Luận án tiến sĩ: Điều kiện tối ưu trong tối ưu không trơn - Nguyễn Xuân Duy Bảo, ĐHKHTN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYEN XUAN DUY BẢO LUAN AN TIEN SI TP. Hồ Chí Minh - 2023 VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH UNIVERSITY OF SCIENCE NGUYEN XUAN DUY BAO DOCTORAL THESIS Ho Chi Minh City - 2023 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYÊN XUÂN DUY BẢO Ngành: Toán ứng dung Mã số ngành: 9460112 Phản biện 1: PGS.

Nguyễn Đình Huy Phản biện 2: PGS. Tạ Quang Sơn Phản biện 3: PGS. Lê Thanh Tùng Phản biện độc lập 1: miễn Phản biện độc lập 2: miễn NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC 1. GVHD chính: TS.

Nguyễn Minh Tùng 2. GVHD phụ: GS. Phan Quốc Khánh Tp. Hồ Chí Minh - 2023 Lời cam đoan Tôi cam đoan luận án tiến sĩ ngành Toán Ứng Dụng, với dé tài “Điều kiện tối ưu trong tối ưu không trơn và các van dé liên quan” là công trình khoa học do Tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của GS.

Phan Quốc Khánh và TS. Nguyễn Minh Tùng. Những kết quả nghiên cứu của luận án hoàn toàn trung thực, chính xác, và không trùng lắp với các công trình đã công bé trong và ngoài nước. Nghiên cứu sinh Nguyễn Xuân Duy Bảo Loi cam ơn Luan án “Điều kiện tối ưu trong tối ưu không trơn và các van dé liên quan” là dé tài tốt nghiệp của tôi theo học chương trình nghiên cứu sinh ngành Toán ứng dụng, hướng Tối ưu, tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên.

Lời đầu tiên, tôi xin được dành những lời cám ơn sâu sắc nhất đến tiến sĩ Nguyễn Minh Tùng, người đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn tôi hoàn thành luận án này. Đối với tôi, thầy Tùng là không chỉ người thầy xuất sắc, mà còn là người bạn đồng hành tuyệt vời. Sau khi hoàn thành chương trình thạc sĩ, tôi không nghĩ minh có thể tiễn xa hơn trên con đường học van. Lúc ấy, tôi vẫn còn hai bản thảo đang làm cùng thay.

Tôi biết thầy kì vọng rất nhiều, bao nhiêu thời gian và công sức của thầy đều đặt ở tôi. Thế nhưng những năm tháng đó, cuộc sống tôi đầy rẫy những trăn trở và lo toan, tôi loay hoay suốt ba bốn tháng vẫn chưa thể làm được gì. Nhiều lúc tôi đã nghĩ đến bỏ cuộc. Vậy mà thầy chang hề khiển trách, thầy hiểu những gì học trò mình đang trải qua, thầy đã động viên và giúp đỡ tôi rất nhiều.

Nếu không nhờ thay, có lẽ tôi đã không thể tiếp tục con đường nghiên cứu khoa học. Đó cũng là điều mà tôi quý trọng nhất ở thầy, người thầy đầy tâm huyết và giàu tình cảm. Tôi vẫn nhớ mãi những lần thầy kể về tôi cho đồng nghiệp, những học viên, học trò của thầy với vẻ đầy tự hào. Niềm tin của thầy đã làm cho tôi thêm tin tưởng vào bản thân mình.

Đối với những ai nghiên cứu Toán học lâu năm, có thể thấy những kết quả và ý tưởng của tôi không mấy nổi bật, nhưng thầy luôn công nhận và tôn trọng những nỗ lực đó. Thầy khuyến khích tôi tham khảo thêm nhiều sách để bồi dưỡng kiến thức, trao đổi những phương pháp và giúp tôi tìm kiếm câu trả lời. Thay cho tôi tự do sáng tạo, phát huy hết tiềm năng của mình, nhờ đó tôi đã biết được giới hạn của bản thân, những gì mình có thể và không thể. Tôi đã học hỏi được rất nhiều khi có cơ hội làm việc cùng thay, từ phương pháp học tập đến cách nhìn nhận vấn dé, từ việc mở mang tri thức đến việc xây dựng và phát triển ý tưởng.

Hơn hết, tôi học được cách làm người, hoc được cách làm thay. Tôi cảm thấy rất tự hào khi được là học trò của thầy Tùng. Tiếp theo, tôi xin trân trọng sửi lời cám ơn chân thành nhất đến giáo sư Phan Quốc Khánh. Thay là tắm gương sáng, là nguồn cảm hứng bat tận, là nguồn động lực dồi dào đối với một học viên mới chập chững bước chân vào con đường nghiên cứu.

Điều mà tôi tâm đắc nhất ở thầy đó là sự tỉ mỉ và chỉnh chu trong từng công việc, cùng với vôn kiến thức vô cùng uyên thâm. Lần đầu tiên tôi được gặp thầy là dịp tham dự seminar bộ môn khi còn đang học thạc sĩ. Tôi cực kì ấn tượng bởi cách tổ chức rất công phu và chuyên nghiệp, thầy Khánh đã tạo nên một môi trường khoa học thân thiện và hiệu quả. Khi đó, tôi chưa có cơ hội để giới thiệu ban thân và trao đổi với thầy về những nguyện vọng của mình.

Nhờ thầy Tùng mở lời, thầy đã vui vẻ đón nhận tôi như một người học trò. Hồ sơ đăng kí nghiên cứu sinh của tôi gặp không ít trục trặc vì chưa kịp cập nhật những quy định mới. Thầy đã dành rất nhiều thời gian và công sức để giúp đỡ, hướng dẫn tôi hoàn thành. Tôi không nghĩ mình có thể trở thành nghiên cứu sinh nếu như không có thầy.

Là một giáo sư, tôi biết thầy lúc nào cũng bận rộn với trăm công nghìn việc, vậy mà thầy luôn dành thời gian cho tôi mỗi khi tôi gặp khó khăn. Tôi nhớ có lần vì quá sơ suất, tôi đã gần như trễ hạn nộp báo cáo định kì. Lúc ấy, tôi chẳng còn cách nào khác đành phải làm phiền đến thay vào giờ nghỉ trưa. Thế nhưng thầy đã không quản ngại đón tiếp tôi, tận tình giúp đỡ tôi sửa từng câu, từng chữ trong bộ hồ sơ đó.

Tôi cảm thấy vô cùng biết ơn, nhưng cũng vô cùng có lỗi với thầy. Niềm hạnh phúc và vinh dự lớn lao đối với tôi đó là được thầy hướng dẫn. Bên cạnh đó, tôi xin cám ơn tập thể phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán và quý thầy cô đã tạo cho tôi điều kiện và môi trường học tập tốt, trang bị cho tôi những kiến thức cần thiết về chuyên ngành Toán Ứng dụng. Sự thân thiện và cách làm việc cũng như giảng dạy chuyên nghiệp của các thầy cô đã để lại trong lòng tôi nhiều Ấn tượng tốt đẹp.

Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn tha thiết đến gia đình đã tạo mọi điều kiện về mặt tinh thần, cũng như thể chất, động viên tôi để học tập và nghiên cứu trong suốt quá trình làm luận án. TRANG THONG TIN LUẬN AN Tên dé tài luận án: Điều kiện tối ưu trong tối ưu không tron va các vấn dé liên quan Ngành: Toán ứng dụng Mã số ngành: 9460112 Họ tên nghiên cứu sinh: NGUYEN XUAN DUY BẢO Khóa đào tạo: 2019 — 2022 Người hướng dẫn khoa học: 1. Nguyễn Minh Tùng 2. Phan Quốc Khánh Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM 1.

TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN ÁN: Kết quả chính của chúng tôi tập trung vào hai nội dung sau: (i) Điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu da trị với ràng buộc tổng quát và bài toán tối wu vectơ với ràng buộc hỗn hợp: bất phương trình suy rộng và phương trình Suy rộng; (ii) Phân tích độ nhạy: thiết lập định lý hàm ẩn cho ánh xa đa trị và tính toán đạo hàm của ánh xạ hữu hiệu có nhiễu của bài toán cân bằng vectơ có tham số, đồng thời nghiên cứu ánh xạ nghiệm của phương trình suy rộng có tham số ở dạng tổng quát. NHỮNG KET QUA MỚI CUA LUẬN ÁN: (i) Về điều kiện tối ưu, chúng tôi thiết lập các quy tắc nhân tử Karush-Kuhn-Tucker ở dạng phi cổ điển với độ lệch bù cấp cao bằng giả thiết dưới chính quy metric kiểu Hölder. Để đạt được điều đó, chúng tôi đề xuất và áp dụng khái niệm đạo hàm tựa tiếp liên với chỉ số y € [0,09], đồng thời chọn lựa các hướng tới hạn phù hợp. Nhờ các điều kiện định tính ràng buộc dạng Mangasarian-Fromovitz và Kurcyusz-Robinson-Zowe, nhân tử ứng với ánh xạ mục tiêu của chúng tôi khác 0.

Các kết quả trên hoàn toàn mới hoặc cải tiến đáng kể nhiều kết quả gần đây. (ii) Về phân tích độ nhạy, chúng tôi đề xuất khái niệm đạo hàm theo hướng cấp cao theo nghĩa của Hadamard cho ánh xạ đa trị. Một số các phép toán thông dụng như phép hợp, phép giao, phép tích, phép tổng, và phép xích được xây dựng với giả thiết dưới chính quy metric. Sự khả vi Hadamard và công thức tính đạo hàm của ánh xạ giá trị hữu hiệu cũng được thiết lập.

Sau đó, chúng tôi dùng các đạo hàm này để xây dựng định lý hàm ẩn cho ánh xạ đa trị, đồng thời áp dụng vào phân tích độ nhạy cấp cao cho ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng vectơ có tham số. Độ nhạy cho nghiệm của phương trình suy rộng có tham số cũng được khảo sát chỉ tiết. CÁC UNG DỤNG/ KHẢ NANG UNG DỤNG TRONG THUC TIEN HAY NHUNG VAN DE CON BO NGO CAN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU: Nghiên cứu về điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu đa trị và bài toán tối ưu vecto, thiết lập định lý hàm ẩn cho ánh xạ đa trị, phân tích độ nhạy cho ánh xạ nghiệm của bài toán cân bằng và phương trình suy rộng có tham số. Các mô hình bài toán được xét xuyên suốt luận án này là các mô hình tổng quát.

Trong thời gian tới, chúng tôi sẽ áp dụng các kết quả đã có vào trong các lớp bài toán cụ thể hơn như bài toán minimax, bài toán hai mức, bài toán nửa vô hạn, bài toán tối ưu vectơ với các ràng buộc cụ thể, bài toán nửa xác định dương. THESIS INFORMATION Thesis title: Optimality conditions in nonsmooth optimization and involved problems Speciality: Optimization and system theory Code: 9460112 Name of PhD Student: NGUYEN XUAN DUY BAO Academic year: 2019 — 2022 Supervisor: 1. Nguyễn Minh Tùng 2. Phan Quốc Khánh At: University of Science, Vietnam National University, Ho Chi Minh City 1.

SUMMARY: Our main results are divided into two parts: (i) Optimality conditions for a set-valued problem, which is subject to a general- ized inequality, and generalized inequality and generalized equality for vector optimization problem subject to mixed constraints; (11) Sensitivity analysis: we establish an implicit set-valued map theorem, and then apply it to consider sensitivity analysis of a parametric equilibrium problem and to study sensitivity analysis of the solution map of a parametric generalized equation. NOVELTY OF THESIS: Gi) For optimality conditions, we aim to establish Karush-Kuhn-Tucker multiplier rules involving higher-order complementarity slackness under Hölder metric subregularity. These rules may also be in the nonclassical form. To this end, we propose and apply our new concept of a quasi-contingent derivative of index y€ [0,00] and define suitable critical directions.

We impose generalized con- straint qualifications of the Mangasarian-Fromovitz and Kurcyusz-Robinson- Zowe types to have nonvanishing objective multipliers. Our results are new or improve significantly recent existing ones. (ii) For sensitivity analysis, we propose a notion of higher-order directional deriva- tives in the sense of Hadamard for set-valued maps.