kÝ hiÖu. 2 Danh môc c¸c hµm vµ hµm ®Æc biÖt.

13 Ch­¬ng 1 : Hµm d¹ng I víi nhiÒu ®èi sè ma trËn 25 1.1 Hµm d¹ng I víi nhiÒu ®èi sè ma trËn .2 TÝch chËp ®èi víi phÐp biÕn ®æi M. 41 KÕt luËn ch­¬ng 1. 45 Ch­¬ng 2 : PhÐp biÕn ®æi I vµ tÝch chËp suy réng ®èi víi phÐp biÕn ®æi I 46 2.1 PhÐp biÕn ®æi I .2 TÝch chËp suy réng ®èi víi phÐp biÕn ®æi I. 53 KÕt luËn ch­¬ng 2.

68 Ch­¬ng 3 : C¸c tÝch chËp suy réng víi hµm träng ®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Kontorovich - Lebedev ng­îc (K −1 ), Fourier sine (Fs ) vµ cosine (Fc ) 69 3.1 TÝch chËp suy réng víi hµm träng ®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n K −1 , Fs , Fc vµ øng dông gi¶i mét líp hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n .2 TÝch chËp suy réng víi hµm träng ®èi víi c¸c phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Fc , K −1 vµ øng dông gi¶i mét sè hÖ ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n. 82 KÕt luËn ch­¬ng 3. 98 Danh môc c«ng tr×nh c«ng bè. 100 Tµi liÖu tham kh¶o.

101 1 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Danh môc c¸c kÝ hiÖu • N = {1, 2, .} lµ tËp sè tù nhiªn; Z lµ tËp sè nguyªn • R+ = {x|x > 0}: tËp c¸c sè thùc d­¬ng. √ • ω = −i, i2 = −1 • (f ∗ g)(x): tÝch chËp cña hai hµm f vµ g γ • (f ∗ g)(x): tÝch chËp cña hai hµm f vµ g víi hµm träng γ(x) k • (f ∗ g)(x): tÝch chËp cña hai hµm f vµ g theo chØ sè k. • F : phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Fourier Z+∞ 1 (F f )(y) = √ f (x)e−iyx dx, y ∈ R 2π −∞ • Fc : phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Fourier cosine r Z+∞ 2 (Fc f )(y) = f (x) cos(xy)dx, y > 0 π 0 • Fs : phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Fourier sine r Z+∞ 2 (Fs f )(y) = f (x) sin(xy)dx, y > 0 π 0 • M : phÐp biÕn ®æi tÝch ph©n Mellin Z+∞ f ∗ (x) = (M f )(y) = f (x)xy−1 dx. 0 • M −1 : phÐp biÕn ®æi Mellin ng­îc c+i∞ Z 1 (M −1 g)(x) = g(s)x−s ds.

2πi c−i∞ 2 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 3 • L: phÐp biÕn ®æi Laplace Z+∞ (Lf )(y) = e−xy f (x)dx. 0 • L−1 : phÐp biÕn ®æi Laplace ng­îc c+i∞ Z 1 (L−1 f )(x) = exy f (y)dy.): phÐp biÕn ®æi Laplace biÕn d¹ng Z α −1 −α 1 1 (x Λ+ x )f (x) = f ∗ (s)x−s ds 2πi Γ(s + α) σ 1 trong ®ã Re(α) > −. 2 • H : phÐp biÕn ®æi Hilbert Z+∞ 1 f (x) (Hf )(y) = dx. π x−y −∞ • H −1 : phÐp biÕn ®æi Hilbert ng­îc Z+∞ 1 f (y) (H −1 f )(x) = dy.

π x−y −∞ • S : phÐp biÕn ®æi Stieltjes Z+∞ f (x) (Sf )(y) = dx. x+y 0 • K : phÐp biÕn ®æi Kontorovich - Lebedev Z+∞ (Kf )(y) = Kix (y)f (x) dx, y > 0 0 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 4 • K −1 lµ phÐp biÕn ®æi Kontorovich - Lebedev ng­îc Z+∞ 2 (K −1 f )(x) = 2 x sh(πx) Kix (y)y −1 f (y)dy, x > 0 π 0 trong ®ã Kix lµ hµm Macdonald. • PhÐp biÕn ®æi M : Z m+1 Mρ (f ) = (det Z)ρ− 2 f (Z)dZ, Z>0 m−1 trong ®ã Re ρ > 2 • PhÐp biÕn ®æi G ! (α)1,p (Gf )(x) =Gm n
pq f (t) (x) (β)1,p Z 1 = ψ(s)f ∗ (s)x−s ds 2πi σ mn trong ®ã Gp q lµ hµm G− Meijer, 1o , 0 6 n 6 p; 0 6 m 6 q; vµ n σ = s ∈ C : Re(s) = 2 Qm n Q Γ(βj + s) Γ(1 − αj − s) j=1 j=1 ψ(s) = p q Q Q Γ(αj + s) Γ(1 − βj − s) j=n+1 j=m+1 f ∗ lµ biÕn ®æi Mellin cña f vµ  Re(β ) + 1 > 0, j = 1, m; 1 j 2 2 − Re(αj ) > 0, j = 1, n Re(αj ) + 1 > 0, j = n + 1, p; 1 2 2 − Re(βj ) > 0, m + 1, q • TÝch ph©n Mellin - Barnes x¸c ®Þnh nh­ sau: γ+i∞ Z 1 Γ(a1 + A1 s). Γ(dq − Dq s) trong ®ã γ lµ thùc, Aj , Bj , Cj , Dj d­¬ng.

TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail. TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Danh môc hµm vµ hµm ®Æc biÖt ex − e−x ex + e−x • sh x = ; ch x = ; 2 2  1, x>0    • sign(x) = 0, x=0   −1,  x<0 • Hµm Gamma Z+∞ Γ(z) = e−t tz−1 dt, Re z > 0 0 • Hµm q− Gamma x¸c ®Þnh nh­ sau (q; q)∞ Γq (x) ≡ x (1 − q)1−x , (q ; q)∞ trong ®ã (x, q)∞ lµ q− chuçi x¸c ®Þnh bëi +∞ Y (a; q)∞ = (1 − aq k ). m=0 m!Γ(ν + m + 1) 6 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 7 • Hµm Macdonald d¹ng tÝch ph©n Z+∞ Kiτ (x) = e−x ch u cos τ u du, x > 0, τ > 0 0 • Gm n p q lµ hµm G− Meijer, ! a 1 ,. , bq Qm Qn Z Γ(b j − s) Γ(1 − aj + s) 1 j=1 j=1 = p q xs ds, 2πi L Q Q Γ(aj − s) Γ(1 − bj + s) j=n+1 j=m+1 • Hµm ψ2 = ψ2 (a; c1 , ., −Zn ) lµ hµm sao cho ¶nh qua phÐp biÕn ®æi M cña nã ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau: M (ψ2 ) =Mρ1 ,., −Zn )] Qn Qn { Γp (cj )} Γp (a − ρ1 − · · · − ρn ){ Γp (ρj )} j=1 j=1 = n Γp (a) Q { Γp (cj − ρj )} j=1 p−1 víi Re(bj − ρ, cj − ρj , ρj , a − ρ1 − · · · − ρn ) > , j = 1, ., n, ë ®©y 2 phÇn thùc hiÓu theo nghÜa phÇn thùc cña mçi thµnh phÇn ®Òu lín p−1 h¬n 2 • Hµm φ2 = φ2 (b1 , ., −Zn ) lµ hµm sao cho M − phÐp biÕn ®æi cña nã x¸c ®Þnh nh­ sau: n Q { Γp (bj − ρj )Γp (ρj )} Γp (c) j=1 M (φ2 ) = Q n Γ (c − ρ1 − · · · − ρn ) { Γp (bj )} p j=1 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 8 • C¸c hµm Lauricella: Hµm fA = fA (a, b1 ,.

, −Zn ) tháa m·n ph­¬ng tr×nh tÝch ph©n sau gäi lµ hµm Lauricella Z Z p+1 p+1 M (fA ) = ··· |T1 |b1 − 2. |Tn |bn − 2 T1 >0 Tn >0 ×fA (a, b1 ,. dTn nQ o nQ o n n j=1 Γp (cj ) j=1 Γp (bj − ρj ) = nQ o n Γp (a) j=1 Γp (bj ) nQ o n Γp (a − ρ1 − · · · − ρn ) j=1 Γp (ρj ) × nQ o. n=0 i (1 − q ) i=0 R1 • q− tÝch ph©n lµ f (x)dq x x¸c ®Þnh bëi 0 Z1 +∞ X f (x)dq x = (1 − q) f (q i )q i , 0 i=0 • Hµm trô parabolic (Hµm Weber) Dν (z), lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh vi ph©n Weber 00 1 1 2  y (z) + ν + − z y(z) = 0, 2 4 vµ ®­îc x¸c ®Þnh bëi 1  ν/2+1/4 −1/2 Dν (z) = 2 z Wν/2+1/4,−1/4 z 2 2 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 9 trong ®ã Wk,m (z) lµ hµm Whittaker x¸c ®Þnh nh­ sau: Z+∞ k− 12 +m e−z/2 z k  1 t Wk,m (z) = t−k− 2 +m 1 + e−t dt Γ 12 − k + m
z 0 k−1 k−1
víi Re 2−m 6 0 vµ 2−m kh«ng nguyªn.

• Hµm H nhiÒu biÕn sè Z 1 H(x; (α, A); (β, B); LS ) = Θ(s)x−s ds (2πi)n LS m Q N P
Γ αi + ai,k sk i=1 k=1 Θ(s) = n N , Q P
Γ βi + bi,k sk i=1 k=1 s = (s1 , ., βN ) lµ c¸c N N vÐct¬ phøc vµ x−s = x−s Q Q k k , ds = dsk , k=1 k=1 LS = LS1 ×. • Hµm I nhiÒu biÕn sè N Z Y N 1 X sk xs ds

I x r, pi , mi , ai , αi = Θj (sj )ΘN +1 (2πω)N LS j=1 k+1 N Q trong ®ã: ds = dsk , LS = LS1 × · · · × LSN , k=1 rj 1 P p x = (x1 , ., xN ), xk ∈ C, Θj (sj ) = Xmjiji , aji , αji (sj ), j = 1, N , j=1 rN +1 N 1 X p X
N = XmNN+1,i +1 i ,aN +1 i ,αN +1 i sk P
ΘN +1 sk i=1 k=1 k=1 vµ pji p Y Γmjik bjik + αjik s.
Xmjiji ,aji ,αji (s) = k=1 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 10 √ Γ(s) lµ hµm Gamma Euler, ω = −i, bjik = 21 − ajik − 12 sign(αjik ),

mji = mji1 , · · · , mjipN , mjik ∈ Z,
aji = aji1 , · · · , ajipN , ajik ∈ C,
αji = αji1 , · · · , αjipN , αjik ∈ R, rj , pji ∈ N, j = 1, N + 1, i = 1, rj , k = 1, pji , c¸c tham sè ajik vµ αjik ph¶i tho¶ m·n sao cho c¸c cùc ®iÓm cña hµm QN N P
Θj (sj )ΘN +1 sk lµ cùc ®iÓm ®¬n nÕu |mjik | = 1. Cßn c¸c chu j=1 k=1 tuyÕn phøc Lk ph¶i t¸ch ®­îc c¸c cùc ®iÓm cña hµm N Y N X
Θj (sj )ΘN +1 sk j=1 k=1   m < 0 m < 0 jik jik khi vµ αjik > 0 αjik < 0.

NhËn thÊy r»ng khi ri = 1 ; i = 1, N + 1 th× hµm I víi N biÕn sè trë thµnh hµm H víi N biÕn sè.