Luận án tiến sĩ toán học lý thuyết Nevanlinna hình vành khuyên và vấn đề duy nhất - Đại học Sư phạm Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LEUANGLITH VILAISAVANH VỀ LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO HÌNH VÀNH KHUYÊN VÀ VẤN ĐỀ DUY NHẤT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2022 an tien si TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com mo ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LEUANGLITH VILAISAVANH VỀ LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO HÌNH VÀNH KHUYÊN VÀ VẤN ĐỀ DUY NHẤT Ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 9460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS HÀ TRẦN PHƯƠNG THÁI NGUYÊN - 2022 an tien si TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com mo i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Trần Phương. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án.

Các kết quả của luận án là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học của ai khác. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2022 Tác giả LEUANGLITH Vilaisavanh an tien si TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com mo ii Lời cảm ơn Luận án được thực hiện và hoàn thành dưới dự hướng dẫn tận tình của PGS. TS Hà Trần Phương. Tác giả luận án xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám đốc Đại học Thái Nguyên, Ban Đào tạo Đại học Thái Nguyên, Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo, Ban chủ nghiệm khoa Toán và các phòng Ban chức năng Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập nghiên cứu và hoàn thành luận án. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô, bạn bè trong các Seminar tại Bộ môn Giải tích và Toán ứng dụng, Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã luôn giúp đỡ, động viên tác giả trong nghiên cứu khoa học. Tác giả xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Savannakhet nước CHD- CND Lào cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành luận án này. Cuối cùng tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn những người thân trong gia đình, những người đã chịu nhiều khó khăn, vất vả dành hết tình cảm yêu thương, động viên, chia sẻ, khích lệ để tác giả hoàn thành được luận án.

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2022 Tác giả LEUANGLITH Vilaisavanh an tien si TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com mo iii Mục lục Mở đầu. Hai định lý cơ bản cho đường cong chỉnh hình trên hình vành khuyên. Một số kiến thức cơ bản trong Lý thuyết phân bố giá trị cho các hàm phân hình. Trường hợp hàm phân hình trên C.

Trường hợp hàm phân hình trên hình vành khuyên. Các hàm Nevanlinna-Cartan và Định lý cơ bản thứ nhất. Các hàm Nevanlinna-Cartan. Định lý cơ bản thứ nhất.

Định lý cơ bản thứ hai. Kiến thức bổ trợ. Định lý cơ bản thứ hai. Vấn đề duy nhất cho đường cong chỉnh hình trên hình vành khuyên.

Một số kiến thức chuẩn bị. Hàm đếm có trọng. Hai định lý cơ bản với mục tiêu là siêu phẳng. Hai định lý duy nhất cho đường cong chỉnh hình.

Trường hợp không xét nghịch ảnh của từng siêu mặt. Trường hợp có xem xét điều kiện nghịch ảnh của từng siêu mặt. 53 an tien si TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com mo iv Chương 3. Vấn đề duy nhất cho hàm nguyên liên quan đến giả thuyết Brück.

Kiến thức bổ trợ. Phân bố giá trị cho đa thức vi phân. Họ chuẩn tắc các hàm phân hình. Vấn đề duy nhất.

Tiêu chuẩn chuẩn tắc của họ các hàm phân hình. Định lý duy nhất. 82 Danh mục Công trình của tác giả đã công bố liên quan đến luận án. 83 Tài liệu tham khảo.

84 an tien si TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com mo 1 Mở đầu 1. Lịch sử nghiên cứu và lý do chọn đề tài Được bắt nguồn bởi các công trình của R. Nevanlinna từ đầu thế kỷ XX, Lý thuyết phân bố giá trị cho hàm phân hình (còn gọi là Lý thuyết Nevanlinna) được đánh giá là một trong những thành tựu sâu sắc và đẹp đẽ của Toán học. Với nội dung chính bao gồm hai định lý cơ bản: Định lý cơ bản thứ nhất và Định lý cơ bản thứ hai, Lý thuyết phân bố giá trị ngày càng thu hút được sự quan tâm của nhiều tác giả trong và ngoài nước, thu được nhiều kết quả quan trọng và có ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như vấn đề duy nhất cho hàm phân hình, hệ động lực phức, phương trình vi phân phức,.

Kí hiệu Pn (C) là không gian xạ ảnh n chiều trên trường C. Cartan đã mở rộng các kết quả của Nevanlinna cho trường hợp đường cong chỉnh hình vào Pn (C) và đưa ra một số ứng dụng. Theo hướng nghiên cứu này nhiều nhà toán học trong và ngoài nước đã công bố nhiều kết quả đặc sắc về các dạng định lý cơ bản thứ nhất và thứ hai trong các trường hợp khác nhau và nghiên cứu ứng dụng của các định lý này trong những lĩnh vực khác nhau của Toán học, đặc biệt là vấn đề duy nhất cho đường cong chỉnh hình. Với đường cong chỉnh hình f : C → Pn (C) có một biểu diễn tối giản là (f0 ,.

, fn ), hàm Z 2π 1 Tf (r) = log ∥f (reiθ )∥dθ 2π 0 an tien si TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com mo 2 được gọi là hàm đặc trưng Nevanlinna-Cartan của đường cong f , trong đó ∥f (z)∥ = max{|f0 (z)|,. Cho H là một siêu phẳng, xác định bởi dạng tuyến tính L. Hàm Z 2π 1 ∥f (reiθ )∥ mf (r, H) = mf (r, L) := log dθ 2π 0 |L(f )(reiθ )| được gọi là hàm xấp xỉ của f kết hợp với siêu phẳng H. Kí hiệu nf (r, H) là số không điểm của L(f )(z) trong đĩa {|z| < r}, kể cả bội, nM f (r, H) là số các không điểm L(f )(z) trong đĩa {|z| < r}, bội cắt cụt bởi một số nguyên dương M.

r→0 r→0 M Số M trong kí hiệu Nf (r, H) được gọi là chỉ số bội cắt cụt. Cartan ([4]) đã chứng minh hai kết quả sau: Định lý 1. Cho đường cong chỉnh hình f : C → Pn (C) và một siêu phẳng H sao cho f (C) ̸⊂ H , khi đó ta có Tf (r) = Nf (r, H) + mf (r, H) + O(1). Cho đường cong chỉnh hình không suy biến tuyến tính f : C → Pn (C) và q siêu phẳng H1 ,.

, Hq ở vị trí tổng quát trong Pn (C). Khi đó bất đẳng thức q X (q − n − 1)Tf (r) ⩽ Nfn (r, Hj ) + o(Tf (r)) j=1 đúng với mọi r > 0 đủ lớn nằm ngoài một tập có độ đo Lebesgue hữu hạn. Định lý 1 được gọi là Định lý cơ bản thứ nhất, Định lý 2 được gọi là Định lý cơ bản thứ hai với bội cắt cụt cho đường cong chỉnh hình từ C vào an tien si TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com mo 3 Pn (C) không suy biến tuyến tính kết hợp với các siêu phẳng ở vị trí tổng quát. Công trình này của H.

Cartan được đánh giá hết sức quan trọng, nó mở ra một hướng nghiên cứu mới trong việc phát triển lý thuyết phân bố giá trị - nghiên cứu sự phân bố giá trị của ánh xạ phân hình, chỉnh hình - mà ngày nay ta biết đến với tên gọi gắn với tên hai nhà toán học xuất sắc “Lý thuyết Nevanlinna-Cartan”. Các kết quả nghiên cứu theo hướng này trong thời gian gần đây tập trung vào hai vấn đề: 1. Xây dựng các dạng định lý cơ bản (định lý cơ bản thứ nhất và thứ hai) cho đường cong chỉnh hình từ C hoặc một miền trong C vào Pn (C) hoặc một đa tạp đại số xạ ảnh trong Pn (C) với mục tiêu là các siêu phẳng, siêu mặt cố định hoặc di động, bằng cách thiết lập quan hệ giữa hàm đặc trưng Nevanlinna-Cartan với các hàm xấp xỉ, hàm đếm hay hàm đếm bội cắt cụt. Từ đó suy ra các kết quả về quan hệ số khuyết.

Nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna-Cartan trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, chẳng hạn, nghiên cứu sự suy biến của các đường cong đại số, vấn đề duy nhất cho hàm phân hình và đường cong chỉnh hình, hệ phương trình vi phân, đạo hàm riêng phức,. Hướng nghiên cứu thứ nhất đã thu hút được sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học và thu được nhiều kết quả sâu sắc, chẳng hạn, G. Năm 1983, Nochka ([33]) đã mở rộng kết quả của H. Cartan cho trường hợp họ các siêu phẳng H1 ,.

, Hq ở vị trí N −tổng quát trong Pn (C). Ru ([41]) đã đưa ra một dạng Định lý cơ bản thứ hai cho đường cong chỉnh hình không suy biến đại số kết hợp với các siêu mặt cố định. Trong ([42]), Ông đã mở rộng kết quả đó cho đường cong chỉnh hình vào một đa tạp đại số xạ ảnh V. Chen ([51]) đã chứng minh một quan hệ giữa hàm đặc trưng Tf (r) của đường cong chỉnh hình an tien si TIEU LUAN MOI download : skknchat123@gmail.com mo 4 f : C → Pn (C) với các hàm đếm bội cắt cụt NfM (r, Dj ) trong trường hợp họ các siêu mặt cố định {D1 ,.

, Dq } ở vị trí tổng quát. Ngoài ra, trong những năm gần đây G. đã công bố một số công trình theo hướng này cho đường cong chỉnh hình một hoặc nhiều biến phức vào Pn (C) hay một đa tạp đại số xạ ảnh trong Pn (C) với mục tiêu là các siêu phẳng hay siêu mặt, cố định hay di động, ở vị trí tổng quát hay N − dưới tổng quát. Một trong những ứng dụng quan trọng của lý thuyết Nevanlinna-Cartan, cũng như lý thuyết Nevanlinna là nghiên cứu sự xác định của ánh xạ chỉnh hình cũng như hàm phân hình thông qua ảnh ngược của một hay nhiều tập hữu hạn phần tử.

Vấn đề này cũng thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học: A. Phuong và nhiều tác giả khác. Cho ánh xạ chỉnh hình f : U → Pn (C) và một biểu diễn tối giản (f0 ,. , fn ) của f , trong đó U là toàn bộ mặt phẳng phức C hoặc một miền trong C.

Với một họ các siêu mặt cố định D = {D1 , .