Dáng điệu tiệm cận của số bất biến lũy thừa iđêan phủ - Luận án Tiến sĩ Toán học Nguyễn Thu Hằng

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN THU HẰNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ BẤT BIẾN CỦA LŨY THỪA CÁC IĐÊAN PHỦ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN THU HẰNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ BẤT BIẾN CỦA LŨY THỪA CÁC IĐÊAN PHỦ Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 9 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn: TS. Trần Nam Trung GS. Lê Thị Thanh Nhàn Hà Nội - 2019 ii Tóm tắt Cho R = k[x1 ,. , xn ] là vành đa thức n biến trên trường k và H = (V, E) là siêu đồ thị trên tập đỉnh V = {1,.

, n} với tập cạnh E. Ta liên kết với H một iđêan đơn thức không chứa bình phương J(H) = ∩ (xi | i ∈ E) ⊂ R. E∈E J(H) được gọi là iđêan phủ của siêu đồ thị H. Luận án tập trung nghiên cứu về tính ổn định của hai bất biến quan trọng là độ sâu và chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford (gọi tắt là chỉ số chính quy) của lũy thừa của iđêan phủ liên kết với hai lớp siêu đồ thị unimodular và cân bằng, khi lũy thừa đủ lớn.

Dựa trên việc nghiên cứu các đỉnh nguyên của các đa diện lồi, luận án đã đạt được các kết quả chính về tính giảm của hàm độ sâu và tính tiệm cận tuyến tính của chỉ số chính quy. Bên cạnh đó, luận án cũng đưa ra các chặn trên hợp lý cho tính ổn định của hai bất biến được nghiên cứu. Luận án được chia làm 3 chương. Trong Chương 1, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm và kết quả về mối quan hệ giữa iđêan đơn thức không chứa bình phương và siêu đồ thị; trình bày lại công thức Takayama; nghiên cứu các tính chất quan trọng của của đa diện lồi có liên quan đến phức bậc; nhắc lại bài toán quy hoạch tuyến tính.

Trong Chương 2, chúng tôi tập trung nghiên cứu về tính giảm của hàm độ sâu và chặn trên chỉ số ổn định của hàm độ sâu của lũy thừa các iđêan phủ. Trong Chương 3, chúng tôi tập trung nghiên cứu về tính tiệm cận tuyến tính của chỉ số chính quy của lũy thừa các iđêan phủ. iii Abstract Let R = k[x1 ,. , xn ] be a polynomial ring in n variables over a field k, and H = (V, E) be a hypergraph with vertex set V, edge set E.

We consider a square-free monomial ideal corresponding to H as follows: J(H) := ∩ (xi | i ∈ E) ⊆ R. E∈E J(H) is called cover ideal of H. The main aim of this thesis focuses on studying the stability of two important invariants in commutative algbra, which are depth and Castelnuovo-Mumford regularity (regularity for short). We investigate these invariants for large enough powers of cover ideals of balanced hypergraphs, and unimodular hypergraphs.

It is based on investigating polytopes with integral vertices. We obtain some main resutls for non-increasing property of depth functions and the asymptotic behavior of regularity of cover ideals. In addition, this thesis also gives a suitable upper bound for the index of depth stabbility, and a reasonable bound for the stable position of regularity. This thesis is divided into three chapters.

Chapter 1, we introduce some basic notation, and resutls about the rela- tions between square-free monomial ideals and hypergraphs; recall Takayama’s formula; study some useful properties of polytopes. Chapter 2, we consider the non-increasing property of depth functions and show a suitable upper bound for the index of depth stabbility. Chapter 3, we investigate the asymptotic behavior of regularity of pow- ers of cover ideals. iv Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS.

Trần Nam Trung và GS. Lê Thị Thanh Nhàn. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của các đồng tác giả trước khi đưa vào luận án. Các kết quả được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả Nguyễn Thu Hằng v Lời cảm ơn Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo vô cùng tận tâm và sâu sát của Thầy, Cô tôi: TS. Trần Nam Trung và GS. Lê Thị Thanh Nhàn. Thầy và Cô đã bỏ ra rất nhiều công sức để không chỉ dẫn dắt, giảng dạy cho tôi về kiến thức, kinh nghiệm và tư duy của người làm Toán, mà còn luôn chỉ bảo cho tôi cách thức nhìn nhận của người làm Toán trong cuộc sống.

Thầy, Cô đã không ngừng kiên nhẫn, hết lòng lo lắng cho một học trò có vô vàn khó khăn cả về kiến thức và sức khỏe như tôi. Tôi xin được bày tỏ tấm lòng biết ơn vô hạn đến Thầy, Cô. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn vô cùng sâu sắc đến GS. Lê Tuấn Hoa.

Thầy đã luôn quan tâm và sát sao đối với tôi trên con đường học tập. Thầy đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi có cơ hội tham gia các hội thảo quan trọng, các buổi học về các vấn đề mới. Với tấm lòng của mình, tôi xin được trân trọng cảm ơn Thầy. Tôi cũng trân trọng cảm ơn Viện Toán học, Trung tâm Đào tạo sau đại học, các phòng chức năng của Viện Toán học, đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi học tập và nghiên cứu tại Viện.

Tôi cũng trân trọng cảm ơn GS. Ngô Việt Trung, GS. Nguyễn Tự Cường, PGS. Nguyễn Công Minh đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi được tham gia các sinh hoạt khoa học của phòng Đại số, Viện Toán học, các seminar tại Viện nghiên cứu cao cấp về Toán và các seminar tại Đại học Sư phạm Hà Nội.

Đặc biệt, tôi xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS. Đoàn Trung Cường. Tiến sĩ đã rất tận tâm, nhiệt thành giảng dạy các kiến thức nền tảng về Đại số giao hoán cho tôi trong những năm đầu làm nghiên cứu sinh. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu - trường Đại học Khoa học; Ban chủ nhiệm Khoa Toán Tin - trường Đại học Khoa học; Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi nhất, phù hợp nhất để tôi vừa hoàn vi thành việc học tập, vừa đảm bảo công việc giảng dạy của mình tại Trường.

Tôi xin cảm ơn các anh, chị nghiên cứu sinh đang học tập, nghiên cứu tại Phòng Đại số, Viện Toán học đã giúp đỡ tôi trong học tập và cuộc sống. Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ sự biết ơn vô hạn tới Bố, Mẹ và anh chị em trong gia đình tôi. Đặc biệt là Chồng và hai con nhỏ, những người đã luôn hy sinh rất nhiều, luôn lo lắng, mong mỏi tôi tiến bộ từng ngày, từng tháng. Luận án này tôi xin được dành tặng cho những người mà tôi yêu thương.

Tác giả Nguyễn Thu Hằng vii Bảng các ký hiệu N tập các số tự nhiên Z tập các số nguyên Q tập các số hữu tỷ R tập các số thực depth hàm độ sâu H = (V, E) siêu đồ thị với tập đỉnh V và tập cạnh E J(H) iđêan phủ liên kết với siêu đồ thị H I(H) iđêan cạnh liên kết với siêu đồ thị H `(I) độ trải giải tích của iđêan I dstab(I) chỉ số ổn định độ sâu của iđêan I reg(I) chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của iđêan I Γm (M ) môđun con xoắn của M Hmi (M ) môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M với giá m G(I) tập sinh đơn thức tối tiểu của iđêan I ∆ phức đơn hình I∆ iđêan Stanley-Reisner liên kết với phức đơn hình ∆ k[∆] vành Stanley-Reisner của phức đơn hình ∆ F(∆) tập các mặt cực đại của phức đơn hình ∆ ∆(I) phức đơn hình liên kết với iđêan I A(H) ma trận liên thuộc của siêu đồ thị H C e• (∆, k) phức rút gọn của ∆ trên k H e i (∆, k) đồng điều đơn hình rút gọn thứ i của ∆ trên k viii CSα đối giá của véctơ α ∆α (I) phức bậc st∆ F phức đơn hình con sao của F trong ∆ Im lũy thừa thông thường thứ m của iđêan I I (m) lũy thừa hình thức thứ m của iđêan I R(I) vành Rees của iđêan I G = (V (G), E(G)) đồ thị với tập đỉnh V (G) và tập cạnh E(G) M ghép cặp của đồ thị ν0 (G) chỉ số ghép cặp có thứ tự ai (M ) bậc không triệt tiêu lớn nhất của Hmi (M ) ix Danh sách hình vẽ 1.2 Siêu đồ thị cân bằng .3 Siêu đồ thị cân bằng nhưng không unimodular .3 Một ghép cặp của C5. 45 1 Mục lục Tóm tắt ii Abstract iii Lời cam đoan iv Lời cảm ơn v Bảng các ký hiệu vii Danh sách hình vẽ ix Mở đầu 3 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 10 1. Độ sâu và chỉ số chính quy. Siêu đồ thị cân bằng và siêu đồ thị unimodular.

Một số cách mô tả iđêan đơn thức không chứa bình phương 18 1. Iđêan Stanley-Reisner. Iđêan phủ của siêu đồ thị. Công thức Takayama.

Tập lồi đa diện và bài toán quy hoạch tuyến tính. Phức bậc và đa diện lồi. 28 Chương 2 Tính ổn định của hàm độ sâu 35 2. Tính giảm của hàm độ sâu và chặn trên chỉ số ổn định.

Dáng điệu của hàm độ sâu của iđêan phủ liên kết với siêu đồ thị cân bằng. Dáng điệu hàm độ sâu của iđêan phủ liên kết với đồ thị hai phần. 43 Chương 3 Tính ổn định của chỉ số chính quy 52 3. Chỉ số chính quy của lũy thừa các iđêan đơn thức không chứa bình phương.

Dáng điệu tiệm cận của các bất biến ai (R/J(H)s ) và chỉ số chính quy reg J(H)s. 54 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 74 Bảng thuật ngữ 80 3 Mở đầu Trong Đại số, đặc biệt là Đại số giao hoán, tính ổn định của các bất biến là những vấn đề được quan tâm bởi nhiều nhà nghiên cứu. Nhìn lại lịch sử phát triển của những vấn đề này, ta có thể thấy nó đã được nghiên cứu từ rất lâu. Thật vậy, những năm 50 của thế kỷ 20 một kết quả kinh điển của Hilbert - Samuel [47] đã chỉ ra rằng hàm độ dài `(R/ms ), trong đó (R, m) là vành Noether, địa phương, là một đa thức khi số mũ s là đủ lớn, bậc của đa thức này chính là chiều của vành R.

Đến năm 1979, các kết quả M. Brodmann [9], [10] đã chỉ ra rằng tập các iđêan nguyên tố liên kết {Ass(R/I s )}s∈N và dãy {depth(R/I s )}s∈N ổn định khi số mũ của iđêan đủ lớn.