Luận án TS Nguyễn Ngọc Hải: Phương pháp tìm nghiệm chung cân bằng & điểm bất động

BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUGNG DAI HOC THANG LONG NGUYEN NGOC HAI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ BAI TOAN DIEM BAT DONG LUAN AN TIEN Si TOAN HOC HA NOI - 2023 BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUGNG DAI HOC THANG LONG NGUYEN NGOC HAI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ BAI TOAN DIEM BAT DONG NGÀNH: Toán ứng dụng MÃ SỐ: 9 46 01 12 LUẬN ÁN TIÊN SĨ TOÁN HOC Cán bộ hướng dẫn khoa học: 1. TS Bùi Văn Định 2. TSKH Lê Dũng Mưu HÀ NỘI - 2023 Luận án được viết dựa trên kết quả nghiên cứu của tác giả, các công trình nghiên cứu được thực hiện tại trường Đại học Thăng Long. Người hướng dẫn khoa học: 1.

Bui Van Dinh 2. Lé Ding Muu Phan bién l:. ee ee ee eee Phan bién 2:2. ceeee ee eee ee Phan bién 3:.

eee ee eee eee Luận án được bảo vệ tại Hội đồng trường Đại học Thăng Long:. ¬ occ csccveseeveseeese Meee ceeeeeeeee ¬ Luận án được công bố rộng rãi tại: e Thư viện Quốc gia Việt Nam e Thu viện trường Đại hoc Thang Long Mục lục Lời cam đoan 1 Lời cảm ơn 2 Bảng ký hiệu 3 Mở đầu 6 1 Kiến thức chuẩn bị 23 1.1 Một số khái nệm cơbản. 23 12 Bài toán chấp nhận lồi.3 Bài toán điểm bất động và một số phương pháp cơ bản tìm điểm bất động. 30 14 Baitodn can bang .41 Một số trường hợp riêng của bài toán cân bằng .42 Sự tồn tại nghiệm của bài toAn cin bang.

39 2 Anh xạ gần kề cho bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 44 21 Mởđầu .2_ Tính chất không giãn suy rộng của ánh xạ gần kề cho ánh ›. Ứng dụng vào songhàm. 99 Thuật toán tìm nghiệm chung của bài toán cân băng và bài toán điểm bất động 65 3.1 Thuật toán khi song hàm ƒ(z, -) lồi theo biến thứ hai.1 Một số kiến thức cơ sở và các giả thết .lI và định lý hội tụ.2 và định lý hội tụ.3 và định lý hội tụ.2 Thuật toán khi song hàm ƒ(z,-) tựa lồi theo biến thứ hai.1 Một số kiến thức cơ sở và các giả thết .4 và định lý hội tụ.1 Trường hợp song hàm ƒ(z, -) lồi theo biến thứ hai.2 Trường hợp song hàm ƒ(z, -) tựa lỗi theo biến thứ 3. Trường hợp H là không gian vô hạn chiều.

110 Ấp dụng vào mô hình cân bằng cung-cầu Walras trong IR” 115 4.1 Mô hình cân bằng cung-cầu Walras.2 Công thức điểm bất động của mô hình .2 Thuật toán hiệu chỉnh và định lý hộitụ .1 Ví dụ và kết quả tính toán khi sử dụng Thuật toán 11 4.2 Ví dụ và kết quả tính toán khi sử dụng Thuật toán BA Le 131 Kết quả đạt được 134 Hướng nghiên cứu tiếp theo 136 Danh mục công trình khoa học của tác giả có liên quan đền luận án 137 Tài liệu tham khảo 138 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, dưới sự hướng dẫn của các cán bộ trong tập thể hướng dẫn khoa học. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đều đã được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả, số liệu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác. Các tài liệu tham khảo được trích dẫn đầy đủ.

Tac gia Lời cảm: ơn Bản luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Thăng Long, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Bùi Văn Định và GS. TSKH Lê Dũng Mưu. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới hai thay hướng dẫn.

Các thầy đã luôn dành cho trò sự quan tâm, động viên, giúp đỡ rất tận tình trong suốt thời gian làm nghiên cứu sinh, cả hai thầy đã không quản công sức, từng bước dẫn dắt, truyền cho trò niềm đam mê học tập, nghiên cứu, cùng nhiều kỹ năng, kiến thức quý báu, đồng thời luôn khích lệ trò từng bước vượt qua những khó khăn, thử thách trên bước đường học tập, nghiên cứu. Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiéu, Phong Sau Dai học và Viện TIMAS của Trường Đại học Thăng Long, cùng với lãnh dao của Trường Đại học Công đoàn và Bộ môn Khoa học Cơ bản, đã luôn hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình làm nghiên cứu sinh. Bản luận án này không thể hoàn thành nếu thiếu sự cảm thông, chia sẻ và giúp đỡ từ gia đình. Vì vậy, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cả hai bên gia đình và gửi tặng món quà tinh thần này với tất cả tình cảm, sự yêu thương và trân trọng.

Tac gia Danh muc cac ky hiéu va chữ viết tắt Tập hợp các số tự nhiên Tập hợp các số thực Tập hợp các số thực mở rộng Không gian Euclide thực 6+ chiều Nón orthant không âm Không gian Hilbert thực Họ các tập con của H Chuẩn của véctơ # véctơ hàng là véctơ chuyển vị của véctƠ cột x Ma trận chuyển vị của ma trận A I Ánh xạ đồng nhất AxB Tích DĐề-Các của hai tập hợp A4 và B minzec ƒ(z) Giá trị cực tiểu của ƒ trên tap C arg min{ ƒ(z)| z € C} Tập các điểm cực tiểu của hàm f trén C arg max{f(x)| « € C} Tập các điểm cực đại của hàm f trên Œ dom f ={x EC: f(x) < +00} Miền hữu hiệu của hàm số ƒ epi f = {(2,7) €C xR: f(a) < +} Trên đồ thị của hàm số ƒ #(z) = Vự() Dao ham (gradient) cia ham y tal x 90(z) Dưới vi phân của ham y tai x Oo f (x, x) Dưới vi phân của hàm ƒ(z, -) tại x Of (x, x) Dưới vi phân sao của hàm ƒ(z, -) tại a* > x Dãy + hội tụ mạnh tới z gi» x Dãy + hội tụ yếu tới z lim = lim sup Giới hạn trên lim = lim inf Giới hạn dưới do (x) Khoảng cách từ z đến tập C to) Hình chiều của z lén tap C No(s) Non phap tuyén ngoai cla C tại x EP(C, f) Bài toán cân bằng được xác định bởi tập Œ và song hàm ƒ CFP Bài toán chấp nhận lồi, tìm +* € C=C; VIP(C, F) Bài toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) được xác định bởi tập Œ và ánh xạ ` MVI(C, ®) Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị xác định bởi tập Œ và ánh xạ đa trị ® FP(C, F) Bài toán điểm bất động được xác định bởi tập Œ và ánh xạ F MFP(C, F) Bài toán điểm bất động của ánh xạ đa trị OP Bài toán tối ưu AEP Bài toán phụ BOP Bài toán tối ưu hai cấp Sol(C, f) Tập nghiệm của bài toán EP(C, f) Tập nghiệm của bài toán MEP(C, f) FEP Bài toán tìm nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động EPF Bài toán tìm nghiệm của bài toán cân bằng trên tập điểm bất động CP(Q, F) Bài toán bù được xác định bởi tập © và ánh xạ F Fix(T) Tập các điểm bất động của ánh xạ S = Sol(C, f) Fix(T) Tập nghiệm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động Mở đầu 1. Tính cấp thiết của đề tài Bài toán chấp nhận lồi có một vai trò rất quan trọng của toán học, đặc biệt là Toán ứng dụng. Bài toán này đã được nghiên cứu từ những năm 30 của thế kỷ trước bởi các nhà toán hoc nổi tiếng nhu J. Bài toán chấp nhận lỗi (Convex feasibility problem) là bài toán tìm một điểm trong giao của một số hữu hạn, hoặc vô hạn các tập lồi đóng trong một không gian nào đó.

Về mặt toán học, bài toán này được phát biểu như sau: Tìm z” € Œ := f/*¡Œ;, (CFP) trong đó C; là các tập lồi đóng. Một ví dụ điển hình của bài toán này là tìm nghiệm của một hệ phương trình, hoặc bất phương trình tuyến tính. Trong vài thập kỷ qua, bài toán chấp nhận lồi được nhiều người nghiên cứu khi các tập lồi thành phần được cho dưới dạng an như là tập nghiệm của các bài toán khác, ví dụ như bài toán tối ưu, bất đắng thức biến phân, điểm bất động, hay tổng quát hơn là bài toán cân bằng được định nghĩa bởi bất đẳng thức Nikaido-Isoda-Ky Fan. Các công trình nghiên cứu về vấn đề này đáng chú ý là |8, 17, 18, 39, 42, 78, 80, 81, 84].

Sau đây, chúng tôi giới thiệu hai bài toán quan trọng sẽ được đề cập trong bản luận án này đó là bài toán điểm bất động (ñxed point problem) va bai to4n can bang (equilibrium problem) trong khong gian Hilbert thuc. Bai toán điểm bất động là một bài toán quan trọng của toán học, do phạm vi ứng dụng hết sức rộng rãi của nó. Các định lý điểm bất động Brouwer, phát triển lên ánh xạ đa trị bởi Kakutani nói về sự tồn tại điểm bất động đã có từ những năm đầu của thế kỷ 20, tuy nhiên cho đến nay thuật toán hữu hiệu để tìm điểm bất động này vẫn chưa có. Để thu được các thuật toán hiệu quả tìm điểm bất động của một toán tử, ngoài tính chất liên tục như trong các định lý Brouwer và Kakutani người ta thường phải giả thiết về tính liên tục Lipschitz cho ánh xạ, trong đó nguyên lý ánh xạ co Banach là một kết quả cơ bản cho phép xây dựng các thuật toán lặp hiệu quả cho lớp bài toán điểm bất động của ánh xạ co.

Tính chất co này sau đó được giảm nhẹ bằng các tính chất giả co, không giãn, tiệm cận không giãn, tựa không giãn v. Một lớp bài toán khác được đề cập trong luận án này là bài toán cân bằng. Thuật ngữ cân bằng được sử dụng lần đầu tiên trong bài bao [62] của L. Oettli vào năm 1992 và hiện nay được sử dụng rộng rãi.

Trong bản luận án này, bài toán cân bằng được định nghĩa như sau: ìm z” CC: ƒ(z”,) > 0 Vụ € C. EP(C, f) O dé C la mot tập lồi đóng khác rỗng trong một không gian Hilbert thực H và ƒ : Œ x Œ — I. Thông thường người ta giả thiết ƒ(z,#) > 0 với mọi z € Œ, điều kiện này được gọi là điều kiện cân bằng, xuất phát từ các bài toán trong lý thuyết trò chơi. Bất đẳng thức trong bài toán EP(C, f) được dùng lần đầu tiên năm 1955 bởi H.

Isoda [67] trong một mô hình của bài toán trò chơi lồi.