Đặc trưng các bất biến của đường cong đơn thức xạ ảnh - Luận án tiến sĩ Toán học của Trần Thị Gia Lâm

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC TRẦN THỊ GIA LÂM ĐẶC TRƯNG CÁC BẤT BIẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ĐƠN THỨC XẠ ẢNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2022 luan an VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC TRẦN THỊ GIA LÂM ĐẶC TRƯNG CÁC BẤT BIẾN CỦA ĐƯỜNG CONG ĐƠN THỨC XẠ ẢNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số MÃ SỐ: 9 46 01 04 Tập thể hướng dẫn: GS. Ngô Việt Trung TS. Nguyễn Trọng Hòa Hà Nội - 2022 luan an MỤC LỤC Tóm tắt iv Abstract v Lời cam đoan vi Lời cảm ơn vii Danh mục các ký hiệu viii Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 8 1.1 Đường cong đơn thức .2 Đối đồng điều địa phương .3 Vành Cohen-Macaulay .4 Macaulay hóa hữu hạn .7 Chỉ số chính quy. 20 2 Các công thức tính số mũ rút gọn và chỉ số chính quy 24 2.1 Trường hợp A .2 Trường hợp B .3 Trường hợp C .4 Trường hợp D .5 Trường hợp E.

40 ii luan an 3 Tính Buchsbaum của đường cong đơn thức không trơn 45 3.1 Tiêu chuẩn cho một đoạn thẳng nằm trong 2GM .2 Tính Buchsbaum cho Trường hợp F .3 Tính Buchsbaum cho Trường hợp G. 53 4 Ước lượng chỉ số chính quy cho đường cong đơn thức không trơn 57 4.1 So sánh các nửa nhóm số học phân bậc .2 Chỉ số chính quy cho Trường hợp F .3 Chỉ số chính quy cho Trường hợp G. 67 Kết luận 75 Các công trình liên quan đến Luận án 76 Các kết quả trong Luận án đã được báo cáo và thảo luận tại 77 TÀI LIỆU THAM KHẢO 77 iii luan an Tóm tắt Luận án nghiên cứu một số tính chất đại số của đường cong đơn thức (xạ ảnh). Các kết quả chính của Luận án đưa ra những ước lượng cho số mũ rút gọn, chỉ số chính quy và đặc trưng tính Buchsbaum của vành toạ độ cho nhiều lớp đường cong đơn thức.

iv luan an Abstract The thesis studies algebraic properties of (projective) monomial curves. The main results give estimates for the reduction number, the Castelnuovo- Mumford regularity and characterize the Buchsbaum property of the coor- dinate rings of several classes of monomial curves. v luan an Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của Tập thể hướng dẫn. Kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả trước khi đưa vào Luận án.

Các kết quả nêu trong Luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác. Tác giả Trần Thị Gia Lâm vi luan an Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới người thầy kính yêu của tôi - GS. Ngô Việt Trung. Thầy luôn tận tình, chu đáo, dìu dắt tôi từ những bước chập chững đầu tiên trên con đường khoa học.

Với tâm huyết của người thầy, Thầy không những dạy tôi về tri thức Toán học, phương pháp nghiên cứu, cách phát hiện và giải quyết vấn đề mà còn giúp tôi có những quan điểm đúng đắn về cuộc sống. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy hướng dẫn thứ hai của tôi - TS. Thầy là người đã hướng dẫn, giúp đỡ và định hướng để tôi chọn làm Nghiên cứu sinh tại Viện Toán học, một cơ sở đào tạo đã cho tôi những điều kiện tốt nhất để tôi học tập, rèn luyện và trưởng thành. Thầy đã quan tâm, động viên, khích lệ và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Tôi xin trân trọng cảm ơn Viện Toán học, Trung tâm Đào tạo sau đại học, Phòng Đại số và các phòng chức năng đã cho tôi một môi trường học tập, nghiên cứu lý tưởng để tôi hoàn thành Luận án. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Phú Yên, Lãnh đạo Khoa Khoa học Tự nhiên và các đồng nghiệp trong Bộ môn Toán đã tạo điều kiện thuận lợi nhất để tôi hoàn thành việc học tập và nghiên cứu. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến các nghiên cứu viên của Phòng Đại số, Viện Toán học đã giúp đỡ và động viên tôi trong thời gian qua. Tôi xin cảm ơn những đồng nghiệp, các anh, chị em đã và đang học tập và nghiên cứu tại Viện Toán học về những trao đổi, hỗ trợ, chia sẻ trong khoa học và sự động viên, giúp đỡ quý báu.

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn đến đại gia đình của mình, đặc biệt là Chồng và Con trai yêu quý, đã hi sinh rất nhiều, luôn yêu thương, động viên, tạo điều kiện thuận lợi nhất và mong mỏi ngày tôi hoàn thành Luận án. Luận này xin được kính tặng những người mà tôi yêu thương. vii luan an Danh mục các ký hiệu N tập hợp các số tự nhiên Z tập hợp các số nguyên gcdpa1 ,. , an q ước chung lớn nhất của các số nguyên a1 , ., xn s vành đa thức nhiều biến trên trường k k rF s vành con đơn thức sinh bởi F À R Rn vành phân bậc n¥0 R  À Rn iđêan phân bậc cực đại của vành phân bậc R n¥1 Dn thành phần phân bậc thứ n của môđun phân bậc D ra, bs tập hợp các số nguyên α sao cho a ¤ α ¤ b depthpRq độ sâu của vành R dimpDq chiều Krull của môđun D ΓI pDq môđun con xoắn của D xác định bởi I HIi pDq môđun đối đồng điều địa phương thứ i của D với giá I ai pRq bậc không triệt tiêu lớn nhất của HRi pRq regpRq chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của vành R rJ pI q số mũ rút gọn của I theo J rpI q số mũ rút gọn của I R Macaulay hóa hữu hạn của vành R viii luan an Mở đầu Cho k rx, y s là vành đa thức trên trường k, hai biến x, y.

Đặt R  k rM s là vành con của k rx, y s sinh bởi tập hợp M gồm các đơn thức bậc d cho trước. Khi đó, R là vành tọa độ thuần nhất của đường cong đơn thức xạ ảnh có nghiệm tham số là tập M. Lớp vành này thường được dùng làm đối tượng nghiên cứu cơ bản cho một số bài toán trong Đại số giao hoán và Hình học đại số, chẳng hạn, ví dụ không tầm thường đầu tiên về vành không Cohen-Macaulay là k rx4 , x3 y, xy 3 , y 4 s, được tìm thấy bởi Macaulay [29]. Ngoài ra, vành này cũng là vành Buchsbaum không tầm thường đầu tiên, là khái niệm mở rộng vành Cohen-Macaulay [6, Theorem 3], [42, p.

Người đọc nên xem Chương 1 của Luận án để hiểu các khái niệm chuyên sâu được đề cập trong phần Mở đầu này., xαn y d
αn , y d u là một tập hợp gồm các đơn thức hai biến x, y, cùng bậc d và chứa xd , y d. Gröbner [15] là người đã đặt ra bài toán đặc trưng tính chất Cohen-Macaulay của R theo M. Bài toán này đã được giải quyết cho một số lớp đường cong đơn thức trong [1, Corollary 2. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là liệu tồn tại hay không đặc trưng cho tính Buchsbaum của R qua dãy d, α1 ,.

Nói chung, đây là bài toán khó vì nó phụ thuộc nhiều tham số. Tuy nhiên, nếu xd
1 y, xy d
1 P M thì ta có thể chứng minh được R là vành Buchsbaum khi và chỉ khi d, α1 , ., αn thỏa mãn một hệ bất đẳng thức tuyến tính [44, Theorem 4. Trường hợp này được quan tâm về mặt hình học bởi vì đường cong đơn thức được cho một cách tham số hóa bởi M là trơn khi và chỉ khi xd
1 y, xy d
1 P M. Mặt khác, người ta biết rất ít lớp đường cong đơn thức không trơn có vành toạ độ Buchsbaum không Cohen-Macaulay [4, Theorem 2.

Một bài toán khác là ước lượng chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford regpRq qua dãy d, α1 ,. Vấn đề này được nhiều người quan tâm vì regpRq kiểm soát bậc dịch chuyển của giải tự do phân bậc cực tiểu của R [11]. Theo giả thuyết Eisenbud-Goto [11, p. 93], được chứng minh cho 1 luan an đường cong xạ ảnh bởi Gruson, Lazarsfeld và Peskine [14, Theorem 1.1], ta biết rằng regpRq ¤ d
n.

Dễ thấy d
n
1 là số các điểm nguyên còn lại trong khoảng p0, dq, không có trong dãy α1 ,. Một chặn tốt hơn nhiều được phát hiện bởi L’vovsky [28, Proposition 5.5] dùng tổng của đoạn trống nguyên lớn nhất và lớn nhì. Đối với đường cong đơn thức trơn, Hellus, Hoa và Stückrad [18, Theorem 2.7] chứng minh được regpRq bị chặn bởi một phân số của đoạn trống nguyên lớn nhất. Ta cũng có thể tìm được công thức tường minh cho chỉ số chính quy cho các lớp khá lớn các đường cong đơn thức trơn [18, Proposition 3.

Việc tìm các kết quả tương tự cho đường cong đơn thức không trơn rất khó bởi vì ngay việc chứng minh giả thuyết Eisenbud-Goto đối với đường cong đơn thức bằng phương pháp tổ hợp từng là vấn đề mở [8], gần đây mới được giải quyết bởi Nitsche [34]. Chúng ta sẽ thấy rằng nguồn gốc của các kết quả nói trên cho các đường cong đơn thức trơn xuất phát từ thực tế là nếu xd
1 y, xy d
1 P M thì vành con Veronese của k rx, y s sinh bởi tất cả các đơn thức bậc d chính là Macaulay hóa hữu hạn của R (xem định nghĩa vành con Veronese ở [51, Definition 7. Ta nói vành mở rộng R của R trong k rx, y s là Macaulay hóa hữu hạn của R nếu R là vành Cohen-Macaulay và R {R có độ dài hữu hạn. Với tập hợp các đơn thức tùy ý M , R luôn luôn có duy nhất Macaulay hóa hữu hạn R sinh bởi các đơn thức.

Chúng tôi sẽ chứng minh rằng tính Buchsbaum và chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford của R có thể được đặc trưng thông qua R. Nếu R là vành sinh bởi tập hợp N các đơn thức bậc d thì đặc trưng này có thể mô tả qua nửa nhóm số học sinh bởi các số mũ của thành phần thứ nhất của các đơn thức trong M và N (Định lý 1. Điều đó cho chúng ta một phương pháp hiệu quả để nghiên cứu đường cong đơn thức xạ ảnh. Để áp dụng phương pháp trên, đầu tiên chúng tôi phải ước lượng số mũ rút gọn rQ pRq theo M , đặc biệt khi R là vành Cohen-Macaulay, với Q  pxd , y d q là iđêan sinh bởi xd , y d trong R.