Luận án tiến sĩ: Ứng dụng điểm bất động trong Toán Giải tích - Lê Thị Phương Ngọc

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH ------------------------- LEÂ THÒ PHÖÔNG NGOÏC ÖÙNG DUÏNG PHÖÔNG PHAÙP ÑIEÅM BAÁT ÑOÄNG TRONG SÖÏ TOÀN TAÏI NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH LUAÄN AÙN TIEÁN SÓ TOAÙN HOÏC THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH - 2007 BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH ------------------------- LEÂ THÒ PHÖÔNG NGOÏC ÖÙNG DUÏNG PHÖÔNG PHAÙP ÑIEÅM BAÁT ÑOÄNG TRONG SÖÏ TOÀN TAÏI NGHIEÄM CUÛA PHÖÔNG TRÌNH Chuyeân ngaønh: TOAÙN GIAÛI TÍCH Maõ soá : 1. 01 LUAÄN AÙN TIEÁN SÓ TOAÙN HOÏC NGÖÔØI HÖÔÙNG DAÃN KHOA HOÏC: PGS. LEÂ HOAØN HOAÙ THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH - 2007 LÔØI CAM ÑOAN Toâi xin cam ñoan ñaây laø coâng trình nghieân cöùu cuûa toâi. Caùc keát quaû vaø soá lieäu trong luaän aùn laø trung thöïc vaø chöa töøng ñöôïc ai coâng boá trong baát kyø moät coâng trình naøo khaùc.

Taùc giaû luaän aùn Leâ Thò Phöông Ngoïc LÔØI CAÙM ÔN Toâi voâ cuøng bieát ôn PGS. Leâ Hoaøn Hoaù, Khoa Toaùn - Tin hoïc, Tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm Thaønh phoá Hoà Chí Minh, Thaày ñaõ giaûng daïy, hướng dẫn vaø taän tình giuùp ñôõ toâi veà moïi maët trong hoïc taäp vaø nghieân cöùu khoa hoïc. Thaày thaät söï laø Ngöôøi Cha nghieâm khaéc cuûa toâi trong vieäc chæ baûo vaø reøn luyeän cho toâi nhöõng ñöùc tính caàn coù cuûa ngöôøi laøm khoa hoïc. Toâi bieát ôn saâu saéc TS.

Nguyeãn Thaønh Long, Khoa Toaùn - Tin hoïc, Tröôøng Ñaïi hoïc Khoa hoïc Töï nhieân, ÑHQG Tp. HCM, veà söï giuùp ñôõ taän tình vaø söï chæ baûo voâ cuøng quyù baùu cuõng nhö raát nghieâm khaéc cuûa Thaày cho toâi trong nghieân cöùu khoa hoïc. Thaày ñaõ cho toâi cô hoäi ñeå tham gia ñeà taøi nghieân cöùu Khoa hoïc Cô baûn vaø sinh hoaït hoïc thuaät theo caùc höôùng nghieân cöùu maø Thaày ñang chuû trì, taïo ñieàu kieän thuaän lôïi cho toâi hoaøn thaønh toát luaän aùn. Toâi xin pheùp baøy toû loøng bieát ôn saâu saéc ñeán caùc Nhaø Khoa hoïc laø caùc thaønh vieân trong caùc Hoäi ñoàng chaám luaän aùn tieán só caáp Boä moân vaø caáp Nhaø nöôùc, laø caùc chuyeân gia Phaûn bieän ñoäc laäp vaø chính thöùc cuûa luaän aùn, ñaõ cho toâi nhöõng nhaän xeùt, ñaùnh giaù vaø bình luaän quyù baùu cuøng vôùi nhöõng chæ baûo, ñeà nghò quan troïng taïo ñieàu kieän ñeå toâi hoaøn thaønh luaän aùn moät caùch toát nhaát.

Toâi kính göûi ñeán Quyù Thaày Coâ trong vaø ngoaøi Tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm Thaønh phoá Hoà Chí Minh ñoàng kính göûi ñeán Ban Toå chöùc caùc hoäi nghò khoa hoïc veà Toaùn hoïc lôøi caùm ôn traân troïng, trong suoát thôøi gian qua, toâi luoân nhaän ñöôïc söï giuùp ñôõ cuûa Quyù Thaày Coâ trong hoïc taäp, trong nghieân cöùu cuõng nhö cho toâi ñieàu kieän thuaän lôïi ñeå tìm kieám taøi lieäu vaø tham döï caùc hoäi nghò khoa hoïc. Toâi kính göûi ñeán Ban Giaùm hieäu, Ban Chuû nhieäm Khoa Toaùn - Tin hoïc, Boä moân Toaùn Giaûi tích vaø Phoøng Khoa hoïc Coâng ngheä - Sau Ñaïi hoïc cuûa Tröôøng Ñaïi hoïc Sö phaïm Thaønh phoá Hoà Chí Minh, ñaõ giuùp ñôõ toâi raát nhieàu trong quaù trình hoïc taäp vaø baûo veä luaän aùn, nhöõng lôøi caùm ôn chaân thaønh vaø traân troïng. Toâi chaân thaønh vaø traân troïng caùm ôn Quyù Thaày Coâ vaø caùc chuyeân vieân ôû Vuï Ñaïi hoïc vaø Sau Ñaïi hoïc cuûa Boä Giaùo duïc vaø Ñaøo taïo ñaõ taän tình giuùp ñôõ toâi hoaøn taát caùc thuû tuïc quan troïng trong quaù trình baûo veä luaän aùn. Toâi kính göûi ñeán Ban Giaùm hieäu, Ban Chaáp haønh Coâng Ñoaøn Tröôøng, Ban Chuû nhieäm Khoa Töï nhieân vaø caùc Phoøng Ban khaùc cuûa Tröôøng Cao ñaúng Sö phaïm Nha Trang, nôi toâi giaûng daïy, ñaõ taïo nhieàu ñieàu kieän thuaän lôïi veà vaät chaát cuõng nhö tinh thaàn ñeå toâi hoaøn thaønh toát caùc nhieäm vuï cuûa nghieân cöùu sinh, nhöõng lôøi caùm ôn saâu saéc vaø traân troïng.

Toâi thaønh thaät caùm ôn caùc Anh Chò ñoàng nghieäp vaø caùc Ngöôøi thaân cuûa toâi ñaõ giuùp ñôõ toâi veà moïi maët. Gia ñình toâi cuõng laø nguoàn ñoäng vieân to lôùn cuûa toâi. Toâi thaät söï kính troïng vaø bieát ôn saâu saéc taát caû nhöõng Ngöôøi ñaõ chæ baûo, quan taâm, ñoäng vieân vaø giuùp ñôõ toâi veà moïi maët. Nghieân cöùu sinh Leâ Thò Phöông Ngoïc MUÏC LUÏC Baûng caùc kyù hieäu ñaõ söû duïng MÔÛ ÑAÀU 1 Chöông 1: ÖÙNG DUÏNG ÑÒNH LYÙ KIEÅU KRASNOSEL'SKII VAØO PHÖÔNG TRÌNH TÍCH PHAÂN 10 1.2 Ñònh lyù ñieåm baát ñoäng kieåu Krasnosel'skii 11 1.3 Söï toàn taïi nghieäm 14 1.4 Nghieäm oån ñònh tieäm caän 22 1.5 Tính compact, lieân thoâng cuûa taäp hôïp nghieäm 28 1.6 Moät tröôøng hôïp toång quaùt 35 Chöông 2: ÖÙNG DUÏNG ÑÒNH LYÙ KIEÅU LERAY - SCHAUDER VAØ NGUYEÂN LYÙ AÙNH XAÏ CO VAØO PHÖÔNG TRÌNH VI PHAÂN HAØM CAÁP 47 HAI COÙ CHAÄM 2.2 Caùc kieán thöùc chuaån bò 48 2.3 Khaûo saùt baøi toaùn giaù trò bieân 3 ñieåm coù ñoái soá chaäm 49 2.4 Khaûo saùt baøi toaùn giaù trò bieân "hoãn hôïp" coù ñoái soá chaäm 61 2.5 Khaûo saùt baøi toaùn giaù trò ñaàu coù ñoái soá chaäm 67 Chöông 3: ÖÙNG DUÏNG NGUYEÂN LYÙ AÙNH XAÏ CO VAØO BAØI TOAÙN HOÃN HÔÏP CHO PHÖÔNG TRÌNH SOÙNG PHI TUYEÁN CHÖÙA TOAÙN TÖÛ KIRCHHOFF 75 3.2 Caùc khoâng gian haøm vaø keát quaû chuaån bò 78 3.3 Söï toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm 81 3.4 Söï hoäi tuï caáp hai vôùi f = f(r, u), B = B(z) 95 3.5 Khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm theo moät tham soá beù 107 KEÁT LUAÄN 123 Danh muïc coâng trình cuûa taùc giaû 126 Taøi lieäu tham khaûo 127 BẢNG CÁC KÝ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG N Tập hợp các số tự nhiên.

N∗ Tập hợp các số tự nhiên khác 0. R Tập hợp các số thực. R+ Tập hợp các số thực không âm. Rn Không gian Euclide thực n-chiều.

Ω Bao đóng của Ω. coM Bao lồi của M. A×B Tích Đềcác của hai tập hợp A và B.|n ) Không gian vectơ X với họ nửa chuẩn đếm được |. (X, d) Không gian metric X với metric d.|) Không gian Banach E với chuẩn |.

k · kX Chuẩn trên không gian Banach X. X0 Không gian đối ngẫu của X. C 0 (Ω) ≡ C(Ω) Không gian gồm các hàm số u : Ω → R liên tục trên Ω, Ω là tập mở trong Rn. C m (Ω) Không gian các hàm số u ∈ C 0 (Ω) sao cho Dα u ∈ C 0 (Ω), với mọi đa chỉ số α, |α| ≤ m.

m C (Ω) Không gian các hàm số u ∈ C m (Ω) sao cho Dα u bị chặn và liên tục đều trên Ω, với mọi đa chỉ số α, |α| ≤ m. C(R+ ; E) Không gian các hàm liên tục u : R+ → E. f : X → Y, f |A Ánh xạ thu hẹp của ánh xạ f trên tập A ⊂ X. Lp (0, T ; X), 1 ≤ p ≤ ∞ Không gian các hàm đo được u : (0, T ) → X sao cho R 1/p T p kukLp (0,T ;X) = 0 ku(t)kX dt < ∞ với 1 ≤ p < ∞, kukL∞ (0,T ;X) = ess sup0<t<T ku(t)kX với p = ∞.

00 0 u + f (t, ut , u (t)) = 0 Phương trình vi phân hàm cấp hai được xét trong chương 2, u là ẩn hàm theo t, ut là hàm có đối số chậm, u0 , u00 lần lượt chỉ đạo hàm cấp 1, đạo hàm cấp 2 của u theo t.  Kết thúc chứng minh. ? Kết luận của chương. 1 MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động là một trong những lý thuyết quan trọng của Giải tích, với rất nhiều thành tựu mà nổi bật là các nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), Banach (1922) và Schauder (1930).

Nguyên lý điểm bất động Brouwer được Brouwer chứng minh dựa trên lý thuyết bậc tôpô của ánh xạ liên tục trong không gian hữu hạn chiều. Đây cũng là một định lý được xem là thành tựu sớm nhất của tôpô đại số và làm nền móng cho các hướng nghiên cứu tiếp theo của nhiều nhà Toán học, dẫn đến các kết quả cơ bản khác. Định lý điểm bất động Schauder chính là một mở rộng của nguyên lý điểm bất động Brouwer cho không gian vô hạn chiều (áp dụng cho không gian Banach). Một mở rộng khác là định lý Tychonoff (1935, áp dụng cho không gian vectơ tôpô lồi địa phương),v.

Định lý điểm bất động Brouwer còn được mở rộng cho ánh xạ đa trị bởi các nhà Toán học như Kakutani (1941), Bohnenblust và Karlin (1950), Ky Fan (1960/61). Năm 1929, ba nhà Toán học Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng minh một kết quả quan trọng, Bổ đề KKM, đem đến một cách chứng minh đơn giản nguyên lý điểm bất động Brouwer và đặc biệt hơn nữa, bổ đề KKM và nguyên lý điểm bất động Brouwer là hai kết quả tương đương nhau. Từ sự xuất hiện của bổ đề KKM, cùng những kết quả sâu sắc trong các công trình nghiên cứu của Ky Fan làm nền tảng, lý thuyết KKM hình thành, phát triển và được sử dụng rộng rãi như một công cụ hữu ích cho lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị, lý thuyết biến phân, toán kinh tế, v. Với việc chỉ ra tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ co trong không gian mêtric đầy đủ và thiết lập được một dãy lặp hội tụ về điểm bất động đó, nguyên lý điểm bất động Banach cùng các hệ quả và các mở rộng của nó đã được vận dụng rất phổ biến và thành công trong chứng minh tồn tại duy nhất nghiệm và tính xấp xỉ nghiệm của các bài toán thuộc nhiều lĩnh vực của giải tích.

Trên cơ sở nghiên cứu ứng dụng của các định lý điểm bất động và tìm cách mở rộng chúng để giải các bài toán trong các lớp không gian khác nhau, lý thuyết điểm bất động được phát triển không ngừng thành một lý thuyết đa dạng, phong phú bao gồm nhiều định lý điểm bất động của các ánh xạ như ánh xạ co, nén, ánh xạ không giãn, ánh xạ tăng, v., cùng nhiều mở rộng 2 của các nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị, trong mối liên hệ chặt chẽ với nguyên lý biến phân Ekland, nguyên lý min-max, lý thuyết KKM, lý thuyết bậc tôpô, v., tổng quan về các vấn đề này có thể tìm thấy trong các tài liệu như [12, 17, 18, 44] và trong nhiều công trình nghiên cứu của các nhà Toán học mà tiêu biểu là S. Chính từ sự phát triển đó, cùng với các tác động tích cực của các lý thuyết khác, mà lý thuyết điểm bất động luôn được xem là công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu định lượng và định tính nhiều lớp phương trình xuất phát từ vật lý học, hoá học, sinh học, cơ học.