Luận án Tiến sĩ: Ổn định hữu hạn thời gian cho hệ phương trình vi phân suy biến có trễ – Nguyễn Huyền Mười

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Nguyễn Huyền Mười ỔN ĐỊNH HỮU HẠN THỜI GIAN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN SUY BIẾN CÓ TRỄ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2021 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC Nguyễn Huyền Mười ỔN ĐỊNH HỮU HẠN THỜI GIAN CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN SUY BIẾN CÓ TRỄ Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. Vũ Ngọc Phát Hà Nội - 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án. Các kết quả trong luận án là những kết quả mới và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận án Nguyễn Huyền Mười i LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Vũ Ngọc Phát. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới GS.TSKH Vũ Ngọc Phát. Thầy đã tận tụy chỉ bảo tôi từ những ngày chập chững nghiên cứu, động viên và đốc thúc tôi những khi tôi nản lòng và xao nhãng. Những khi gặp những vấn đề khó hiểu, Thầy chỉ bảo tôi bình tĩnh xem xét không được vội vàng kết luận khi chưa hiểu thấu đáo vấn đề.

Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn tới Viện Toán học, nơi tôi công tác đã tạo điều kiện, giúp đỡ tôi trong công việc cũng như trong thời gian làm nghiên cứu sinh. Nơi mà tôi có thể nghe, bàn, học về các chủ đề toán, các bài toán khó, cách nhìn nhận vấn đề ở bất cứ thời điểm nào với các đồng nghiệp. Tôi xin chân thành cảm ơn những góp ý, nhận xét từ những đồng nghiệp, phản biện giúp tôi hoàn thiện luận án. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình tôi đã động viên tôi giúp tôi có thêm động lực hoàn thành luận án.

ii Mục lục DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 2 MỞ ĐẦU 4 1 CƠ SỞ TOÁN HỌC 12 1.1 Hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính .1 Bài toán ổn định hữu hạn thời gian .2 Bài toán ổn định hóa hữu hạn thời gian .2 Bất đẳng thức ma trận tuyến tính .3 Một số bổ đề bổ trợ. 20 2 ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA HỮU HẠN THỜI GIAN CHO MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN SUY BIẾN CÓ TRỄ 22 2.1 Ổn định hữu hạn thời gian cho hệ phương trình vi phân suy biến có trễ hằng .2 Ổn định hóa hữu hạn thời gian cho hệ phương trình vi phân suy biến có trễ biến thiên bị chặn không khả vi .3 Kết luận Chương 2. 49 3 ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA HỮU HẠN THỜI GIAN CHO MỘT SỐ LỚP HỆ SUY BIẾN RỜI RẠC CÓ TRỄ 50 3.1 Tính ổn định hóa hữu hạn thời gian của hệ suy biến rời rạc có trễ .2 Tính ổn định hóa hữu hạn thời gian của hệ suy biến rời rạc chuyển mạch có trễ .3 Kết luận chương 3. 69 KẾT LUẬN 70 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 72 1 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU R là tập các số thực.

R+ là tập các số thực không âm. Rn là không gian Euclide n chiều. Rn×r là tập các ma trận thực kích thước (n × r). n (x, y) = x> y là tích vô hướng trên Rn , x> y = P xi yi.

i=1 n 1/2 n x2i P ||x|| là chuẩn Euclide của véc tơ x ∈ R , ||x|| =. I là ma trận đơn vị kích thước n × n. Ii là ma trận đơn vị kích thước i × i. ∗ các phần tử dưới đường chéo chính của ma trận đối xứng.

2 A> là ma trận chuyển vị của ma trận A. λ(A) là tập các giá trị riêng của ma trận A. Re(λ) là phần thực của số phức λ. A ≥ 0 có nghĩa là ma trận A nửa xác định dương, nghĩa là x> Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn.

A > 0 có nghĩa là ma trận A xác định dương, nghĩa là x> Ax > 0, ∀x ∈ Rn \{0}. LMI– bất đẳng thức ma trận tuyến tính. 3 MỞ ĐẦU Nghiên cứu tính chất định tính nghiệm của các hệ động lực học là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng có nhiều ứng dụng trong thực tế, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước. Tính chất ổn định hữu hạn thời gian của hệ động lực học là một trong các tính chất quan trọng trong các tính chất định tính của hệ động lực học đảm bảo hệ động lực học có hoạt động trong định mức cho phép hay không.

Khái niệm ổn định hữu hạn lần đầu tiên được đưa ra bởi nhà khoa học người Nga G. Kamenkov năm 1953 [30], do tính ứng dụng mạnh mẽ của khái niệm ổn định hữu hạn thời gian cho hệ động lực học đã được các nhà khoa học phương Tây quan tâm nghiên cứu mạnh mẽ từ những năm 1960 bởi P. và áp dụng trong các quá trình công nghiệp và kĩ thuật [21], [25], [57], [67]. Đặc biệt khái niệm ổn định hữu hạn thời gian khác khái niệm ổn định tiệm cận do Lyapunov đưa ra.

Khái niệm ổn định hữu hạn thời gian xem xét trạng thái của hệ phương trình vi phân trong khoảng thời gian hữu hạn cố định, và hệ ổn định hữu hạn thời gian có thể không ổn định tiệm cận và ngược lại hệ ổn định tiệm cận chưa chắc đã ổn định hữu hạn thời gian (xem Amato et al. Khái niệm ổn định hữu hạn cho hệ ẋ(t) = f (t, x(t)), x(t) ∈ Rn với f (t, x) là hàm thỏa mãn các điều kiện sao cho hệ có nghiệm duy nhất với mọi điều kiện ban đầu được phát biểu như sau: Cho trước số T > 0 và hai tập hợp X0 , X1 , thì hệ ẋ(t) = f (t, x), x(0) = x0 được gọi là ổn định hữu hạn thời gian theo (T, X0 , X1 ) nếu x0 ∈ X0 → x(t) ∈ X1 , ∀t ∈ [0, T ]. Thông qua việc nghiên cứu tính ổn định hữu hạn thời gian của hệ giúp chúng ta có thêm thông tin chặn trên, chặn dưới của nghiệm của hệ trong một khoảng thời gian hữu hạn. Các kết quả ban đầu về tính ổn định hữu hạn thời gian được đưa ra từ việc đánh giá trực tiếp công thức nghiệm của hệ, nhưng do hệ động lực học ngày càng phức tạp, việc mô hình hóa các hệ động lực học, robot ngày càng trở nên gần sát với thực tế hơn, kéo theo các hệ phức tạp hơn.

Từ những năm 1976 trở về đây, nhờ khoa học máy tính phát triển, cùng các thuật toán tối ưu kiểm tra các điều kiện bất đẳng thức ma trận chạy trên máy tính tốt hơn đã tạo điều kiện cho phương pháp xây dựng hàm Lyapunov từ đó đánh giá được trạng thái của hệ dẫn ra các điều kiện bất đẳng thức 4 ma trận phát triển [4], [6], [12]. Hệ phương trình vi phân suy biến (singular systems) E ẋ(t) = Ax(t) + f (t) được nghiên cứu đầu tiên bởi Weierstrass (1867) với điều kiện |sE − A| 6= 0, sau đó được Kronecker (1880) xem xét trường hợp |sE − A| = 0 hoặc E, A là các ma trận không vuông và đưa ra khái niệm chỉ số của hệ phương trình vi phân suy biến. Do tính ứng dụng cao của hệ phương trình vi phân suy biến trong nhiều ngành như: hệ động lực học, cơ học [43]; kinh tế học (Leotief dynamic model [39]), mạng lưới điện [11]. nên trong những năm gần đây nghiên cứu tính chất định tính nghiệm của hệ phương trình vi phân suy biến phát triển mạnh mẽ [6], [10], [17], [11].

Bài toán ổn định hữu hạn thời gian cho hệ phương trình vi phân suy biến còn gặp nhiều khó khăn về phương pháp và kỹ thuật: • Bài toán tồn tại nghiệm của hệ phương trình vi phân suy biến không phải bao giờ cũng thỏa mãn, ngay cả với trường hợp hệ là tuyến tính [11], [17]. • Nghiên cứu bài toán tồn tại nghiệm và các tính chất nghiệm của hệ suy biến có trễ, có nhiễu, có xung [11], [17]. • Xây dựng các hàm Lyapunov thích hợp và tính đạo hàm của chúng để thiết lập các điều khiện đủ hữu hiệu [68], [69]. Ngoài việc quan tâm xem xét bài toán ổn định hữu hạn thời gian cho hệ phương trình vi phân suy biến và do nhu cầu ứng dụng trong lý thuyết điều khiển kỹ thuật, bài toán ổn định hóa hữu hạn thời gian cho hệ (bài toán thiết kế điều khiển phản hồi) để đảm bảo hệ đóng là ổn định hữu hạn thời gian) cũng được các nhà khoa học quan tâm do tính ứng dụng của bài toán [6], [40], [44], [45], [46].

Bài toán ổn định hữu hạn thời gian cho hệ suy biến được nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu như: F. [7], [42], [53], [37], [44] với phương pháp hàm Lyapunov được sử dụng mạnh mẽ và các ước lượng để đưa ra các điều kiện đủ kiểm tra tính ổn định hữu hạn thời gian của hệ suy biến. Hiện nay phương pháp hàm Lyapunov vẫn là một phương pháp hữu hiệu trong nghiên cứu bài toán ổn định hệ phương trình vi phân có trễ và hệ phương trình vi phân suy biến có trễ. Ứng dụng linh hoạt phương pháp này (thiết kế các hàm Lyapunov nâng cao thích hợp) để đảm bảo các điều kiện tồn tại nghiệm và điều kiện đủ tính ổn định, ổn định hoá.

Xu và các cộng sự xét bài toán ổn định và ổn định hóa cho 5 hệ tuyến tính liên tục suy biến với trễ hằng dạng  E ż(t) = (A + 4A)z(t) + (Ad + 4Ad )z(t − τ ) + (B + 4B)u(t),  (1) z(t) = φ(t), t ∈ (τ, 0],  trong đó z(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái, u(t) ∈ Rn là véc tơ điều khiển. Các ma trận E, A, Ad , B là các ma trận cho trước có số chiều thích hợp, E ∈ Rn×n là ma trận suy biến. Còn các đại lương 4A, 4Ad , 4B thỏa mãn điều kiện   [4A 4Ad 4B] = M F (σ)[NA Nd NB ]   F (σ)F > (σ) ≤ I.