Luận án Tiến sĩ Toán học: Bất đẳng thức Łojasiewicz - Tồn tại và Tính toán Số mũ

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC HOÀNG PHI DŨNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ŁOJASIEWICZ: SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TOÁN CÁC SỐ MŨ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2021 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC ———————- HOÀNG PHI DŨNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ŁOJASIEWICZ: SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH TOÁN CÁC SỐ MŨ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Hình học và tô pô Mã số: 9 46 01 05 Người hướng dẫn khoa học: PGS. Hà Huy Vui Hà Nội - 2021 TÓM TẮT Luận án nghiên cứu về các bất đẳng thức Łojasiewicz, bao gồm bất đẳng thức Łojasiewicz gradient nhằm khảo sát tô pô của các mầm hàm trong trường hợp địa phương và sự tồn tại của bất đẳng thức Łojasiewicz cổ điển trong trường hợp toàn cục. Cụ thể hơn, trong trường hợp địa phương, luận án nghiên cứu các bất biến tô pô của kỳ dị đường cong phẳng sau: thương cực và số mũ Łojasiewicz gradient. Trong trường hợp toàn cục, luận án nghiên cứu sự tồn tại, ổn định của cận sai số Hölder, bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục trong mối liên hệ với các giá trị Fedoryuk đặc biệt.

Bên cạnh đó, luận án nghiên cứu sự tồn tại của cận sai số Hölder và bất đẳng thức Łojasiewicz gradient cho hàm định nghĩa được trong các cấu trúc o-tối tiểu. Luận án gồm có bốn chương như sau: Trong Chương 1, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ sở về hàm giải tích, Định lý Puiseux, các bất đẳng thức Łojasiewicz, hình học của các cấu trúc o-tối tiểu, tập nửa đại số và một số kết quả trong giải tích biến phân. Trong Chương 2, chúng tôi trình bày khái niệm đa giác Newton tương ứng với một cung và phương pháp trượt để tính các khai triển Newton-Puiseux địa phương. Chúng tôi sử dụng phương pháp này để tính các thương cực và số mũ Łojasiewicz gradient trong trường hợp phức.

Từ đó, chúng tôi chứng minh tập các thương cực và số mũ Łojasiewicz là những bất biến tô pô trong trường hợp kỳ dị đường cong phẳng phức không nhất thiết thu gọn. Một số ước lượng hiệu quả về các số mũ Łojasiewicz cũng được đưa ra trong chương này. Trong Chương 3, với f là một đa thức n biến thực, chúng tôi thiết lập một số công thức của tập Λ+ ( f ) là tập các giá trị có tập dưới mức tương ứng có cận sai số Hölder toàn cục thoả mãn. Ngoài ra chúng tôi trình bày đặc trưng của cận sai số Hölder trên tập   n ∂f V1 := x∈R : (x) = 0.

∂xn ii Chúng tôi khảo sát mối liên hệ giữa tập các giá trị Fedoryuk với ổn định của cận sai số Hölder toàn cục. Từ đó chúng tôi phân loại được toàn bộ các kiểu ổn định của cận sai số Hölder toàn cục theo tập các giá trị Fedoryuk. Chúng tôi chứng minh rằng nếu tập các giá trị Fedoryuk là hữu hạn thì tập Λ+ ( f ) khác rỗng. Từ đó suy ra, trong trường hợp hai biến, tập Λ+ ( f ) luôn khác rỗng.

Chúng tôi đưa ra một ví dụ đặc biệt về một đa thức mà không tồn tại một giá trị nào mà tập dưới mức tương ứng nhận cận sai số Hölder toàn cục với tập các giá trị Fedoryuk là vô hạn. Ngoài ra, chúng tôi thiết lập quy trình tính toán tập Λ+ ( f ) bằng khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của đường cong đại số. Bên cạnh đó, chúng tôi tính một số ví dụ minh hoạ cho một số kiểu ổn định đã được phân loại. Về bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục, chúng tôi xác định công thức tường minh của tập Λ( f ), là tập các giá trị t mà thớ tại đó nhận bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục.

Chúng tôi chú ý đến các giá trị biên của tập Λ( f ), chúng là các giá trị Fedoryuk đặc biệt. Hơn nữa, chúng tôi chỉ ra một số ví dụ về tập Λ( f ) này. Điển hình là ví dụ về đa thức hai biến mà không có giá trị t nào để f −1 (t) có bất đẳng thức Łojasiewicz toàn cục, nói cách khác Λ( f ) = ∅. Trong Chương 4, chúng tôi đưa ra tiêu chuẩn tồn tại của cận sai số Hölder cho các hàm định nghĩa được, liên tục trong các cấu trúc o-tối tiểu và mối liên hệ của cận sai số Hölder với điều kiện Palais-Smale.

Và sau cùng, chúng tôi nghiên cứu bất đẳng thức Łojasiewicz gradient cạnh thớ trong trường hợp hàm định nghĩa được, liên tục trong các cấu trúc o-tối tiểu. iii ABSTRACT The thesis studies Łojasiewicz inequalities, they are Łojasiewicz gradient in- equality for investigating the topology of function germs in the local case and the existence for classical Łojasiewicz inequality in the global case. Explicitly, in the local case, the thesis investigates topological invariants of plane curve singu- larities: Polar quotients and Łojasiewicz gradient exponents. In the global case, the thesis studies the existence, stability of global Hölderian error bounds and global Łojasiewicz inequality in the relationship with Fedoryuk values.

Besides, we study the existence of global Hölderian error bounds and Łojasiewicz gradi- ent inequality for definable functions in o-minimal structures. The thesis consists of four chapters: In Chapter 1, we recall some basic results on analytic functions, Puiseux’s the- orem, Łojasiewicz inequalities, geometry of o-minimal structures, semi-algebraic sets, variational analysis and required properties. In Chapter 2, we recall the Newton polygon relative to an arc and use sliding method to compute local Newton-Puiseux expansions. We use sliding method to compute polar quotients and Łojasiewicz gradient exponent in the complex case.

Consequently, we prove that the set of polar quotients and Łojasiewicz gra- dient exponent are both topological invariants for plane curve singularities (not necessarily reduced). In Chapter 3, firstly, assume that f is a real polynomial in n variables, we give some formulas for Λ+ ( f ) which is the set of values t such that its sub-level set admits a global Hölderian error bound. Moreover, we give a characterization of global Hölderian error bound on the set   n ∂f V1 := x ∈ R : (x) = 0. ∂xn Next, we investigate the relationship between the set of Fedoryuk values and sta- bility of global Hölderian error bounds.

We prove that if the Fedoryuk set is finite, iv then Λ+ ( f ) is non-empty set. This implies that, in the case of two variables, the set Λ+ ( f ) is always non-empty set. We give a special example of a polynomial, where the Fedoryuk set is infinite and there do not exist any value such that its sub-level set admits a Hölderian error bound. Moreover, we classify all of the types of stability of global Hölderian error bounds.

Moreover, we give a proce- dure for computing of Λ+ ( f ) by using Newton-Puiseux expansions at infinity of algebraic curves. Besides, we compute an explicit example to illustrate some types of stability. About global Łojasiewicz inequality, we give some explicit formulas for Λ( f ) which is the set of value t such that its fibre f −1 (t) admits global Łojasiewicz inequality. We notice the values of boundary of the set Λ( f ), they are special Fedoryuk values.

Moreover, we point out some interesting examples about it. Specially, we give a polynomial in two variables satisfies: There is no value t such that f −1 (t) admits the global Łojasiewicz inequality, i. In Chapter 4, we give a criterion for the existence of global Hölderian error bounds for definable functions in o-minimal structures and the its relation to Palais-Smale condition. In conclusion, we study Łojasiewicz gradient inequality near the fiber for continuous, definable functions in o-minimal structures.

v LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. Hà Huy Vui. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của các đồng tác giả trước khi đưa vào luận án. Các kết quả được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Hà Nội, tháng 12 năm 2021 Tác giả luận án Hoàng Phi Dũng vi LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành tại Viện Toán học dưới sự hướng dẫn của thầy tôi, PGS. Hà Huy Vui. Thầy đã dành rất nhiều công sức và sự kiên nhẫn để dẫn tôi từng bước vào Hình học đại số thực và Lý thuyết Kỳ dị, giúp tôi làm quen với các bất đẳng thức Łojasiewicz, khai triển Puiseux của đường cong đại số, kỳ dị tại vô hạn cùng với cách làm toán và cách tư duy hình học. Bên cạnh đó, Thầy đã đặt bài toán và gợi ý liên tục cho tôi trong quá trình làm việc chung với Thầy.

Thầy đã dìu dắt tôi một quá trình dài từ thời đại học, cao học và nghiên cứu sinh. Được làm việc dưới sự hướng dẫn của Thầy là một may mắn lớn của đời tôi, để tôi có thể hiểu một cách nghiêm túc về việc học. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc của mình đến Thầy Hà Huy Vui. Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS.

Phạm Tiến Sơn và TS. Nguyễn Hồng Đức về những thảo luận, góp ý cùng giúp đỡ quý báu. Trong quá trình học tập, hai anh đã giúp tôi hiểu về kỳ dị đường cong phẳng, cấu trúc o-tối tiểu và khái niệm đa giác Newton tương ứng với một cung. Hơn nữa, các anh còn là đồng tác giả trong một công trình chung của luận án.

Tác giả cũng trân trọng cảm ơn Viện Toán học, Trung tâm Đào tạo sau đại học, các phòng chức năng của Viện Toán học đã cho tác giả một môi trường học tập và nghiên cứu lý tưởng để có thể hoàn thành luận án này. Tác giả xin trân trọng cảm ơn phòng Hình học tô pô đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả được tham gia các sinh hoạt khoa học và hội thảo thường niên của phòng từ 2010 đến nay. Trong suốt quá trình học tập, tác giả cũng đã nhận được sự giúp đỡ và động viên của các anh Đinh Sĩ Tiệp, Nguyễn Tất Thắng, Vũ Thế Khôi, Trần Giang Nam, Lê Quý Thường, Trần Nam Trung, Đỗ Trọng Hoàng, Đoàn Thái Sơn, Hồ Minh Toàn, Phạm Hùng Quý và chị Nguyễn Thị Thảo. Tác giả xin chân thành cám ơn.

Ngoài ra, tác giả xin cảm ơn một số nghiên cứu sinh như các anh Hùng, Tâm, vii Kiên, Quyết, Bình,. đã và đang học tập và nghiên cứu tại Viện Toán học về những trao đổi, chia sẻ trong quá trình học tại Viện Toán học. Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám đốc, Ban chủ nhiệm Khoa Cơ bản 1 và các đồng nghiệp của Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả vừa hoàn thành việc học tập, vừa đảm bảo công việc giảng dạy của mình.