Luận án: Bài toán biên giả vi phân trong không gian HLP khác 2 (GVP Differential Problem)
Nghiên cứu bài toán biên giả vi phân trong không gian HLP khác 2. Phân tích sâu, đưa ra giải pháp hiệu quả, tối ưu hóa mô hình toán học.
Luan An
Luận án
Số trang
127
Thời gian đọc
20 phút
Lượt xem
0
Lượt tải
0
Phí lưu trữ
40 Point
Tổng quan nhanh
- Chủ đề:
- 1. Tổng quan về Bài toán Biên và Toán tử Giả Vi Phân
- Số trang:
- 127 trang
- Tác giả:
- Luan An
Tóm tắt nội dung luận án
I. Tổng quan về Bài toán Biên và Toán tử Giả Vi Phân
Lý thuyết Phương trình vi phân riêng phần (PDE) đóng vai trò trung tâm trong khoa học. Nghiên cứu bắt đầu từ thế kỷ 18. Nó mô tả các hiện tượng vật lý. Phát triển tiếp nối với Giải tích hàm và Lý thuyết toán tử. Toán tử giả vi phân (GVP) là một công cụ mạnh mẽ.
1.1. Lịch sử và phát triển của Lý thuyết PDE
Lý thuyết Phương trình vi phân riêng phần (PDE) có lịch sử lâu đời. Các nhà toán học như Euler, d'Alembert, Lagrange, Laplace đã đặt nền móng. Ban đầu, PDE mô tả cơ học và vật lý. Giữa thế kỷ 19, Riemann mở rộng phạm vi ứng dụng. Cuối thế kỷ 19, Poincare chỉ ra mối liên hệ đa ngành. Thế kỷ 20 chứng kiến sự phát triển mạnh mẽ nhờ Giải tích hàm. Lý thuyết hàm suy rộng của S. Schwartz kết hợp với Giải tích Fourier giải quyết nhiều vấn đề. Toán tử elliptic và parabolic cũng được nghiên cứu sâu. Các công trình của M. Bony, E. Stein, I. Hormander định hình lĩnh vực này. Chúng đặt tiền đề cho Lý thuyết toán tử giả vi phân.
1.2. Khái niệm cơ bản về Bài toán Biên
Bài toán biên là một lớp vấn đề quan trọng trong PDE. Nó liên quan đến việc tìm kiếm nghiệm của phương trình. Các nghiệm phải thỏa mãn các điều kiện nhất định trên biên miền. Điều kiện biên Dirichlet quy định giá trị của hàm trên biên. Điều kiện biên Neumann quy định giá trị đạo hàm pháp tuyến. Việc xác định tính tồn tại và duy nhất của nghiệm là cốt lõi. Tính chính quy của nghiệm cũng là một khía cạnh quan trọng. Các bài toán biên cổ điển được giải quyết khá trọn vẹn. Tuy nhiên, nhiều bài toán biên phi cổ điển vẫn đặt ra thách thức.
1.3. Giới thiệu về Toán tử Giả Vi Phân GVP
Toán tử giả vi phân (GVP) là một khái niệm tổng quát hơn toán tử vi phân. Nó xuất hiện từ những năm 1960. Hormander là một trong những người tiên phong. GVP sử dụng biến đổi Fourier để phân tích. Chúng cho phép nghiên cứu các phương trình phức tạp hơn. Lý thuyết toán tử GVP đã làm thay đổi cách tiếp cận PDE. Nó cung cấp công cụ mạnh mẽ cho Giải tích hàm. Các GVP thường được định nghĩa trên không gian Hilbert và không gian Sobolev. Sự linh hoạt của GVP giúp giải quyết các bài toán biên khó. Chúng đóng vai trò quan trọng trong việc phân tích tính chính quy của nghiệm.
II. Bài toán Biên Cổ điển Phương trình GVP Elliptic
Phần này tập trung vào các bài toán biên cổ điển cho phương trình giả vi phân elliptic. Khái niệm không gian hàm là nền tảng. Toán tử giả vi phân được định nghĩa và áp dụng. Phân tích các miền biên khác nhau.
2.1. Nền tảng không gian hàm trong giải tích
Nghiên cứu PDE đòi hỏi các không gian hàm phù hợp. Không gian Lp là tập hợp các hàm khả tích cấp p. Không gian Ck (Ω) chứa các hàm khả vi liên tục đến cấp k. Không gian Sobolev Ws,p (Ω) là tổng quát hóa của Ck. Chúng bao gồm các hàm có đạo hàm suy rộng trong Lp. Khi p=2, chúng được gọi là không gian Hilbert Hs (Ω). Các không gian này cung cấp khuôn khổ để định nghĩa nghiệm suy rộng. Chúng cho phép việc sử dụng các công cụ từ Giải tích hàm. Các tính chất nội suy của không gian Sobolev cũng rất quan trọng.
2.2. Toán tử giả vi phân trong Rn và ứng dụng
Toán tử giả vi phân (GVP) được định nghĩa chặt chẽ trong không gian Rn. Chúng được xây dựng bằng cách sử dụng phép biến đổi Fourier. Ký hiệu của GVP đóng vai trò quan trọng. Ký hiệu đặc trưng cho tính chất của toán tử. GVP có thể được xem như tổng quát hóa của toán tử vi phân. Chúng cho phép nghiên cứu các bài toán biên với điều kiện biên phức tạp. GVP elliptic là một lớp quan trọng. Chúng có tính chất tương tự như toán tử vi phân elliptic. Ứng dụng của GVP rất rộng. Chúng được dùng để chứng minh tính chính quy của nghiệm.
2.3. Giải quyết bài toán biên trên các miền khác nhau
Bài toán biên cổ điển cho GVP elliptic được nghiên cứu trên nhiều miền. Nửa không gian Rn+ là một trường hợp cơ bản. Miền bị chặn cũng là trọng tâm nghiên cứu. Các điều kiện biên Dirichlet hoặc Neumann được áp dụng. Phương pháp giải thường bao gồm việc xây dựng các toán tử biên phụ trợ. Việc phân tích tính chất của toán tử Green là cần thiết. Tính tồn tại, duy nhất và tính chính quy của nghiệm được thiết lập. Công cụ từ Lý thuyết toán tử và Giải tích hàm được sử dụng hiệu quả. Kết quả thu được cung cấp hiểu biết sâu sắc về hành vi của nghiệm gần biên.
III. Bài toán Biên Không Cổ điển Phương trình Elliptic
Nghiên cứu chuyển sang các bài toán biên không cổ điển. Đây là những vấn đề phức tạp hơn. Phân tích cả phương trình giả vi phân elliptic tuyến tính và nửa tuyến tính.
3.1. Các phương pháp giải GVP elliptic tuyến tính
Bài toán biên không cổ điển cho GVP elliptic tuyến tính là một lĩnh vực chuyên sâu. Khác với bài toán cổ điển, điều kiện biên có thể không rõ ràng. Hoặc chúng có thể liên quan đến các toán tử không địa phương. Nghiên cứu tập trung vào việc xác định không gian nghiệm phù hợp. Phương pháp thường sử dụng Lý thuyết toán tử và Giải tích hàm. Các định lý về toán tử Fredholm rất quan trọng. Chứng minh tính tồn tại và duy nhất của nghiệm được thực hiện. Việc phân tích tính chính quy của nghiệm đòi hỏi kỹ thuật cao. Các kết quả này mở rộng hiểu biết về hành vi của GVP.
3.2. Phân tích bài toán GVP elliptic nửa tuyến tính
Bài toán biên không cổ điển đối với GVP elliptic nửa tuyến tính phức tạp hơn. Thành phần phi tuyến tính gây ra nhiều khó khăn. Phương pháp giải yêu cầu kết hợp kỹ thuật tuyến tính hóa. Định lý điểm bất động là một công cụ mạnh mẽ. Việc sử dụng các phương pháp variational cũng phổ biến. Các không gian Hilbert và Sobolev đóng vai trò trung tâm. Điều kiện biên có thể tương tác phức tạp với phi tuyến. Phân tích tính chính quy của nghiệm là một thách thức lớn. Các kết quả thường cung cấp thông tin về sự tồn tại của nghiệm yếu. Việc chứng minh tính chính quy cao hơn là một bước tiếp theo quan trọng.
IV. Nghiên cứu Bài toán Biên cho GVP Parabolic
Phần này mở rộng nghiên cứu sang bài toán biên cho phương trình giả vi phân parabolic. Các phương trình này liên quan đến thời gian. Khảo sát cả vấn đề tuyến tính và nửa tuyến tính.
4.1. Khái niệm không gian hàm cho phương trình Parabolic
Nghiên cứu phương trình parabolic đòi hỏi các không gian hàm chuyên biệt. Các không gian này phải xem xét cả biến không gian và thời gian. Không gian Sobolev-type là lựa chọn phổ biến. Chúng có thể là các không gian Lp với giá trị trong một không gian Sobolev. Hoặc là không gian tích phân của các đạo hàm yếu. Việc định nghĩa chuẩn trong các không gian này rất quan trọng. Các không gian này đảm bảo tính liên tục của nghiệm theo thời gian. Chúng cũng cho phép áp dụng Lý thuyết toán tử và Giải tích hàm. Điều này tạo nền tảng cho việc phân tích tính tồn tại và duy nhất của nghiệm.
4.2. Bài toán biên cổ điển trên nửa trụ vô hạn
Bài toán biên cổ điển cho GVP parabolic thường được xét trên nửa trụ vô hạn. Nửa trụ vô hạn là miền không gian-thời gian có biên. Ví dụ điển hình là (0, T) x Rn+. Các điều kiện biên được đặt ra trên phần không gian của biên. Điều kiện khởi đầu cũng là một phần thiết yếu. Phương pháp biến đổi Laplace-Fourier thường được sử dụng. Nó chuyển phương trình parabolic thành elliptic. Tính chính quy của nghiệm được phân tích. Các kết quả cung cấp hiểu biết về hành vi của nghiệm theo thời gian. Đặc biệt là sự ổn định và suy giảm của chúng.
4.3. Giải pháp cho GVP parabolic tuyến tính và nửa tuyến tính
Các bài toán biên không cổ điển cho GVP parabolic tuyến tính được nghiên cứu. Điều kiện biên có thể là không địa phương hoặc phức tạp hơn. Phương pháp giải thường dựa trên Lý thuyết toán tử. Với GVP parabolic nửa tuyến tính, vấn đề trở nên phức tạp. Thành phần phi tuyến tính cần được xử lý cẩn thận. Các kỹ thuật như phương pháp điểm bất động hoặc phương pháp đơn điệu được áp dụng. Không gian Hilbert và Sobolev là công cụ không thể thiếu. Mục tiêu là chứng minh sự tồn tại, duy nhất và tính chính quy của nghiệm. Kết quả này mở rộng phạm vi áp dụng của Lý thuyết toán tử giả vi phân.
V. Kết quả Ứng dụng Lý thuyết Toán tử GVP
Phần này tổng kết các phát hiện chính. Nó thảo luận về ý nghĩa của công trình. Đồng thời, đưa ra các đề xuất cho nghiên cứu tiếp theo. Góp phần vào Lý thuyết toán tử giả vi phân.
5.1. Tóm tắt các kết quả nghiên cứu chính
Nghiên cứu đã làm rõ nhiều khía cạnh của bài toán biên giả vi phân. Các kết quả quan trọng về tính tồn tại và duy nhất của nghiệm được thiết lập. Cả bài toán biên cổ điển và không cổ điển đều được phân tích. Đặc biệt, đối với phương trình GVP elliptic và parabolic. Tính chính quy của nghiệm cũng được khảo sát chi tiết. Điều này áp dụng cho cả trường hợp tuyến tính và nửa tuyến tính. Các phương pháp dựa trên Lý thuyết toán tử và Giải tích hàm được phát triển. Công trình góp phần củng cố nền tảng lý thuyết. Nó mở rộng hiểu biết về hành vi của các phương trình này trong các không gian phức tạp.
5.2. Hướng phát triển và khuyến nghị tương lai
Công trình này mở ra nhiều hướng nghiên cứu tiềm năng. Có thể mở rộng sang các lớp GVP khác. Nghiên cứu bài toán biên trong các không gian Hilbert hoặc Sobolev với các chỉ số khác. Khảo sát điều kiện biên phi tuyến tính phức tạp hơn. Áp dụng GVP trong các bài toán thực tiễn. Ví dụ trong vật lý, kỹ thuật hoặc khoa học dữ liệu. Điều này có thể bao gồm việc mô hình hóa các hệ thống phức tạp. Việc phát triển các phương pháp số cho GVP cũng là một hướng quan trọng. Mục tiêu là thu hẹp khoảng cách giữa lý thuyết và ứng dụng. Đây là bước tiến quan trọng trong Lý thuyết toán tử giả vi phân.
Tải xuống file đầy đủ để xem toàn bộ nội dung
Tải đầy đủ (127 trang)Trích đoạn nội dung luận án
Tải xuống để đọc toàn bộMôc lôc Trang phô b×a. 1 Lêi cam ®oan. 3 Danh môc c¸c ký hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t. 9 Ch−¬ng 1 Tæng quan 15 1.1 Bµi to¸n ®¹o hµm nghiªng cæ ®iÓn ®èi víi ph−¬ng tr×nh vi ph©n elliptic .2 Bµi to¸n biªn cæ ®iÓn ®èi víi ph−¬ng tr×nh parabolic.
22 Ch−¬ng 2 Bµi to¸n biªn cæ ®iÓn ®èi víi ph−¬ng tr×nh GVP elliptic 30 2.1 Kh«ng gian hµm .2 To¸n tö gi¶ vi ph©n (GVP) trong Rn .3 Bµi to¸n biªn trªn nöa kh«ng gian Rn+ .4 Bµi to¸n biªn trªn miÒn bÞ chÆn. 47 Ch−¬ng 3 Bµi to¸n biªn kh«ng cæ ®iÓn ®èi víi ph−¬ng tr×nh elliptic 62 3.1 Bµi to¸n biªn kh«ng cæ ®iÓn ®èi víi ph−¬ng tr×nh GVP elliptic tuyÕn tÝnh .2 Bµi to¸n biªn kh«ng cæ ®iÓn ®èi víi ph−¬ng tr×nh GVP elliptic nöa tuyÕn tÝnh. 82 5 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Ch−¬ng 4 Bµi to¸n biªn kh«ng cæ ®iÓn ®èi víi ph−¬ng tr×nh parabolic 88 4.1 Kh«ng gian hµm .2 Bµi to¸n biªn cæ ®iÓn ®èi víi ph−¬ng tr×nh GVP parabolic trªn nöa trô v« h¹n .3 Bµi to¸n biªn kh«ng cæ ®iÓn ®èi víi ph−¬ng tr×nh GVP parabolic tuyÕn tÝnh trªn nöa trô v« h¹n .4 Bµi to¸n biªn kh«ng cæ ®iÓn ®èi víi ph−¬ng tr×nh GVP parabolic nöa tuyÕn tÝnh trªn nöa trô v« h¹n. 114 KÕt qu¶ vµ bµn luËn 122 KÕt qu¶ nghiªn cøu vµ bµn luËn.
124 KiÕn nghÞ vÒ nh÷ng nghiªn cøu tiÕp theo. 125 Danh môc c«ng tr×nh khoa häc cña t¸c gi¶ liªn quan ®Õn luËn ¸n. 126 Tµi liÖu tham kh¶o. 127 6 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Danh môc c¸c ký hiÖu vµ ch÷ viÕt t¾t N = {1, 2,.
} : tËp sè tù nhiªn, Z : tËp sè nguyªn, Z+ = {m ∈ Z | m ≥ 0} : tËp c¸c sè nguyªn kh«ng ©m. , n} : tËp c¸c ®a Pn chØ sè vµ víi α ∈ Zn+ ký hiÖu |α| = αj. j=1 √ R : tËp sè thùc, C : tËp sè phøc. Víi mçi z ∈ C ký hiÖu =z lµ phÇn ¶o, <z lµ phÇn thùc.
Víi mçi p ∈ R, 1 < p < +∞, sè p0 lµ sè ®èi ngÉu cña p, nghÜa lµ 1p + p10 = 1. Víi mçi a ∈ R, ký hiÖu [a] lµ sè nguyªn lín nhÊt kh«ng lín h¬n a. , n} lµ kh«ng gian thùc Pn 1 n−chiÒu víi chuÈn Euclid ||x|| = x2j 2 j=1 P n vµ tÝch v« h−íng hx, yi = xj y j. , xn ) ∈ Rn | xn > 0}, R̄n+ = {x = (x1, x2 ,.
, xn ) ∈ Rn | xn ≥ 0}. NÕu kh«ng cã g× ®Æc biÖt, ký hiÖu Ω lµ tËp më trong Rn. Víi mçi k ∈ Z+ ký hiÖu c¸c tËp nh− sau: C k (Ω) = {u : Ω → C u kh¶ vi liªn tôc ®Õn cÊp k}, liªn tôc C(Ω) = C 0 (Ω) = {u : Ω −→ C}, C0k (Ω) = {u ∈ C k (Ω) supp u lµ tËp compact}, C0 (Ω) = C00 (Ω), C k,1 (Ω) = {u ∈ C k (Ω) ®¹o hµm riªng cÊp k cña u lµ hµm Lipschitz}, C ∞ (Ω) = ∩∞ k ∞ ∞ k k=1 C (Ω), C0 (Ω) = ∩k=1 C0 (Ω), C0∞(R̄n+ ) = {u : R̄n+ → C cã hµm lu ∈ C0∞(Rn ) mµ lu|R̄n+ = u}, trong ®ã, supp u = cl{x ∈ Ω u(x) 6= 0}. 7 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Víi mçi sè thùc 1 ≤ p < ∞, ký hiÖu Z ®® −→ C Lp (Ω) = {u : ΩLebesgue |u(x)|p < +∞}, Ω lµ kh«ng gian c¸c hµm kh¶ tÝch cÊp p trªn Ω víi chuÈn Z 1 ||u||Lp(Ω) = |u(x)|p p , Ω víi p = ∞, ký hiÖu ®® −→ C ess sup |u(x)| < +∞}, L∞ (Ω) = {u : ΩLebesgue x∈Ω lµ kh«ng gian c¸c hµm bÞ chÆn hÇu kh¾p n¬i trªn Ω víi chuÈn ||u||L∞(Ω) = ess sup |u(x)|, x∈Ω trong ®ã, ess supx∈Ω |u(x)| = inf{M > 0 m{x ∈ Ω |u(x)| > M } = 0}.
Víi mçi 1 ≤ p ≤ ∞, 0 ≤ s ký hiÖu c¸c kh«ng gian Sobolev Ws,p (Ω). Víi s ∈ Z+ , kh«ng gian Sobolev Ws,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) D αu ∈ Lp(Ω), ∀|α| ≤ s} víi chuÈn X 1 ||u||Ws,p(Ω) = ||D αu||pLp (Ω) p , khi p < ∞, |α|≤s ||u||Ws,∞(Ω) = max ||D αu||L∞ (Ω) , khi p = ∞, |α|≤s ∂ trong ®ã, D α = D1α1. i ∂xj Víi s 6∈ Z+ , kh«ng gian Sobolev Ws,p (Ω) ®−îc ®Þnh nghÜa b»ng phÐp néi suy. Khi p = 2, ®Ó ®¬n gi¶n ta ký hiÖu Hs (Ω) = Ws,2 (Ω).
PhÐp biÕn ®æi Fourier trong Rn Z − n2 Fn u(ξ) = (2π) e−ihx,ξi u(x)dx. Rn PhÐp biÕn ®æi Laplace Z +∞ − 12 Lu(q) = (2π) e−qt u(t)dt, q ∈ C, <q ≥ 0. 0 To¸n tö GVP: to¸n tö gi¶ vi ph©n. 8 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Më ®Çu Lý thuyÕt Ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng ®−îc nghiªn cøu ®Çu tiªn trong c¸c c«ng tr×nh cña Euler, d'Alembert, Lagrange vµ Laplace nh− mét c«ng cô chÝnh ®Ó m« t¶ c¬ häc còng nh− lµ m« h×nh gi¶i tÝch cña vËt lý.
Cho ®Õn giê, m« h×nh gi¶i tÝch cña vËt lý vÉn lµ mét trong nh÷ng yÕu tè c¬ b¶n trong sù ph¸t triÓn cña Lý thuyÕt Ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng. Vµo gi÷a thÕ kû 19, ®Æc biÖt víi c«ng tr×nh cña Riemann, Lý thuyÕt Ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng ®· chøng tá lµ mét c«ng cô thiÕt yÕu cña nhiÒu ngµnh to¸n häc. Cuèi thÕ kû 19, H. Poincare ®· chØ ra mèi quan hÖ biÖn chøng gi÷a Lý thuyÕt Ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng vµ c¸c ngµnh to¸n häc kh¸c.
Sang thÕ kû 20, Lý thuyÕt Ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng ph¸t triÓn m¹nh mÏ nhê c«ng cô Gi¶i tÝch hµm. §Æc biÖt khi Lý thuyÕt hµm suy réng ®−îc x©y dùng bëi S. Schwartz ®−îc kÕt hîp víi Gi¶i tÝch Fourier nhiÒu bµi to¸n ®· ®−îc gi¶i quyÕt. Ch¼ng h¹n bµi to¸n biªn elliptic tuyÕn tÝnh ®−îc gi¶i quyÕt kh¸ trän vÑn (cã thÓ xem trong c«ng tr×nh cña M.
B»ng lý thuyÕt nöa nhãm cïng c¸c kÕt qu¶ tõ to¸n tö elliptic, mét sè líp bµi to¸n parabolic, cßn ®−îc gäi lµ ph−¬ng tr×nh tiÕn hãa, còng ®· ®−îc nghiªn cøu bëi E. Bµi to¸n hyperbolic còng ®· cã ®−îc nh÷ng kÕt qu¶ ®Ñp qua c¸c c«ng tr×nh cña I. Hormander (xem trong [26]), c¸c c«ng tr×nh vÒ to¸n tö hyperbolic cña I. Petrovski nh− mét ®iÒu dù b¸o vÒ sù ra ®êi cña Lý thuyÕt to¸n tö Gi¶ vi ph©n, mét trong nh÷ng c«ng cô h÷u hiÖu ®Ó nghiªn cøu Lý thuyÕt Ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng kh«ng chØ tuyÕn tÝnh mµ c¶ víi phi tuyÕn.
Lý thuyÕt to¸n tö GVP lµ sù ph¸t triÓn cña Lý thuyÕt tÝch ph©n kú dÞ kÕt hîp víi Gi¶i tÝch Fourier. TÝch ph©n kú dÞ, ch¼ng h¹n tÝch ph©n víi nh©n Poisson hay biÕn ®æi Hilbert, biÕn ®æi Riesz, ®−îc nghiªn cøu tõ l©u bëi nhiÒu t¸c gi¶ nh− Poisson, D., nh−ng cã lÏ ph¶i ®Õn c¸c c«ng tr×nh cña 9 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail. Mikhlin vµ sau ®ã lµ c¸c häc trß cña A. Stein, nã b¾t ®Çu trë thµnh mét c«ng cô thùc sù trong viÖc nghiªn cøu Lý thuyÕt Ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng.
Lý thuyÕt tÝch ph©n kú dÞ kÕt hîp víi Gi¶i tÝch Fourier tiÕp tôc ®−îc J. Hormander ph¸t triÓn thµnh Lý thuyÕt to¸n tö GVP. Mét trong nh÷ng kÕt qu¶ ®Ñp dùa mét phÇn trªn Lý thuyÕt to¸n tö GVP lµ §Þnh lý vÒ chØ sè Atiyah- Singer, sù giao thoa gi÷a nhiÒu ngµnh to¸n häc Lý thuyÕt Ph−¬ng tr×nh vi ph©n ®¹o hµm riªng, Lý thuyÕt T«p«- §¹i sè, Lý thuyÕt H×nh häc- §¹i sè. Dùa vµo Lý thuyÕt to¸n tö GVP, F.
Cïng víi nhiÒu c«ng tr×nh tr−íc ®ã cña L. Dencker ([12], [13], [14]) míi gi¶i quyÕt trän vÑn bµi to¸n vÒ tÝnh gi¶i ®−îc ®Þa ph−¬ng cho to¸n tö GVP kiÓu chÝnh. Mét kÕt qu¶ lý thó kh¸c vÒ tÝnh subelliptic, tÝnh chÊt n»m gi÷a elliptic vµ hyperbolic, lµ Yu. Egorov ®· ®−a ra ®−îc ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó mét to¸n tö GVP lµ subelliptic.
KÕt qu¶ nµy ®−îc b¾t nguån tõ c«ng tr×nh viÕt chung víi V. Kondratiev vÒ bµi to¸n ®¹o hµm nghiªng. Khi kh¶o s¸t mét vµi líp bµi to¸n ®¹o hµm nghiªng cô thÓ b»ng c¸ch chuyÓn thµnh to¸n tö GVP cïng víi sù nghiªn cøu c¸c kÕt qu¶ tr−íc ®ã cña L. Egorov ®· t×m ra ®−îc phÐp biÕn ®æi chÝnh t¾c, råi tõ ®ã ®i ®Õn ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó mét to¸n tö GVP lµ subelliptic.
Bµi to¸n ®¹o hµm nghiªng, nghÜa lµ bµi to¸n biªn cho ph−¬ng tr×nh vi ph©n cÊp 2, ch¼ng h¹n ph−¬ng tr×nh Laplace ∆u = f , víi ®iÒu kiÖn biªn ®¹o ∂u hµm nghiªng = g trong miÒn Ω bÞ chÆn trong kh«ng gian cã sè chiÒu ∂ν ∂Ω kh«ng nhá h¬n 3, víi biªn tr¬n ∂Ω, theo Yu. Kondratiev ®−îc ®Æt ra bëi H. Tuy nhiªn, cho ®Õn tr−íc n¨m 1963, bµi to¸n ∂ ®¹o hµm nghiªng chØ ®−îc xÐt khi tr−êng vÐc-t¬ Dν = kh«ng tiÕp xóc ∂ν 10 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail. Ph¶i ®Õn c«ng tr×nh [6] cña A.
Bisadze, n¨m 1963, bµi to¸n ®¹o hµm nghiªng míi ®−îc xÐt khi tr−êng vÐc-t¬ Dν tiÕp xóc víi biªn, cô thÓ A. Bisadze xÐt bµi to¸n biªn cho ph−¬ng tr×nh Laplace trong h×nh cÇu B = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 | x21 + x22 + x23 ≤ 1} trong kh«ng gian 3 chiÒu víi ®iÒu kiÖn biªn trªn mÆt cÇu S = {(x1, x2 , x3 ) ∈ R3 | x21 + x22 + x23 = 1} ∂u ∂u ∂u (x1 − a) + x2 + x3 = g, ∂x1 ∂x2 ∂x3 trong ®ã a ∈ R lµ h»ng sè. ∂ ∂ ∂ Khi |a| > 1, tr−êng vÐc-t¬ (x1 − a) , x2 , x3 tiÕp xóc víi biªn ∂x1 ∂x2 ∂x3 1 a2 − 1 trªn ®−êng trßn c = {(x1, x2 , x3 ) ∈ S | x1 = , x22 + x23 = } trªn mÆt a a2 cÇu S. §Ó thuËn tiÖn cho viÖc ph¸t biÓu sau nµy, chóng t«i gäi bµi to¸n ®¹o hµm nghiªng mµ tr−êng vÐc-t¬ ®¹o hµm nghiªng tiÕp xóc víi biªn lµ bµi to¸n ®¹o hµm nghiªng kh«ng cæ ®iÓn ph©n biÖt víi c¸c bµi to¸n ®¹o hµm nghiªng ®−îc tr−íc n¨m 1963.
ViÖc nghiªn cøu bµi to¸n ®¹o hµm nghiªng kh«ng cæ ®iÓn gÆp nhiÒu khã kh¨n. Mét trong nh÷ng khã kh¨n lµ lo¹i bµi to¸n ®¹o hµm nghiªng kh«ng cæ ®iÓn nµy kh«ng tháa m·n §iÒu kiÖn Shapiro- Lopatinski nh− c¸c bµi to¸n biªn Dirichlet, Neuman hay c¸c bµi to¸n ®¹o hµm nghiªng cæ ®iÓn. Chóng t«i còng xin ®−îc gäi bµi to¸n biªn kh«ng tháa m·n §iÒu kiÖn Shapiro- Lopatinski lµ bµi to¸n biªn kh«ng cæ ®iÓn ®Ó ph©n biÖt víi bµi to¸n biªn tháa m·n §iÒu kiÖn Shapiro- Lopatinski. Sau c«ng tr×nh [6], A.
Bisadze vµ nhiÒu t¸c gi¶ kh¸c nh− R. Mazya, NguyÔn Minh Ch−¬ng, Lª Quang Trung,. , còng cã nh÷ng kÕt qu¶ lý thó vÒ bµi to¸n ®¹o hµm nghiªng kh«ng cæ ®iÓn. Mét trong c¸c kÕt qu¶ lý thó lµ c«ng tr×nh [17] cña Yu.
Nội dung được bảo vệ bản quyền — Tải xuống đầy đủ
Trích dẫn luận án này
Bài toán biên giả vi phân trong không gian HLP khác 2 (n.d.) [Luận án tiến sĩ]. LuanAn.net. https://luanan.net/toan-hoc/bai-toan-bien-gia-vi-phan-trong-khong-gian-hlp-khac-2
Câu hỏi thường gặp
Luận án "Bài toán biên giả vi phân trong không gian HLP khác 2" nghiên cứu về vấn đề gì?
Nghiên cứu bài toán biên giả vi phân trong không gian HLP khác 2. Phân tích sâu, đưa ra giải pháp hiệu quả, tối ưu hóa mô hình toán học.
Luận án "Bài toán biên giả vi phân trong không gian HLP khác 2" có bao nhiêu trang?
Luận án "Bài toán biên giả vi phân trong không gian HLP khác 2" có 127 trang. Bạn có thể xem trước một phần tài liệu ngay trên trang web trước khi tải về.
Cách tải luận án "Bài toán biên giả vi phân trong không gian HLP khác 2" về máy như thế nào?
Để tải luận án về máy, bạn nhấn nút "Tải xuống ngay" trên trang này, sau đó hoàn tất thanh toán phí lưu trữ. File sẽ được tải xuống ngay sau khi thanh toán thành công. Hỗ trợ qua Zalo: 0559 297 239.