Luận án tiến sĩ điểm bất động và điểm trùng nhau của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiê

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN -------------------------- PHẠM THẾ ANH ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA TOÁN TỬ HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội-2015 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- PHẠM THẾ ANH ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ ĐIỂM TRÙNG NHAU CỦA TOÁN TỬ HOÀN TOÀN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 62 46 01 06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH ĐẶNG HÙNG THẮNG Hà Nội - 2015 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả nêu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ một công trình nào khác. Phạm Thế Anh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục lục Lời cam đoan Mục lục 1 Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt 3 Mở đầu 4 1. Kiến thức chuẩn bị và tổng quan 9 1.1 Các khái niệm cơ bản .2 Điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên .3 Điểm trùng nhau của các toán tử ngẫu nhiên.

Điểm bất động và điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên 21 2.1 Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên .2 Điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên .3 Điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Ứng dụng vào phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên 60 3.1 Ứng dụng của các định lý điểm trùng nhau .2 Ứng dụng của các định lý điểm bất động. 66 1 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Kết luận và kiến nghị 73 Các kết quả chính của luận án. 73 Hướng nghiên cứu tiếp theo.

73 Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 74 Tài liệu tham khảo 75 2 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT N Tập hợp các số tự nhiên R Tập hợp các số thực R+ Tập hợp các số thực dương C[a; b] Không gian các hàm số liên tục trên [a; b] L(X) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào X LX 0 (Ω) Không gian các biến ngẫu nhiên X-giá trị LX p (Ω) Không gian các biến ngẫu nhiên X-giá trị khả tích cấp p A, F σ-đại số B(X) σ-đại số Borel của X A×F σ-đại số tích của các σ-đại số A và F 2X Họ các tập hợp con khác rỗng của X C(X) Họ các tập hợp con đóng khác rỗng của X H(A, B) Khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp đóng A, B Graph(T) Đồ thị của toán tử ngẫu nhiên T P Độ đo xác suất p-lim Giới hạn của sự hội tụ theo xác suất h. Hầu chắc chắn [x] Phần nguyên của số thực x k.k Chuẩn 3 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU Trong toán học, điểm bất động (đôi khi còn được gọi là điểm cố định, hay điểm bất biến) của một ánh xạ, là điểm mà ánh xạ biến điểm đó thành chính nó. Từ những năm đầu thể kỉ 20, các nguyên lý điểm bất động lần lượt ra đời trong đó đáng nói đến nhất là: nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co Banach [7] (1922) và định lý điểm bất động Schauder [51] (1930). Các kết quả này đã được mở rộng đối với các lớp ánh xạ khác nhau, trong các không gian khác nhau và đã được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của toán học.

Ta có thể thấy ứng dụng của các nguyên lý điểm bất động trong việc giải quyết vấn đề tồn tại lời giải của phương trình (toán tử, vi phân, tích phân, .), trong các bài toán xấp xỉ nghiệm,. Tiếp theo các kết quả trong trường hợp không ngẫu nhiên, rất nhiều kết quả về bài toán điểm bất động ngẫu nhiên đã được nghiên cứu. Vào giữa thập niên 1950, O. Spacek ở trường Đại học Tổng hợp Prague đã khởi xướng những nghiên cứu đầu tiên về điểm bất động của toán tử ngẫu nhiên và các vấn đề liên quan (xem [28, 53]).

Các tác giả đã đưa ra các điều kiện đủ ban đầu để toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên. Sau các công trình của O. Spacek, một số dạng tương tự của các định lý điểm bất động tất định nổi tiếng khác cho trường hợp ngẫu nhiên cũng đã được chứng minh. Cùng với việc nghiên cứu các vấn đề về điểm bất động ngẫu nhiên, các vấn đề về phương trình toán tử ngẫu nhiên cũng đã được quan tâm đến.

Các nghiên cứu về phương trình toán tử ngẫu nhiên là sự mở rộng, ngẫu nhiên hóa lý thuyết phương trình toán tử tất định. Tuy nhiên, phần lớn các kết quả đạt được của lý 4 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên tập trung vào việc đưa về bài toán điểm bất động ngẫu nhiên để chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm ngẫu nhiên. Lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên và điểm bất động ngẫu nhiên thực sự được quan tâm nghiên cứu sau sự ra đời cuốn sách Random integral equations (1972) và bài báo tổng kết Fixed point theorems in probabilistic analysis (1976) của A. Trong bài báo của mình, A.

Bharucha-Reid đã chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ co ngẫu nhiên, đó chính là dạng ngẫu nhiên của nguyên lý ánh xạ co Banach và định lý điểm bất động Schauder dạng ngẫu nhiên. Từ đó, nhiều tác giả đã thành công trong việc mở rộng các kết quả về điểm bất động ngẫu nhiên đã có hoặc chứng minh dạng ngẫu nhiên của các định lý điểm bất động cho toán tử tất định (xem [11, 21, 32, 37, 60]). Vào những năm 1990, một số tác giả như H. đã chứng minh các định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát, trong đó các tác giả chỉ ra rằng với một số điều kiện nhất định, nếu các quỹ đạo của toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động tất định thì toán tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên (xem [14, 54, 60]).

Gần đây, một số tác giả như N. Agarwal đã đưa ra một số định lý điểm bất động ngẫu nhiên tổng quát mở rộng các kết quả của các tác giả trước và trên cơ sở đó dạng ngẫu nhiên của nhiều định lý điểm bất động cho toán tử tất định đã được chứng minh (xem [47, 50]). Đặc biệt, trong bài báo [57] các tác giả D. Anh đã chứng minh các kết quả tổng quát về sự tương đương tồn tại nghiệm của phương trình tất định với phương trình ngẫu nhiên, sự tồn tại điểm bất động của toán tử tất định và toán tử ngẫu nhiên.

5 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Tiếp theo bài toán điểm bất động ngẫu nhiên, bài toán điểm bất động ngẫu nhiên chung của nhiều toán tử ngẫu nhiên cũng đã được nghiên cứu một cách kỹ lưỡng. Tuy nhiên, điều kiện để nhiều toán tử có điểm bất động chung thường là phức tạp, do đó bài toán điểm trùng nhau ngẫu nhiên đã được quan tâm nghiên cứu. Bài toán điểm trùng nhau ngẫu nhiên được nghiên cứu nhiều đối với các toán tử đa trị, giữa cặp toán tử đơn trị và toán tử đa trị (xem [17, 20, 22, 25, 33, 34, 36, 41, 42, 45, 46, 47, 48, 49, 52]). Một cách tổng quát, có thể xem toán tử ngẫu nhiên như một ánh xạ biến mỗi phần tử của không gian metric thành một biến ngẫu nhiên.

Bên cạnh đó, ta coi mỗi phần tử của không gian metric như là một biến ngẫu nhiên suy biến nhận giá trị là phần tử đó với xác suất 1. Với cách quan niệm như vậy, ta có thể đồng nhất không gian metric X như tập con (gồm các biến ngẫu nhiên suy biến) của không gian LX 0 (Ω) các biến ngẫu nhiên X-giá trị. Từ đó, với mỗi toán tử ngẫu nhiên liên tục f từ X vào Y ta xây dựng được một ánh xạ Φ từ LX Y 0 (Ω) vào L0 (Ω) mà hạn chế của Φ trên X trùng với f. Ngoài ra mối liên hệ giữa sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên của f và Φ cũng được thiết lập.

Với mục đích mở rộng miền xác định của toán tử ngẫu nhiên, trong [1, 5, 58] các tác giả đã đưa ra khái niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, trong đó ánh xạ biến mỗi biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric thành biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian metric. Sử dụng các tính toán thuần túy xác suất, các tác giả đã chứng minh được một số kết quả ban đầu tương tự như của O. Pap về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Nội dung của luận án bao gồm định lý về sự thác triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, là cơ sở để xét đến các bài 6 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com toán về điểm bất động, điểm trùng nhau và bài toán về phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.

Ngoài ra luận án đề cập đến các kết quả nghiên cứu về điểm bất động, điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, từ đó áp dụng các định lý điểm bất động và định lý điểm trùng nhau để tìm nghiệm của phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Luận án gồm 3 chương. Chương 1 trình bày tổng quan về các khái niệm và kết quả đã biết của các tác giả khác liên quan đến định lý điểm bất động và điểm trùng nhau ngẫu nhiên của các toán tử ngẫu nhiên. Các kết quả của chương này được trích dẫn và bỏ qua chứng minh chi tiết.

Chương 2 trình bày khái niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, định lý thác triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, tính liên tục theo xác suất của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Tiếp theo, chương này trình bày các kết quả nghiên cứu về điểm bất động của một số dạng toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Cuối cùng, một số kết quả về điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên được đề cập đến. Nội dung chính của chương này các định lý về sự tồn tại điểm bất động và điểm trùng nhau của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên.

Chương 3 trình bày kết quả nghiên cứu về ứng dụng các định lý điểm bất động, điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Các ứng dụng đó là chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên và sử dụng định lý điểm trùng nhau ngẫu nhiên để chứng minh sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên.