Luận văn thạc sĩ: Các phương pháp giải bài toán hình học tổ hợp tại Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------- LÊ THỊ BÌNH CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC TỔ HỢP Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số:60.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HOC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. Phan Huy Khải THÁI NGUYÊN, NĂM 2009 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.vn 1 Lời nói đầu Hình học tổ hợp là một nhánh không thể thiếu được của các bài toán tổ hợp nói chung, nó thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi ở mọi cấp. Khác với các bài toán trong lĩnh vực Giải tích, Đại số, Lượng giác, các bài toán của hình học tổ hợp thường liên quan nhiều đến các đối tượng là các tập hợp hữu hạn. Vì lẽ đó các bài toán này mang đặc trưng rõ nét của toán học rời rạc.

Luận án này đề cập đến các phương pháp chính để giải các bài toán về hình học tổ hợp. Ngoài phần mở đầu, danh mục tài liệu tham khảo, luận án gồm ba chương. Chương I áp dụng Nguyên lí cực hạn vào giải các bài toán hình học tổ hợp là một phương pháp được vận dụng cho nhiều lớp bài toán khác, đặc biệt nó có ích khi giải các bài toán tổ hợp nói chung và hỗn hợp tổ hợp nói riêng. Nguyên lí này dùng để giải các bài toán mà trong đối tượng phải xét của nó tồn tại các giá tri lớn nhất, giá trị nhỏ nhất theo một nghĩa nào đó và kết hợp với những bài toán khác đặc biệt là phương pháp phản chứng, tập hợp các giá trị cần khảo sát chỉ là tập hợp hữu hạn hoặc có thể vô hạn nhưng tồn tại một phần tử lớn nhất.

Chương II Nguyên lí Dirichlet: là một trong những phương pháp thông dụng và hiệu quả để giải các bài toán hình học tổ hợp. Nguyên lí Dirichlet còn là một công cụ hết sức nhạy bén có hiệu quả cao dùng để chứng minh nhiều kết quả sâu sắc của toán học. Nó đặc biệt có nhiều áp dụng trong các lĩnh vực khác nhau của toán học. Dùng nguyên lí này trong nhiều trường hợp người ta dễ dàng chứng minh được sự tồn tại của một đối tượng với tính chất xác định.

Tuy rằng với nguyên lí này ta chứng minh được sự tồn tại mà không đưa ra được phương pháp tìm được vật cụ thể, nhưng thực tế nhiều bài toán ta chỉ cần chỉ ra sự tồn tại đã đủ. Chương III Sử dụng tính lồi của tập hợp để áp dụng vào các bài toán tổ hợp, trong chương này chúng ta đề cập đến hai kết quả hay sử dụng nhất đó là định lí Kelli về tính giao nhau của các tập hợp lồi và sử dụng phép lấy bao lồi để giải các bài toán hình học tổ hợp là một trong những phương pháp rất hữu hiệu. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.vn 2 Phần còn lại của luận văn được trình bày vài phương pháp khác để giải các bài toán hình học tổ hợp. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và chỉ bảo của thầy giáo PGS.TS Phan Huy Khải.

Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến thầy. Tôi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo Khoa Toán Trường Đại học Khoa học, các thầy các cô đã trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tập tại trường. Thái Nguyên, ngày 18 tháng 9 năm 2009 Tác giả Lê Thị Bình Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.vn 3 Mục lục Mục lục trang Lời nói đầu i Mục lục ii Chương I: Nguyên lí cực hạn………………………………… 1 Chương II: Sử dụng nguyên lí Dirichlet…………. 9 Chương III: Sử dụng tính lồi của tập hợp…………………….

19 §1 Các bài toán sử dụng định lí Kelli…………………………. 19 §2 Phương pháp sử dụng phép lấy bao lồi……………………. 27 Chương IV: Vài phương pháp khác ………………………. 32 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.vn -1- Chương I: NGUYÊN LÍ CỰC HẠN Nguyên lí 1: Trong tập hợp hữu hạn và khác rỗng các số thực luôn có thể chọn được số bé nhất và số lớn nhất.

Nguyên lí 2: Trong một tập hợp khác rỗng các số tự nhiên luôn luôn có thể chọn được số bé nhất. Sử dụng nguyên lí cực hạn là một phương pháp được vận dụng cho nhiều lớp bài toán khác, đặc biệt nó có ích khi giải các bài toán tổ hợp nói chung và hỗn hợp tổ hợp nói riêng. Nguyên lí này dùng để giải các bài toán mà trong tập hợp những đối tượng phải xét của nó tồn tại các giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất theo một nghĩa nào đó. Nguyên lí cực hạn thường được sử dụng kết hợp với các phương pháp khác, đặc biệt là phương pháp phản chứng, được vận dụng trong trường hợp tập các giá trị cần khảo sát chỉ là tập hợp hữu hạn (Nguyên lí 1) hoặc có thể vô hạn nhưng tồn tại một phần tử lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

Để sử dụng nguyên lí cực hạn giải các bài toán hình học tổ hợp, người ta thường dùng một lược đồ chung để giải sau: - Đưa bài toán đang xét về dạng có thể sử dụng nguyên lí 1 (hoặc nguyên lí 2) để chứng tỏ rằng trong tất cả các giá trị cần khảo sát của bài toán cần có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất), xét bài toán tương ứng khi nó nhận giá lớn nhất (nhỏ nhất). -Chỉ ra mâu thuẫn, hoặc đưa ra giá trị còn lớn hơn (hoặc nhỏ hơn) giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) mà ta đang khảo sát. Theo nguyên lí của phương pháp phản chứng, ta sẽ suy ra điều phải chứng minh. Các ví dụ được trình bày dưới đây sẽ minh hoạ cho phương pháp này.1: Trên một đường thẳng đánh dấu n điểm khác nhau A1, A2, …, An theo thứ tự từ trái qua phải (n ≥ 4).

Mỗi điểm được tô bằng một trong 4 màu khác nhau và cả bốn màu đều được dùng. Chứng minh rằng tồn tại một Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.vn -2- đoạn thẳng chứa đúng hai điểm của hai màu và ít nhất hai điểm của hai màu còn lại. Giải: Xét tập hợp sau: A = { k | 1 ≤ k ≤ n }. Tập A ≠ ∅ ( vì theo giả thiết dùng cả bốn màu) và A hữu hạn nên theo nguyên lí cực hạn, tồn tại chỉ số i nhỏ nhất mà i ∈ A.

Theo định nghĩa của tập hợp A, vì do i là chỉ số bé nhất thuộc A, nên màu của điểm Ai sẽ khác với màu của tất cả các điểm A1, A2, …, Ai-1. Chú ý rằng bây giờ trong dãy A1, A2 , …, Ai lại có đủ bốn màu. Xét tiếp tập sau: B = {k | 1 ≤ k ≤ i và giữa các điểm Ak , Ak+1, …, Ai có mặt đủ bốn màu}. Tập B ≠ ∅ (vì dãy A1, A2 , …, Ai có đủ bốn màu), và B hữu hạn nên theo nguyên lí cực hạn, tồn tại chỉ số j lớn nhất mà j ∈ B Theo định nghĩa của tập hợp B, và do j là chỉ số lớn nhất thuộc B, nên màu của điểm Aj sẽ khác với màu của tất cả các điểm Aj+1 , …, Ai.

Khi đó đoạn thẳng này chứa đúng hai điểm của hai màu (đó là Aj và Ai ), và ít nhất hai điểm của hai màu còn lại Aj+i , …, Ai-1.2: Cho ABC là tam giác nhọn. Lấy một điểm P bất kì trong tam giác. Chứng minh rằng khoảng cách lớn nhất trong các khoảng cách từ P tới ba điểm A , B, C của tam giác không nhỏ hơn 2 lần khoảng cách bé nhất trong các khoảng cách từ P tới ba cạnh của tam giác đó. Giải: Gọi A1, B1, C1 tương ứng là hình chiếu của P xuống BC, AC, AB.

Ta có: · · APC1 + C · · · · 1 PB + BPA1 + A1PC + CPB1 + B1 PA = 360. o (1) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.vn -3- Theo nguyên lí cực hạn, tồn tại: max · { · APC1 ,C · · · · · } 1 PB,BPA1 , A1PC,CPB1 ,B1PA = BPA1. (2) Từ (1) và (2) dễ suy ra: PBA&1& ≥ 60 o (3) Từ (3) ta đi đến cos · = PA1 ≤ 1. PBA1 PB 2 Như vậy PB ≥ 2PA1.

(4) Từ (4) suy ra max {PA,PB,PC} ≥ PB ≥ 2 PA1 ≥ 2 min {PA1 ,PB1 ,PC1} .3: Chứng minh rằng trên mặt phẳng toạ độ, không thể tìm được năm điểm nguyên là đỉnh của một ngũ giác đều. Giải: Giả thiết trái lại, tồn tại một ngũ giác đều sao cho năm đỉnh của nó đều là những “điểm nguyên”.Ta xét tập hợp sau: 2 Ω = {a | a là cạnh của ngũ giác đều có năm đỉnh là các “điểm nguyên”}. Dễ thấy, do a là cạnh của ngũ giác đều với các đỉnh nguyên nên a2 là số nguyên dương. Thật vậy, giả sử A1A2 A3A4A5 là đa giác đều thuộc Ω.

Giả sử Ai (xi ; yi), i = 1, 5 , thì nếu gọi a là cạnh của ngũ giác đều này, ta có: a2 = A1A22 = (x2 – x1)2 + (y2 - y1)2. Do xi , yi ∈ ¢ , ∀i = 1,5 nên a2 là số nguyên dương. Như thế tập Ω ≠ ∅ , điều này suy ra từ giả thiết phản chứng. Tập Ω các số tự nhiên, khác rỗng, nên theo nguyên lí cực hạn suy ra tồn tại phần tử nhỏ nhất, tức là tồn tại ngũ giác đều ABCDE sao cho a*2 là nhỏ nhất, ở đây a* là cạnh của ngũ giác đều này.

Dễ thấy ABCB' ; BCDC' ; CDED'; Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.vn -4- DEAE' và AEBA' đều là các hình bình hành với BD ∩ CE = A' , AD ∩ CE =B' , AD ∩ BE = C' , AC ∩ BE = D' ,AC ∩ DE = E'. Từ hình bình hành EABA' suy ra:  x A' = xB + xE − x A  (1)  y A' = y B + yE − y A Do A, B, C, D, E là các “điểm nguyên” nên xA, xE, xB ; yA, yE, yB đều là các số nguyên. Vì thế (1) suy ra xA' , yA' cũng là các số nguyên. Như thế A' là “điểm nguyên”.

Tương tự B' , C' , D' , E' cũng là các ''điểm nguyên'' Rõ ràng A'B'C'D'E' là ngũ giác đều với các đỉnh của nó đều là các “điểm nguyên”, H-1. Mặt khác, nếu gọi a' là cạnh của ngũ giác đều, thì rõ là: a'< a* ⇒ a'2 < a*2. (2) Bất đẳng thức (2) mâu thuẫn với tính nhỏ nhất của a*. Vậy giả thiết phản chứng là sai.