Phương pháp tìm nghiệm bài toán cân bằng đồng thời là điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn

i abc ii LỜI CAM ĐOAN Các kết quả trình bày trong luận án là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. Các kết quả trình bày trong luận án là mới và chưa từng được công bố trong các công trình của người khác. Tôi xin chịu trách nhiệm về những lời cam đoan của mình. Tác giả Nguyễn Đình Dương iii LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành tại Viện Công nghệ thông tin - Học viện Khoa học và Công nghệ dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy. Trong quá trình học tập và nghiên cứu, thông qua các bài giảng và seminar tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ và những ý kiến đóng góp quý báu của GS. Trần Vũ Thiệu, PGS. Đặng Văn Đức, PGS.

Phạm Ngọc Anh, PGS. Nguyễn Hữu Điển, TS. Hoàng Hùng, TS. Trần Văn Dũng, TS.

Nguyễn Công Điều, TS. Nguyễn Minh Tuấn, TS. Nguyễn Thị Thu Thủy. Từ đáy lòng mình tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô.

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Viện Công nghệ thông tin - Học viện Khoa học và Công nghệ, Ban giám hiệu Trường Đại học Hàng hải Việt nam đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả có thể hoàn thành luận án của mình. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong Bộ môn Toán - Khoa Cơ sở cơ bản - Đại học Hàng hải Việt Nam, cùng toàn thể anh chị em nghiên cứu sinh, bạn bè đồng nghiệp đã luôn quan tâm, động viên, trao đổi và đóng góp những ý kiến quý báu cho tác giả trong suốt quá trình học tập, seminar, nghiên cứu và hoàn thành luận án. Tác giả xin kính tặng những người thân yêu trong gia đình của mình niềm vinh hạnh to lớn này. Tác giả Mục lục Trang phụ bìa.

i Lời cam đoan. ii Lời cảm ơn. iii Mục lục. iv Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt.

vi MỞ ĐẦU. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7 1. Một số khái niệm cơ sở. Một số phương pháp tìm điểm bất động.

Phương pháp lặp Krasnosel’skij-Mann. Phương pháp lặp Halpern. Một số mở rộng. Một số phương pháp tìm điểm bất động của nửa nhóm 23 1.

Bài toán cân bằng. Bài toán cân bằng và các trường hợp riêng. Một số phương pháp tìm nghiệm bài toán cân bằng. Một số phương pháp tìm nghiệm bài toán cân bằng đồng thời là điểm bất động của nửa nhóm.

Một số bổ đề bổ trợ. PHƯƠNG PHÁP LẶP MANN VÀ PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP 37 2. Phương pháp lặp Mann. Phương pháp lai ghép trong qui hoạch toán học.

Thử nghiệm số. Kết quả áp dụng phương pháp lặp Mann. Kết quả áp dụng phương pháp lai ghép. PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ MỀM 62 3.

Phương pháp xấp xỉ mềm. Phương pháp xấp xỉ mềm giải bài toán tổng quát. 74 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ. 88 DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ.

90 TÀI LIỆU THAM KHẢO. 90 Một số ký hiệu và viết tắt N tập số nguyên dương R tập số thực R+ tập các số thực không âm X không gian Banach X∗ không gian đối ngẫu của X H không gian Hilbert thực hx, yi tích vô hướng của hai vectơ x và y kxk chuẩn của vectơ x inf M cận dưới đúng của tập hợp số M sup M cận trên đúng của tập hợp số M max M số lớn nhất trong tập hợp số M min M số nhỏ nhất trong tập hợp số M M bao đóng của tập hợp M int(M) phần trong của tập hợp M D(A) miền xác định của toán tử A R(A) miền ảnh của toán tử A A−1 toán tử ngược của toán tử A I toán tử đồng nhất gphf đồ thị của ánh xạ f ∂f (x) dưới vi phân của f tại điểm x f ′ (x) và ∇f (x) đạo hàm của f tại điểm x vii d(x, M) khoảng cách từ phần tử x đến tập M B(a, r) hình cầu đóng tâm a bán kính r B(a, r) hình cầu mở tâm a bán kính r S(a, r) mặt cầu tâm a bán kính r lim sup xn giới hạn trên của dãy số {xn} n→∞ lim inf xn giới hạn dưới của dãy số {xn} n→∞ xn → x0 dãy {xn } hội tụ mạnh về x0 xn ⇀ x0 dãy {xn } hội tụ yếu về x0 Fix(T ) hoặc F (T ) tập điểm bất động của ánh xạ T EP bài toán cân bằng SEP(G, C) tập nghiệm của bài toán cân bằng AXKG ánh xạ không giãn BTCB bài toán cân bằng QHTH quy hoạch toán học MỞ ĐẦU Bài toán chấp nhận lồi (convex feasibility problem) là bài toán: "Tìm phần tử thuộc giao của một họ các tập con đóng lồi Ci trong không gian Hilbert H hay không gian Banach X". Bài toán này đóng vai trò quan trọng trong xử lý ảnh, xử lí tín hiệu và được ứng dụng rộng rãi trong các lĩnh vực của y học, quân sự, công nghiệp .1) Neumann đã chứng minh được cả hai dãy trên hội tụ mạnh đến PC (x) với C = C1 ∩ C2. Năm 1965, Bregman [12] mở rộng công thức (0.1) cho trường hợp họ gồm hai tập con đóng lồi trong không gian Hilbert nhưng chỉ thu được sự hội tụ yếu.

Trường hợp phức tạp hơn, khi các tập con Ci trong họ được cho dưới dạng ẩn, như các tập con là các tập nghiệm của bài toán cân bằng [22], [29]; các tập nghiệm của phương trình với toán tử loại đơn điệu (đơn điệu [18] và j-đơn điệu [3]); tập điểm bất động của họ hữu hạn đến vô hạn không đếm được các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert hay Banach (xem [4], [7], [8], [25], [45], [49]). Mới đây, người ta xét trường hợp họ trên chứa các tập con Ci không thuộc cùng loại kể trên. Đó là họ gồm tập nghiệm của bài toán cân bằng và tập nghiệm của phương trình với toán tử đơn điệu [61], [65]; họ gồm 2 tập nghiệm của phương trình với toán tử đơn điệu và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn [34], [60]. Năm 2007, Tada và Takahashi [58] đã xét trường hợp khi họ gồm tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.

Các tác giả đã kết hợp phương pháp lặp Mann tìm điểm bất động với phương pháp điểm gần kề tìm nghiệm bài toán cân bằng và đề xuất công thức lặp: x0 ∈ H   G(un , y) + 1 hy − un, un − xni ≥ 0, ∀y ∈ C, rn (0.2)  xn+1 = αn xn + (1 − αn )T un. Với một số điều kiện của {αn } và {rn }, các tác giả đã chỉ ra rằng dãy lặp {xn } hội tụ yếu về phần tử p∗ ∈ SEP(G, C) ∩ Fix(T ), trong đó SEP(G, C) và Fix(T ) tương ứng là tập nghiệm của bài toán cân bằng với song hàm G và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T. Để nhận được sự hội tụ mạnh, năm 2007, Takahashi S. [59] đã sử dụng phương pháp xấp xỉ mềm (viscosity approximation method) xây dựng dãy {xn } theo công thức: x0 ∈ H,   G(un , y) + 1 hy − un, un − xni ≥ 0, ∀y ∈ C, rn (0.3)  xn+1 = αn f (xn) + (1 − αn )T un, trong đó f : H → H là ánh xạ co, {αn } ⊂ [0, 1] và {rn } ⊂ (0, ∞) thỏa mãn ∞ P ∞ P (C1) lim αn = 0, (C2) αn = ∞, (C3) |αn+1 − αn | < ∞, n→∞ n=1 n=1 ∞ P (D1) lim inf rn > 0 và (D2) |rn+1 − rn| < ∞.

n→∞ n=1 Nhằm giảm nhẹ các điều kiện đặt lên {αn } và vẫn nhận được sự hội tụ mạnh, Tada và Takahashi [58] đã cải tiến công thức (0.2) bằng cách sử dụng phương pháp lai ghép trong quy hoạch toán học (hybrid method in 3 the mathematical programming) theo sơ đồ lặp: x0 = x ∈ H,   1   G(u n , y) + hy − un, un − xni ≥ 0, ∀y ∈ C,   rn     wn = (1 − αn )xn + αn T un , Cn = {z ∈ H : kwn − zk ≤ kxn − zk} , (0.4)       Qn = {z ∈ H : hxn − z, x − xni ≥ 0} ,    xn+1 = PCn ∩Qn (x), trong đó {αn } ⊂ [a, 1], a ∈ (0, 1). Năm 2010, Cianciaruso và các cộng sự [26] xét bài toán chấp nhận lồi khi họ gồm tập nghiệm của bài toán cân bằng và tập điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn S = {T (t) : 0 ≤ t < ∞} trong toàn không gian Hilbert. Các tác giả đã mở rộng công thức (0.3) dưới dạng: x0 ∈ H,   1  G(un , y) + hy − un, un − xni ≥ 0, ∀y ∈ H, rn (0.5)  1 R tn  xn+1 = αn γf (xn) + (I − αn A) T (s)u n ds tn 0 và chỉ ra dãy {xn } hội tụ mạnh đến p∗ ∈ SEP(G, H) ∩ Fix(S) với các điều kiện: ∞ P ∞ P (C1) lim αn = 0, (C2) αn = ∞, (C3) |αn+1 − αn | < ∞; n→∞ n=1 n=1 |tn − tn−1| 1 (D1) lim tn = ∞, (D2) lim = 0; n→∞ n→∞ tn αn P∞ (E1) lim inf rn > 0 và (E2) |rn+1 − rn | < ∞. n→∞ n=1 Cũng sử dụng phương pháp xấp xỉ mềm để giải bài toán trên, Ceng và Wong [23] đã đề xuất phương pháp lặp trong đó không sử dụng tích phân Bochner như sau: x0 ∈ C,   G(un , y) + 1 hun − xn, y − un i ≥ 0, ∀y ∈ C, rn (0.

4 Các tác giả đã chứng minh được sự hội tụ mạnh của {xn} với một số giả thiết của các dãy tham số và nửa nhóm ánh xạ không giãn S thỏa mãn điều kiện chính quy tiệm cận đều (uniformly asymptotically regularity condition), tức là lim sup kT (t)T (s)x − T (s)xk = 0. s→∞ e x∈C Mục đích chính của luận án là: mở rộng các kết quả (0.4) của Tada và Takahashi tìm nghiệm bài toán cân bằng đồng thời là điểm bất động của nửa nhóm ánh xạ không giãn; đề xuất một cách tiếp cận khác của phương pháp xấp xỉ mềm nhằm giảm nhẹ điều kiện đặt lên các dãy tham số trong các kết quả (0.5) của Cianciaruso và các cộng sự; mở rộng kết quả (0.