Tổng quan về luận án

Lý thuyết tối ưu không trơn (nonsmooth optimization) và giải tích biến phân (variational analysis) giữ vai trò cốt lõi trong toán học ứng dụng hiện đại, cung cấp nền tảng lý thuyết và thuật toán xử lý các bài toán điều khiển tối ưu, cân bằng kinh tế và cơ học phi tuyến. Trong đó, như văn bản luận án khẳng định: "Điều kiện tối ưu không trơn nằm ở vị trí trung tâm trong lý thuyết tối ưu. Nó không những có ý nghĩa về mặt lý thuyết, mà còn là cơ sở cho thuật toán tìm các nghiệm tối ưu." Mặc dù các điều kiện tối ưu cấp một và cấp hai đã được hoàn thiện sâu rộng bởi nhiều tác giả, các bài toán thực tế chứa điểm kỳ dị hoặc suy biến đòi hỏi việc thiết lập điều kiện tối ưu cấp cao ($m \ge 2$) nhằm cung cấp thông tin kiểm tra chặt chẽ hơn.

Khoảng trống học thuật (research gap) then chốt xuất phát từ sự hạn chế của các khái niệm đạo hàm suy rộng cổ điển: rất ít công cụ vi phân mở rộng được lên cấp $m > 2$ mà vẫn bảo toàn đầy đủ các quy tắc giải tích hàm hợp và tính phân tách độc lập. Các nghiên cứu trước đây (như Khanh & Tung [56], Jahn [49], Luc [61]) gặp phải sự đánh đổi nghiêm ngặt: hoặc chỉ thu được quy tắc nhân tử Karush-Kuhn-Tucker (KKT) với điều kiện chính quy metric tuyến tính kèm độ lệch bù cấp cao, hoặc đạt được tính dưới chính quy metric kiểu Hölder nhưng chỉ dừng lại ở độ lệch bù cấp một. Luận án giải quyết triệt để vấn đề này thông qua hệ thống câu hỏi nghiên cứu:

  1. RQ1: Làm thế nào để xây dựng một dạng đạo hàm suy rộng cấp cao dung hòa được tính dưới chính quy metric Hölder phi tuyến và độ lệch bù cấp cao?
  2. RQ2: Quy tắc nhân tử KKT phi cổ điển cho các lớp nghiệm chính thường (Henig, Borwein, dương) được xác lập như thế nào khi nón thứ tự $D$ của ràng buộc là đặc ($\operatorname{int} D \ne \emptyset$) hoặc không đặc ($\operatorname{int} D = \emptyset$)?
  3. RQ3: Làm thế nào để mở rộng đạo hàm Hadamard cấp cao cho ánh xạ đa trị và thiết lập định lý hàm ẩn phục vụ phân tích độ nhạy của bài toán cân bằng vectơ có tham số?

Hệ thống giả thuyết nghiên cứu bao gồm:

  • H1: Tồn tại đạo hàm tựa tiếp liên (quasi-contingent derivative) chỉ số $\gamma \in [0, \infty]$ cho phép tách độc lập cấp khả vi giữa hàm mục tiêu và ràng buộc.
  • H2: Dưới điều kiện định tính ràng buộc kiểu Mangasarian-Fromovitz (MFCQ) và Kurcyusz-Robinson-Zowe (KRZCQ), nhân tử Lagrange ứng với mục tiêu được đảm bảo không triệt tiêu.
  • H3: Ánh xạ nghiệm của phương trình suy rộng và bài toán cân bằng tham số thừa hưởng tính ổn định định lượng thông qua đạo hàm Hadamard cấp cao dưới giả thiết chính quy metric theo hướng.

Nghiên cứu được xây dựng trên không gian Banach tổng quát $X, Y, Z$, mở rộng phạm vi ứng dụng cho các không gian vô hạn chiều với các lớp nghiệm địa phương yếu ($LW(P)$), nghiệm chính thường Henig ($LHe(P)$), nghiệm Borwein ($LBo(P)$) và nghiệm dương ($LPos(P, A)$).

Literature Review và Positioning

Khảo cứu tài liệu chuyên sâu cho thấy sự phát triển của giải tích biến phân gắn liền với các công trình nền tảng về đạo hàm tiếp liên (Bouligand-Severi, Aubin [7]), đạo hàm Studniarski [79], nón pháp tuyến và đối đạo hàm (Mordukhovich [67, 68], Rockafellar & Wets [75]). Trong lĩnh vực tối ưu hóa đa trị và tối ưu vectơ, các công trình của Benson [9], Borwein [11], Geoffrion [25], Henig [33] đã định hình hệ thống nghiệm chính thường nhằm loại bỏ các điểm dị thường của nghiệm Pareto yếu.

Tranh luận khoa học lớn tồn tại giữa hai trường phái tiếp cận:

  • Trường phái đối ngẫu (Dual-space approach): Đại diện bởi Levy & Mordukhovich [59], Huy & các cộng sự [37], Yao & Yên [92], Cánovas et al. [14], tập trung vào dưới vi phân và đối đạo hàm để phân tích tính ổn định Lipschitz và độ nhạy cấp một. Tuy nhiên, hướng tiếp cận này gặp thách thức kỹ thuật rất lớn khi nâng lên cấp cao $m \ge 3$.
  • Trường phái nguyên thủy (Primal-space approach): Sử dụng đạo hàm theo hướng cấp cao (Studniarski [79], Penot [71], Sach & Tuan [88, 89], Anh & Khánh [3], Sun & Li [81]). Hạn chế của hướng này là hầu hết kết quả chỉ dừng lại ở dạng quy tắc nhân tử Fritz John – nơi nhân tử mục tiêu có thể bị triệt tiêu, làm mất thông tin của hàm mục tiêu khi ràng buộc tới hạn.

Vị trí học thuật của luận án được xác lập thông qua việc vượt qua hai công trình quốc tế điển hình:

  1. So với nghiên cứu của Khanh & Tung [56], công trình đã khắc phục hạn chế phân tách giữa chính quy metric tuyến tính và phi tuyến Hölder, tạo ra quy tắc KKT đồng thời mang đặc tính Hölder và độ lệch bù cấp $m$.
  2. So với các công trình của Jahn [49], Luc [61], Sach & Tuan [88], luận án đã chuyển hóa quy tắc nhân tử từ dạng Fritz John sang dạng KKT tường minh, đồng thời chuyển đổi vế phải đẳng thức từ số $0$ cổ điển sang cận trên đúng (supremum) có thể nhận giá trị âm, phản ánh chính xác cấu trúc hình học của nón thứ tự.
Tiêu chí so sánh Nghiên cứu trước đây ([49], [56], [61], [88]) Đóng góp của Luận án (Nguyen Xuan Duy Bao, 2023)
Dạng quy tắc nhân tử Fritz John hoặc KKT cổ điển (vế phải bằng 0) KKT phi cổ điển (vế phải dạng supremum âm/dương)
Độ lệch bù & Cấp chính quy Tách rời: Tuyến tính + cấp cao HOẶC Hölder + cấp 1 Kết hợp đồng thời: Dưới chính quy Hölder + độ lệch bù cấp $m$
Bậc đạo hàm thành phần Tính theo cặp phụ thuộc lẫn nhau $(F, G)$ Độc lập hoàn toàn giữa mục tiêu $F$ ($m_1$) và ràng buộc $G$ ($m_2$)
Phân tích độ nhạy Chủ yếu cấp 1 (Mordukhovich [59], Robinson [74]) Cấp cao $m \ge 2$ với đạo hàm Hadamard và Định lý hàm ẩn đa trị

Đóng góp lý thuyết và khung phân tích

Đóng góp cho lý thuyết

Luận án tạo bước tiến đột phá trong việc mở rộng lý thuyết vi phân suy rộng và lý thuyết tối ưu KKT phi tuyến thông qua các đóng góp cụ thể:

  1. Mở rộng lý thuyết đạo hàm suy rộng: Đề xuất khái niệm đạo hàm trên tựa tiếp liên cấp $m$ chỉ số $\gamma \in [0, \infty]$: $$D_{\gamma}^{m} \Phi(\bar{x}, \bar{y}, v_1, \dots, v_{m-1})(x) := \operatorname{Limsup}{\substack{x' \to x, (t, r) \downarrow (0, 0) \ tr^{-1} \le \gamma}} \frac{\Phi(\bar{x} + tx') - \bar{y} - tv_1 - \dots - t^{m-1}v{m-1}}{t^{m-1}r}$$ Đạo hàm này tổng quát hóa đạo hàm tiếp liên cổ điển ($\gamma = 1$), đạo hàm tiệm cận cấp hai ($\gamma = 0, m=2$ của Penot [71]), và đạo hàm Studniarski ($v_1 = \dots = v_{m-1} = 0, \gamma = 1$ [79]).

  2. Thiết lập quy tắc nhân tử KKT phi cổ điển: Như tác giả chứng minh: "Chúng tôi thiết lập các quy tắc nhân tử Karush-Kuhn-Tucker với độ lệch bù cấp cao và các giả thiết dưới chính quy Hölder. Những quy tắc này có dạng phi cổ điển, cụ thể là vế phải là supremum (thay vì là 0 như dạng cổ điển)." Sự xuất hiện của số hạng supremum âm thể hiện hiệu ứng tựa bao hình cấp cao (higher-order quasi-envelope effect).

  3. Tính độc lập của cấp đạo hàm: Một luận điểm then chốt được khẳng định: "Cấp của đạo hàm tựa tiếp liên của ánh xạ mục tiêu và ràng buộc là khác nhau và không phụ thuộc lẫn nhau." Điều này cho phép hàm mục tiêu đạt cấp vi phân $m_1$ trong khi hàm ràng buộc thỏa mãn cấp vi phân $m_2$, tối ưu hóa tính toán trên từng thành phần cấu trúc.

Khung phân tích độc đáo

Khung phân tích của nghiên cứu là sự tích hợp chặt chẽ giữa Giải tích biến phân (Variational Analysis), Hình học không gian Banach (Geometry of Banach Spaces) và Lý thuyết đối ngẫu nón (Cone Duality Theory).

graph TD
    A["Không gian Banach X, Y, Z"] --> B["Hình học nón: Nón đối ngẫu C*, Phần trong giả C†(B)"]
    B --> C["Đạo hàm tựa tiếp liên Dγm & Đạo hàm Hadamard cấp cao"]
    C --> D["Giải tích hàm hợp: Quy tắc Tổng & Xích dưới chính quy Metric"]
    D --> E1["Bài toán tối ưu đa trị (P): Điều kiện KKT phi cổ điển (MFCQ / KRZCQ)"]
    D --> E2["Bài toán cân bằng & Phương trình suy rộng: Phân tích độ nhạy cấp cao"]

Các điều kiện biên (boundary conditions) được xác định rõ ràng:

  • Khi $\operatorname{int} D \ne \emptyset$, áp dụng điều kiện định tính ràng buộc dạng Mangasarian-Fromovitz (MFCQ) kết hợp với phần trong tô pô.
  • Khi $\operatorname{int} D = \emptyset$, áp dụng điều kiện định tính ràng buộc dạng Kurcyusz-Robinson-Zowe (KRZCQ) thông qua nón đối ngẫu compact và phần trong đại số $\operatorname{core}(D)$.

Phương pháp nghiên cứu tiên tiến

Thiết kế nghiên cứu

Nghiên cứu tuân thủ chặt chẽ lập trường nhận thức luận diễn dịch-tiên đề (deductive-axiomatic epistemology) và thế giới quan toán học thực chứng (mathematical positivism). Khung phương pháp luận thuần túy sử dụng giải tích lồi, giải tích hàm phi tuyến và giải tích biến phân hiện đại. Thiết kế đa tầng bao gồm:

  • Tầng không gian nền tảng: Không gian Banach tổng quát $X, Y, Z$ cùng không gian đối ngẫu $X^, Y^, Z^*$.
  • Tầng hình học tập hợp: Phân tích cấu trúc nón lồi $C \subset Y$, $D \subset Z$, bao nón $\operatorname{cone}(M)$, bao tuyến tính $\operatorname{lin}(M)$, nón tiếp liên $T(M, \bar{x})$, nón pháp tuyến $N(M, \bar{x}) = -[T(M, \bar{x})]^$, và phần trong giả $C^\dagger(B) = \operatorname{cone}(B + \varepsilon B_Y)^$.
  • Tầng ánh xạ đa trị: Khảo sát các ánh xạ $\Phi: X \rightrightarrows Y$, $\Psi: Y \rightrightarrows Z$ qua miền xác định $\operatorname{dom} \Phi$, đồ thị $\operatorname{gph} \Phi$, và ánh xạ ngược $\Phi^{-1}$.

Quy trình nghiên cứu rigorous

Quy trình chứng minh giải tích được chuẩn hóa qua 4 giai đoạn nghiêm ngặt:

  1. Thiết lập tập tiếp xúc cấp cao: Xây dựng tập tiếp liên cấp $m$ chỉ số $\gamma$ ($T_{\gamma}^{m}$), tập kề ($A_{\gamma}^{m}$), và tập trong ($IT_{\gamma}^{m}$) trên nón lồi $M$. Chứng minh tính chất mở rộng: $$T_{\gamma}^m(M, \bar{x}, u) \subset T_{\gamma}^m(M, \bar{x}, u) + T(T(M, \bar{x}), u)$$
  2. Xây dựng giải tích vi phân cho đạo hàm tựa tiếp liên: Chứng minh quy tắc cộng và quy tắc xích (chain rule) thông qua tính khả vi proto tựa tiếp liên (proto quasi-contingent differentiability) và tính tựa Lipschitz.
  3. Khai thác điều kiện chính quy phi tuyến: Sử dụng tính dưới chính quy metric kiểu Hölder cấp $k \ge 1$: $$\operatorname{dist}(\bar{x}+tv, \Phi^{-1}(\bar{y})) \le \alpha [\operatorname{dist}(\bar{y}, \Phi(\bar{x}+tv))]^{1/k}$$ kết hợp tính dưới chính quy metric của hàm khoảng cách phụ trợ $g(a,b,c,d) = |a-c| + |b-d|$.
  4. Tách tập lồi bằng Định lý Hahn-Banach: Áp dụng định lý tách tập lồi rời nhau trong không gian vô hạn chiều để suy ra sự tồn tại của các phiếm hàm tuyến tính liên tục (nhân tử Lagrange $y^* \in C^, z^ \in D^*$).

Data và phân tích

Trong nghiên cứu toán học lý thuyết, "dữ liệu" là hệ thống các mệnh đề, mô hình trừu tượng và các phản ví dụ kiểm chứng (counterexamples):

  • Kiểm chứng tính độc lập khái niệm: Xây dựng ánh xạ $F(x) = {x^m}$ khi $x \ne 0$ và ${0, 1}$ khi $x = 0$ để chứng minh tính tựa ổn định Hölder cấp $m$ không suy ra tính tựa Lipschitz, và tính tựa Lipschitz không bảo toàn tính nửa liên tục trên (upper semi-continuity).
  • Phân tích kỳ dị của chỉ số $\gamma = \infty$: Luận án tính toán trực tiếp trên tập hợp $M \subset \mathbb{R}^2$ cho thấy: $$T_{1}^3(M, \bar{x}, u_1, u_2) = \mathbb{R} \times {0} \quad \text{trong khi} \quad T_{\infty}^3(M, \bar{x}, u_1, u_2) = \mathbb{R} \times \mathbb{R}_+$$ chứng minh trường hợp $\gamma = \infty$ thu nhận thêm thông tin hình học mới mà các chỉ số $\gamma \in {0, 1}$ bỏ sót hoàn toàn.

Phát hiện đột phá và implications

Những phát hiện then chốt

  1. Quy tắc KKT phi cổ điển cho nghiệm chính thường Henig ($LHe(P)$) và Borwein ($LBo(P)$): Luận án chứng minh rằng nếu $x_0 \in Q$ là nghiệm chính thường địa phương, tồn tại các nhân tử $y^* \in C^\dagger(B)$ (với $y^* \ne 0$) và $z^* \in D^$ thỏa mãn: $$\langle y^, v_m \rangle + \langle z^, w_m \rangle \ge \sigma\left((y^, z^*), -D_\gamma^m(F \times G)(x_0, y_0, z_0)(u)\right)$$ trong đó vế phải là hàm tựa $\sigma(f, M) = \sup_{y \in M} \langle f, y \rangle$, xác lập dạng KKT tổng quát với cận trên supremum.

  2. Phân tách hoàn toàn đạo hàm mục tiêu và ràng buộc: Thay vì lấy đạo hàm chung của tích ánh xạ $D(F \times G)$, nghiên cứu chứng minh công thức tách độc lập: $$\Delta_\gamma^{m_1, m_2}(x) = D_{\gamma_1}^{m_1} F^+(x_0, y_0)(x) \times D_{\gamma_2}^{m_2} G^+(x_0, z_0)(x)$$ với bậc $m_1 \ne m_2$ và $\gamma_1 \ne \gamma_2$, tối ưu hóa điều kiện kiểm tra cho từng thành phần bài toán.

  3. Hệ thống hóa giải tích đạo hàm Hadamard cấp cao cho ánh xạ đa trị: Thiết lập trọn vẹn các công thức tính đạo hàm Hadamard cho phép hợp, phép giao, phép tích Descartes, phép tổng và phép xích dưới điều kiện dưới chính quy metric theo hướng.

  4. Định lý hàm ẩn cho ánh xạ đa trị: Xây dựng thành công định lý hàm ẩn cho ánh xạ đa trị dựa trên tính chính quy metric theo hướng Robinson, mở đường tính toán đạo hàm Hadamard của ánh xạ nghiệm $S(p)$ trong phương trình suy rộng có tham số $0 \in f(x, p) + T(x)$.

Implications đa chiều

  • Về mặt lý thuyết: Cung cấp công cụ vi phân hoàn chỉnh kết nối giải tích biến phân với lý thuyết tối ưu trừu tượng; mở rộng lý thuyết cực trị trong không gian Banach.
  • Về mặt phương pháp luận: Khung phân tích bằng đạo hàm tựa tiếp liên chỉ số $\gamma \in [0, \infty]$ có thể chuyển giao trực tiếp để nghiên cứu bài toán tối ưu hai mức (bilevel optimization), bài toán nửa vô hạn (semi-infinite programming) và bài toán bù phi tuyến.
  • Về ứng dụng thực tiễn: Là cơ sở toán học để xây dựng thuật toán số giải các bài toán cân bằng kinh tế vĩ mô, bài toán truyền tải điện năng tối ưu (OPF) và điều khiển học hệ thống cơ học có va chạm (nonsmooth mechanics).

Limitations và Future Research

Nghiên cứu thừa nhận một số giới hạn học thuật khách quan:

  1. Giới hạn không gian đối ngẫu: Các định lý về nón không đặc yêu cầu tính chất nón đối ngẫu compact ($D \subset Z$ là nón đối ngẫu compact), điều này có thể bị hạn chế trong một số không gian Banach không phản xạ vô hạn chiều.
  2. Độ phức tạp tính toán: Việc xác định chính xác tập hướng tới hạn cấp cao $u \in \operatorname{ker} D\Phi$ trong thực hành số đòi hỏi chi phí tính toán giải tích lớn.

Chương trình nghiên cứu tiếp nối (Future Research Agenda) tập trung vào 4 hướng cụ thể:

  • Ứng dụng điều kiện KKT cấp cao vào lớp bài toán tối ưu Minimax và bài toán nửa xác định dương (Semidefinite programming).
  • Nghiên cứu thuật toán số xấp xỉ đạo hàm tựa tiếp liên cấp cao trong không gian Euclid hữu hạn chiều.
  • Mở rộng định lý hàm ẩn đa trị cho các hệ động học bất liên tục (discontinuous dynamical systems).
  • Phát triển điều kiện tối ưu đủ cấp cao (higher-order sufficient optimality conditions).

Tác động và ảnh hưởng

  • Ảnh hưởng học thuật: Các kết quả của luận án đã được công bố trên các tạp chí quốc tế chuyên ngành uy tín thuộc danh mục ISI/Scopus (như Journal of Optimization Theory and Applications, Applicable Analysis, Numerical Functional Analysis and Optimization). Dự kiến công trình sẽ tạo ra sự gia tăng trích dẫn đáng kể trong cộng đồng nghiên cứu giải tích biến phân quốc tế.
  • Đóng góp giáo dục sau đại học: Đóng vai trò tài liệu tham khảo chuẩn mực cho các khóa đào tạo tiến sĩ và thạc sĩ chuyên ngành Toán ứng dụng, Giải tích số và Tối ưu hóa tại Việt Nam và khu vực.
  • Ứng dụng công nghệ & R&D: Cung cấp nền tảng toán học tin cậy cho các kỹ sư phát triển thuật toán mô phỏng tối ưu hóa phi tuyến trong các hệ thống công nghiệp phức tạp.

Đối tượng hưởng lợi

  • Nghiên cứu sinh & Giới học thuật trẻ: Tiếp cận được phương pháp tiếp cận hiện đại về đạo hàm suy rộng cấp cao, rút ngắn thời gian xây dựng khung lý thuyết cho các đề tài liên quan.
  • Các nhà nghiên cứu cấp cao (Senior Academics): Sở hữu công cụ giải tích mạnh mẽ để giải quyết các bài toán tối ưu đa mục tiêu và bất phương trình biến phân có cấu trúc suy biến.
  • Chuyên gia phát triển thuật toán R&D: Ứng dụng các quy tắc nhân tử KKT phi cổ điển để thiết kế tiêu chuẩn dừng (stopping criteria) và điều kiện hội tụ bậc cao cho phần mềm tối ưu hóa số.
  • Nhà hoạch định mô hình kinh tế - kỹ thuật: Ứng dụng mô hình cân bằng vectơ có tham số để dự báo ổn định thị trường và phân tích độ nhạy chính sách định lượng.

Câu hỏi chuyên sâu

1. Đóng góp lý thuyết độc đáo nhất của luận án là gì? Đó là việc đề xuất khái niệm đạo hàm tựa tiếp liên cấp $m$ với chỉ số $\gamma \in [0, \infty]$ ($D_\gamma^m \Phi$), tích hợp thành công hai đặc tính vốn loại trừ nhau trong y văn: tính dưới chính quy metric kiểu Hölder phi tuyến và quy tắc nhân tử KKT mang độ lệch bù cấp $m$.

2. Đột phá phương pháp luận so với các nghiên cứu trước đây thể hiện ở điểm nào? So với cách tiếp cận cặp đạo hàm phụ thuộc $(F \times G)$ của Jahn [49] hay Sach & Tuan [88], luận án đã chứng minh sự phân tách độc lập giữa đạo hàm hàm mục tiêu $F$ (cấp $m_1$) và hàm ràng buộc $G$ (cấp $m_2$), kết hợp điều kiện định tính ràng buộc MFCQ/KRZCQ để đảm bảo nhân tử mục tiêu không triệt tiêu.

3. Phát hiện nào mang tính bất ngờ nhất về mặt toán học? Đó là cấu trúc phi cổ điển của quy tắc nhân tử KKT: vế phải không triệt tiêu về $0$ mà là một biểu thức supremum có thể nhận giá trị âm, phản ánh chính xác hiệu ứng hình học của nón thứ tự tại các điểm kỳ dị cấp cao.

4. Nghiên cứu có cung cấp giao thức kiểm chứng (replication protocol) không? Có. Toàn bộ các định lý đều đi kèm chứng minh toán học giải tích chặt chẽ từng bước (step-by-step rigorous proofs), cùng với hệ thống phản ví dụ cụ thể trên không gian $\mathbb{R}^2$ và không gian hàm để kiểm tra tính độc lập của các giả thiết.

5. Lộ trình phát triển 10 năm tới được vạch ra ra sao? Mở rộng khung lý thuyết sang các lớp bài toán ứng dụng chuyên sâu: tối ưu hai mức (bilevel programming), tối ưu nửa vô hạn, bài toán bù ma trận nửa xác định, và phát triển các gói thư viện thuật toán số bậc cao giải bài toán cân bằng tham số.

Kết luận

  1. Thiết lập thành công hệ thống lý thuyết vi phân suy rộng cấp cao thông qua đạo hàm tựa tiếp liên $D_\gamma^m$ ($\gamma \in [0, \infty]$) và đạo hàm Hadamard cấp cao cho ánh xạ đa trị.
  2. Xây dựng trọn vẹn quy tắc nhân tử KKT phi cổ điển với độ lệch bù cấp cao dưới giả thiết dưới chính quy metric Hölder cho các lớp nghiệm yếu, nghiệm Henig, nghiệm Borwein và nghiệm dương.
  3. Giải quyết triệt để bài toán giữ nhân tử mục tiêu không triệt tiêu thông qua việc áp dụng sáng tạo các điều kiện định tính ràng buộc kiểu Mangasarian-Fromovitz và Kurcyusz-Robinson-Zowe.
  4. Chứng minh định lý hàm ẩn cho ánh xạ đa trị và hoàn thiện công thức tính toán độ nhạy cấp cao cho ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng vectơ và phương trình suy rộng có tham số.
  5. Mở ra 3 hướng nghiên cứu ứng dụng mũi nhọn: tối ưu hóa hai mức phi trơn, tối ưu hóa nửa xác định và giải thuật số cho bài toán cân bằng kinh tế kỹ thuật phức tạp.