Luận án tiến sĩ số học hình học của nhóm địa số và các không gian thuần nhất liên quan trên trường số học

Mục lục Mục lục 1 Bảng một số ký hiệu 4 Bảng một số thuật ngữ 5 Mở đầu 7 1 Một số kiến thức chuẩn bị 14 1.1 Nhóm đại số tuyến tính .2 Lược đồ nhóm affine .3 Đối đồng điều Galois .4 Đối đồng điều phẳng .5 Tôpô trên tập, nhóm đối đồng điều Galois và đối đồng điều phẳng 29 1.1 Trường hợp giao hoán .2 Trường hợp không giao hoán. Tôpô đặc biệt .3 Trường hợp không giao hoán. Tôpô chính tắc. 30 2 Một số tính chất hữu tỷ của các nhóm con quan sát được và nhóm con Grosshans 32 2.1 Các tính chất hữu tỷ của nhóm con quan sát được .2 Các tính chất hữu tỷ của nhóm con toàn cấu .3 Các tính chất hữu tỷ của nhóm con Grosshans .4 Kết luận của Chương 2.

46 3 Về một dạng tương đối cho Định lý của Bogomolov trên trường hoàn thiện và ứng dụng của nó 47 3.1 Một số khái niệm và kết quả chính .2 Một số kết quả trong lý thuyết biểu diễn. 52 TIEU LUAN MOI download :1 skknchat@gmail.1 Định lý cơ bản của biểu diễn nhóm reductive trên trường đóng đại số .2 Một số ký hiệu và ∆-tác động .3 Lý thuyết của Tits về biểu diễn của nhóm reductive trên một trường bất kỳ .4 Trạng thái của một biểu diễn .5 Các nhóm con parabolic P(λ) và P(χ) .6 Đặc trưng của các nhóm con tựa parabolic .7 Định lý của Kempf .8 Định lý của Ramanan và Ramanathan .9 Liên hệ giữa biểu diễn của nhóm reductive và biểu diễn của nhóm nửa đơn .3 Dạng tương đối cho một định lý của Bogomolov .1 Chứng minh thứ nhất của Định lý 3.2 Chứng minh thứ hai của Định lý 3.4 Một số tính chất hữu tỷ của các nhóm con tựa parabolic và các nhóm con dưới parabolic .5 Kết luận của Chương 3. 77 4 Quỹ đạo tương đối ứng với tác động của nhóm đại số trên trường địa phương 79 4.1 Một số kết quả sơ bộ .2 Quỹ đạo tương đối của nhóm đại số trên trường đầy đủ hoàn thiện 86 4.3 Quỹ đạo tương đối của nhóm đại số trên trường đầy đủ bất kỳ .1 Tác động tách mạnh, tác động khá tách .2 Chứng minh Định lý 4.3 Sơ đồ chứng minh Định lý 4.4 Trường hợp các nhóm dừng là lũy đơn .5 Trường hợp các nhóm giao hoán và xuyến .6 Trường hợp nhóm dừng là một k-nhóm giải được, liên thông 111 4.7 Trường hợp G là một k-nhóm tuyến tính lũy linh .8 Trường hợp nhóm dừng là reductive .9 Trường hợp tác động là khá tách .4 Một số tính toán trong trường hợp trường có đặc số p .5 Kết luận của Chương 4. 126 Kết luận 128 TIEU LUAN MOI download :2 skknchat@gmail.com Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận án 130 Tài liệu tham khảo 132 TIEU LUAN MOI download :3 skknchat@gmail.com Bảng một số ký hiệu N tập số tự nhiên Z vành số nguyên Q trường số hữu tỷ R trường số thực C trường số phức Fq trường hữu hạn gồm q phần tử Qp trường các số p-adic Zp vành các số nguyên p-adic Fq ((T )) trường các chuỗi lũy thừa hình thức với hệ số trong Fq k̄ bao đóng đại số của trường k ks bao tách được của trường k kv đầy đủ hóa của trường k tại định giá v Gal(K/k) nhóm Galois của mở rộng Galois K/k H1 (k, G) đối đồng điều Galois bậc 1 của G trên k H1f l (k, G) đối đồng điều phẳng bậc 1 của G trên k Ga nhóm cộng tính Gm nhóm nhân tính GLn nhóm tuyến tính tổng quát PGLn nhóm tuyến tính xạ ảnh SLn nhóm tuyến tính đặc biệt SOn nhóm trực giao đặc biệt k[X] đại số các hàm chính quy của đa tạp X với hệ số trong k X∥G thương phạm trù của đa tạp X theo tác động của nhóm G X/G thương hình học của đa tạp X theo tác động của nhóm G G/H không gian thuần nhất của G thương cho nhóm con đóng H char.

k đặc số của trường k G0 thành phần liên thông chứa đơn vị trong nhóm G TIEU LUAN MOI download :4 skknchat@gmail.com Bảng một số thuật ngữ ánh xạ đối biên coboundary map đối compắc cocompact siêu cứng super-rigidity đa thức cộng tính additive polynomial đối đồng điều phẳng flat cohomology hàm tử (hạn chế) của Weil Weil restriction k-đẳng hướng k-isotropic k-xoắn k-wound k-phân rã k-split k-không đẳng hướng k-anisotropic thuần túy không tách purely inseparable lược đồ nhóm group scheme lược đồ nhóm vô cùng bé infinitesimal group scheme nhóm reductive reductive group nhóm lũy đơn unipotent group nhóm con parabolic chuẩn standard parabolic subgroup nhóm con parabolic parabolic subgroup nhóm con tựa parabolic quasi-parabolic subgroup nhóm con dưới parabolic sub-parabolic subgroup ổn định stable nửa ổn định semi-stable không nửa ổn định unstable thiếu ổn định instable thực sự ổn định properly stable phần tử đơn trị hóa uniformizing element phép ngập submersion tập với một phần tử được đánh dấu set with a distinguished element thương hình học geometric quotient thương phạm trù categorical quotient trọng cơ bản fundamental weight trọng trội dominant weight TIEU LUAN MOI download :5 skknchat@gmail.com trường hàm toàn cục global function field tách mạnh strongly separable khá tách fairly separable xoắn twisting TIEU LUAN MOI download :6 skknchat@gmail.com Mở đầu Giả sử G là một nhóm đại số tuyến tính xác định trên một trường k. Ta có thể hiểu đơn giản G là một nhóm các ma trận vuông cấp n với hệ số nằm trong bao đóng đại số của trường k và G đồng thời là tập không điểm của một họ các đa thức n2 biến với hệ số trong k. Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng nằm giữa Lý thuyết nhóm đại số tuyến tính và Hình học Đại số là Lý thuyết bất biến hình học. Một phần chủ yếu của lý thuyết này nghiên cứu các tác động (cấu xạ) của một nhóm đại số tuyến tính lên một đa tạp đại số cho trước, đặc biệt là nghiên cứu tính chất của các quỹ đạo.

Lý thuyết bất biến hình học xuất hiện từ lâu với việc nghiên cứu Bài toán số 14 của Hilbert về tính chất hữu hạn sinh của đại số các hàm bất biến. Với những đóng góp của D., lý thuyết này khá phong phú trong trường hợp trường k là đóng đại số. Tuy nhiên, ngay từ thời điểm ban đầu của Lý thuyết bất biến hình học hiện đại, mà D. Mumford là người đặt nền móng, ông đã đặt vấn đề nghiên cứu nó cả trong những tình huống tương đối, tức là khi k là một trường bất kỳ nói chung không đóng đại số.

Chẳng hạn, với động cơ nghiên cứu các bài toán số học (cụ thể là xây dựng không gian moduli của các đa tạp abel, như đã đề cập trong Chương 3 của [30], [31]), D. Mumford đã xét nhiều vấn đề của lý thuyết này trên những lược đồ đủ tổng quát. đã đặt ra một số câu hỏi (hay giả thuyết) khi mở rộng các kết quả đã biết của lý thuyết bất biến hình học trên trường đóng đại số cho cả trường không đóng đại số (chẳng hạn mở rộng một định lý nổi tiếng của D. Những kết quả điển hình theo hướng này thuộc về D.

đã cho câu trả lời (hoặc lời giải) của một số câu hỏi (hoặc giả thuyết) được đề cập ở trên. Những nghiên cứu theo cách như vậy nói chung được gọi là nghiên cứu về các tính chất hữu tỷ (của nhóm đại số, của đa tạp đại số, v. Khó khăn gặp phải trong các bài toán nói trên tương tự như đối với một bài toán số học, ví dụ việc tìm nghiệm của đa thức trong trường đóng đại số (“bài toán hình học”) và trong trường không đóng đại số (“bài toán số học”). Để hiểu rõ các tính chất của quỹ đạo, việc nghiên cứu các nhóm con dừng là rất quan trọng.

Có một số lớp nhóm con quan trọng trong việc nghiên cứu Lý thuyết TIEU LUAN MOI download :7 skknchat@gmail.com bất biến hình học, đó là lớp các nhóm con quan sát được, lớp các nhóm con toàn cấu, và lớp các nhóm con Grosshans. Từ một số nghiên cứu về Lý thuyết biểu diễn nhóm đại số, A. 134] đã đưa ra khái niệm các nhóm con quan sát được. Ta có thể hiểu một nhóm con đóng H của G là quan sát được nếu H là nhóm con dừng của một vectơ v trong một G-môđun hữu tỷ hữu hạn chiều V nào đó.

Trong [3], các tác giả đã đưa ra một số điều kiện cần và đủ để một nhóm là quan sát được. Grosshans đã tìm thêm được một số điều kiện tương đương khác (xem [20], [21] và những tài liệu dẫn ở đó). Tuy nhiên, hầu hết các kết quả ở đây đều mới chỉ được chứng minh cho trường hợp k là một trường đóng đại số. Một lớp các nhóm con khác cũng khá quan trọng là lớp các nhóm con toàn cấu do A.

Bien đưa ra (trước đó S. Bergman đã làm một công việc tương tự đối với các Đại số Lie). Ta định nghĩa một nhóm con đóng H của G là toàn cấu nếu đại số các hàm chính quy k[G/H] của không gian thuần nhất G/H chính bằng k. Những điều kiện cần và đủ để một nhóm con đóng là toàn cấu ban đầu được đưa ra bởi F.

Kollar [5] cũng nghiên cứu mối liên hệ của tính chất H là nhóm con toàn cấu với tính chất liên thông hữu tỷ của không gian thuần nhất G/H. Một số điều kiện tương đương để một nhóm con là toàn cấu được cho trong Định lý 2. Nhờ vào những nghiên cứu liên quan đến Bài toán số 14 của Hilbert, F. Grosshans đã đưa ra một lớp các nhóm con quan sát được mang tên ông.

Đó là những nhóm con quan sát được H của G có tính chất đại số các hàm bất biến k[G]H là hữu hạn sinh, trong đó H tác động tịnh tiến phải lên đại số các hàm chính quy k[G]. Grosshans cũng tìm ra một số điều kiện cần và đủ khá thú vị cho khái niệm nói trên. Tuy nhiên, các kết quả nói trên mới chỉ được chứng minh trong trường hợp k là trường đóng đại số. Gần đây, vì sự cần thiết phải có những ứng dụng trong Số học và Lý thuyết ergodic (xem chẳng hạn [53]), B.

Weiss cũng có một số kết quả về tính chất hữu tỷ của các nhóm con quan sát được và những nhóm con toàn cấu. Như ta đã biết, một nhóm con đóng H của G là quan sát được nếu H = Gv , với v ∈ V, V là một G-môđun hữu hạn chiều. Tuy nhiên, H chỉ là nhóm con dừng của một vectơ (đối với biểu diễn đã cho), và ta khó có thể nói gì thêm về cấu trúc của H. Sukhanov đã có kết quả đi sâu hơn khẳng định nói trên.