Luận án: Sóng lưu động ứng với sốc Lax trong hệ Hyperbolic định luật bảo toàn

DẠI QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN NGUYỀN HỮU HIỆP sự TỒN TẠI CỦA SÓNG Lưu ĐỘNG ỨNG VỚI SỐC LAX TRONG MỘT số HỆ HYPERBOLIC CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ỨNG VỚI HỆ SỐ TÁN XẠ VÀ KHUẾCH TÁN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TP. Hồ Chí Minh - 2022 ĐẠI QUOC GTA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN NGUYÊN HỮU HIỆP sự TỒN TẠI CỦA SÓNG Lưu ĐỘNG ỨNG VỚI sốc LAX TRONG MỘT số HỆ HYPERBOLIC CÁC ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN ỨNG VỚI HỆ số TÁN XẠ VÀ KHUẾCH TÁN Ngành: Toán Giải tích Mã số ngành: 62460102 Phản biện 1: PGS. Trần Vũ Khanh Phản biện 2: PGS. Lê Thị Phương Ngọc Phản biện 3: TS.

Nguyễn Thành Nhân Phản biện độc lập 1: PGS. Trần Vũ Khanh Phán biện độc lập 2: TS. Nguyễn Thành Nhân NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HOC 1) PGS. Mai Đức Thành 2) PGS.

Nguyễn Dinh Huy TP. HỒ Chí Minh - 2022 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan luận án tiến sĩ chuyên ngành Toán Giải tích - đề tài "Sự tồn tại của sóng lưu động ứng vớĩ sốc Lax trong một số hệ Hyperbolic các định luật bảo toàn ứng với hệ số tán xạ và khuếch tán" là công trình khoa học do tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Mai Đức Thành và PGS.TS Nguyễn Dinh Huy. Những kết quả của luận án hoàn toàn trung thực, chính xác và chưa có ai khác công bố trong bất kỳ công trình nào. Nghiên cứu sinh.

Nguyễn Hữu Hiệp i LỜI CẨM ƠN Lời đầu tiên, cho phép tôi được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến hai vị Thầy của tôi, Thầy Mai Đức Thành và Thầy Nguyễn Đình Huy. Trong suốt thời gian làm luận án tiến sĩ, hai Thầy đã hướng dẫn tôi rất tận tình, kiên nhẩn giúp đỡ tôi học tập và từng bước tập làm nghiên cứu khoa học. Những vướng mắc lớn lao trong nghiên cứu và cả trong cuộc sống nữa, tưởng chừng không thể vượt qua, Thầy luôn kiên nhẫn, động viên và giúp đỡ tôi cả về mặt tinh thần lẫn vật chất, cho tôi một động lực mạnh mẽ để hoàn thành luận án này. Tôi luôn tin chắc rằng, sự tận tâm và chân thành của Thầy là điều quan trọng nhất giúp cho tôi thực hiện thành công của luận án.

Tôi xin trân trọng cảm ơn quý thầy cô Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt những kiến thức quý báu và tạo điều kiện cho tôi một môi trường học tập, nghiên cứu nghiêm túc. Tôi xin chân thành cảm ơn quý Phòng, Ban, Nhà Trường đã tổ chức và đào tạo nghiên cứu sinh khóa 2015. Tôi xin bày tỏ sự cảm kích và lòng biết ơn đến Ban lãnh đạo trường Dại học Bách khoa - Dại học Quốc gia TP.HỒ Chí Minh; khoa Khoa học ứng dụng; cùng các Thầy Cô bộ môn Toán ứng dụng đã thông cảm và tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tôi dược làm việc trong suốt thời gian tôi thực hiện luận án tiến sĩ. Sự hỗ trợ tài chính của.

trường có ý nghĩa, lớn lao giúp tôi tập trung trong công tác nghiên cứu và hoàn thành luận án. Tôi xin dành tặng kết quả này đến gia dinh tôi, chỗ dựa tinh thần ấm áp và chia sẻ cùng tôi vượt qua giai đoạn khó khăn trong suốt thời gian qua. Cuối cùng, dù đã rất nỗ lực, luận án này chắc chắn sẽ còn chỗ khiếm khuyết. Sự đóng góp thẳng thắn, sâu sắc của Quý Thầy Cô bộ môn Toán Giải tích, khoa Toán - trường Khoa học Tự nhiên TP.HỒ Chí Minh cùng các Thầy Cô trong Hội đồng là lòi khuyên quý báu để luận án này được hoàn thiện hơn.

Xin chân thành cảm ơn! li Danh muc kí hiêu V thể tích tl vận tôc p hàm áp suất p hàm mật độ c nội năng E tống năng lượng e, A hệ số nhớt ỗ, p. hệ số xnao dẫn n hệ số nhiệt độ s vận tốc sốc 1R tập hợp số thực. R" không gian thực n chiều. (,)t đạo hàm theo biến t (.)x đạo hàm theo biến X <í>,4' cặp entropy lồi.

đường đặc trưng r đường cong gián đoạn /-1 hàm ngược V véc tơ Gradient của hàm nhiều biến iii r'OQ không gian các hàm khả vi vô hạn lần có giá compact. chuẩn Euclide trong không gian IRn. Re(z) phần thực của số phức z. L đạo hàm của L dọc theo quỹ dạo của phương trình ô-tô-nôm.

tập bất biến dương. đoạn quỹ đạo nằm phía trên trục hoành lần thứ nhất. ÍỈ miền hấp thụ của điểm cân bằng ổn định tiệm cận. c1 tập các hàm khả vi liên tục c- tập các hàm khả vi vô hạn lần có giá compact OF ma trận Jacobian của trường véc tơ F trên R”.

dư iv Muc luc V 97 vi Danh sách hình vẽ 3.1 Hàm thông lượng và sốc 74 3.2 Mien hap thụ của («+,0) tiếp cận đên điêm (u_,O) 3.3 Hàm thông lượng và dường cát tuyến cắt nhau tại 4 diểm phân biệt].4 Các miền hấp thụ và quỹ đạo rời khỏi (?/-,()) đi vào miền hấp thụ của điểm cân bằng ỗn định tiệm cận 88 Quỹ dạo rời khỏi điềm yên («-,0) hội tụ dên diêm cân băng («3,0) = (0.5,0) tương ứng với sóng lưu động liên kết vởi sóng sốc có (lien.6 Xấp xỉ sóng hĩu động tương ứng vói sóng sốc cỗ dien 94 vii viii GIỚI THIỆU Mô hình động lực học trong lưu chất thường được mô phóng bởi hệ các phương trình định luật bảo toàn (như là định luật bảo toàn khối lượng, động lượng, năng lượng. (1) Hiện tượng dòng vật chất bị nén lại thường dẫn đến sự thay đổi đột ngột của vận tốc, thể tích, áp suất. được gọi là một hiện tượng sốc. Một sóng sốc của phương trình các định luật bảo toàn (|TỊ) có dạng U-, X < st, Ì «+, X > st, trong đó, hằng số 5 dược gọi là vận tốc sốc; U- và u+ được gọi là các trạng thái bôn trái và trạng thái bên phải của sóng sốc.

Khi xem xét đến yếu tố nhớt của dòng chảy, bài toán luật bảo toàn với nhớt Uf + f(u)x = EUXX (3) có một nghiệm trơn u£(x,t) = u£(y),y = X - st được gọi là một sóng lưu động của (ỊbỊ)- Một sóng sốc u(x,t) được gọi là chấp nhận được nếu nó là giới hạn của một sóng lưu động u£(x, t) của (Ị3Ị) khi £ 0. Ngược lại, một sóng sốc mà không tương ứng vói một sóng lưu động nào chỉ đơn thuần là nghiệm toán học mà không có ý nghĩa vật lý. Trong những năm gần đây, khi quan sát một số hiện tượng vật lý trong quá trình chuyển pha, người ta thấy sự xuất hiện của hai loại sóng sốc khác nhau về bản chất. Việc xác định sốc nào xuất hiện trong một mô hình cụ thế có nhiều ý nghĩa thực tiễn, điều này phụ thuộc vào tính mao dẫn của dòng lưu chất.

Do đó, việc nghiên cứu các hệ phương trình các định luật bảo toàn với sự tham gia của cả yếu tố nhớt và mao dẫn của lưu chất cần dược nghiên cứu thấu đáo. Luận án nghiên cứu sự tồn tại của các loại sóng lưu động liên kết với các loại sóng sốc 1 trong một số hộ hyperbolic các định luật bảo toàn với nhớt và mao dẫn ut + f(u)x — E^xx + fìUXXX' (4) Ngày nay, với sự phát triển của khoa học và kỹ thuật, người ta quan tâm đến hiện tượng dòng vật chất di chuyển với tốc độ cao. Diều này dẫn đến môi trường ỏ bề mặt trước của vật thể bị nén lại cực hạn và dẫn đến một sự thay đổi đột ngột về mặt thể tích và áp suất và có thể giải tỏa một lượng lớn năng lượng ra môi trường. Hiện tượng này được gọi là sốc trong tự nhiên.

Sóng sốc còn xuất hiện trong quá trình chuyển pha của vật chất và xuất hiện ỏ cả thể rắn, lỏng hoặc khí, hay plasma. Việc thay đổi đột ngột này gây nhiều khó khăn cho quá trình quan sát và thực nghiệm. Việc hiểu và dự đoán trước các loại sốc có thể xảy ra và chủ động tránh hay hạn chế những thiệt hại do sốc gây ra đóng vai trò quan trọng. Bên cạnh việc hạn chế các tác động tiêu cực của sốc, người ta còn ứng dụng sốc vào một số lĩnh vực, như là: động cơ đốt trong, động cơ phản lực, thủy điện, điện hạt nhân.

Trong y học, người ta ứng dụng sốc để tái tạo vết thương; hồi phục mô, tế bào gân và xương; giảm đau, sưng, viêm và khôi phục khả năng vận động; làm tan các khối vôi hóa. Do vậy, nghiên cứu mô phỏng về mặt lý thuyết để hỗ trợ cho thực nghiệm là công việc quan trọng và thu hút rất nhiều nhà khoa học quan tâm. Việc nghiên cứu nghiệm sốc trong một số bài toán có dạng định luật bảo toàn và phi bảo toàn đã được giới thiệu từ rất sớm bởi một số nhà toán học ỏ thế kỷ XVIII, đáng kể nhất là các kết quả của Rankine và Hugoniot. Biểu thức chuyển đối năng lượng giữa hai trạng thái sốc có nhiều ứng dụng trong lĩnh vực hàng không vũ trụ và các mô hình dòng chảy vói tốc độ cao.

Cho đến những năm 50 của thế kỷ XIX, khi mà các hiện tượng sốc xuất hiện ngày càng nhiều trong các mô hình vật lý, các nhà khoa học khác bắt đầu quan tâm nhiều hơn đến hiện tượng sốc trong các phương trình định luật bảo toàn. Lý thuyết về hệ các định luật bảo toàn được giới thiệu bởi E.Hopf trong một khóa học năm 1950. Lý thuyết này có nhiều ý nghĩa thực tiễn và thu hút được nhiều nhà toán học quan tâm, như là D. Gilbarg bắt đầu công bố kết quả về tính chất nghiệm sốc trong dòng chảy một chiều với sự tham gia của yếu tố nhớt và nhiệt độ pu pu2 + p- pux = C2 - puux - Xỡx = c3, 2 xem [25].

Sóng sốc trong một số hệ hyperbolic các định luật bảo toàn (6) và trong luật bảo toàn dạng tổng quát (|TỊ) được P.Lax công bố sau đó, xem [4DỊ 3ĨỊ 32]. Diều này đã thu hút thêm nhiều nhà toán học khác tham gia, như là Conway, Smoller, Johnson, Volpert, Krushkov, Kotlow.Lax công bố bài báo về lý thuyết của hệ các định luật bảo toàn khối lượng, dộng lượng và sự tồn tại nghiệm sốc trong trường hợp trường đặc trưng suy biến tuyến tính, Xk-rk = 0, xem [41]. Trên phương diện toán học, nghiệm cổ điển của một phương trình đạo hàm riêng có thể không tồn tại. Do dó, việc nghiên cứu nghiệm yếu của chúng là cần thiết.

Ngay cả khi dữ kiện đầu là trơn thì nghiệm cổ điển chỉ tồn tại trên một khoảng thời gian nhất định.