Luận án tiến sĩ tích phân ngẫu nhiên ito và toán tử ngẫu nhiên trong không gian
Luận án TS: Tích phân ngẫu nhiên Ito và toán tử ngẫu nhiên - Nền tảng lý thuyết, ứng dụng trong tài chính, mô hình hóa.
Giải tích ngẫu nhiên / Toán học
Luan An
Luận án tiến sĩ
Số trang
102
Thời gian đọc
16 phút
Lượt xem
0
Lượt tải
0
Phí lưu trữ
40 Point
Tổng quan nhanh
- Chủ đề:
- Giải tích ngẫu nhiên: Nền tảng và ứng dụng vô hạn chiều
- Số trang:
- 102 trang
- Chuyên ngành:
- Giải tích ngẫu nhiên / Toán học
- Tác giả:
- Luan An
Tóm tắt nội dung luận án
I.Giải tích ngẫu nhiên Nền tảng và ứng dụng vô hạn chiều
Trong nhiều thập kỷ qua, giải tích toán học đã phát triển mạnh mẽ. Lĩnh vực này cung cấp công cụ cho các mô hình tất định. Tuy nhiên, thế giới hiện thực chứa nhiều yếu tố ngẫu nhiên. Các hệ động lực và quá trình tự nhiên thường là ngẫu nhiên. Nghiên cứu mô hình ngẫu nhiên là điều cần thiết. Giải tích ngẫu nhiên đã ra đời để đáp ứng nhu cầu này. Nó cung cấp ngôn ngữ và công cụ để mô tả, phân tích, dự báo và điều khiển các mô hình ngẫu nhiên. Các lý thuyết về độ đo ngẫu nhiên, tích phân ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên (SDE), và toán tử ngẫu nhiên là cốt lõi của giải tích ngẫu nhiên. Đặc biệt, giải tích ngẫu nhiên vô hạn chiều nhận được sự quan tâm lớn. Sự phát triển nội tại của toán học và các bài toán thực tiễn đòi hỏi cách tiếp cận này. Nghiên cứu trên không gian vô hạn chiều yêu cầu phương pháp và công cụ mới. Các phương pháp xác suất hữu hạn chiều không còn hiệu lực khi mở rộng sang không gian vô hạn chiều. Luận án này tập trung vào các khái niệm nâng cao trong bối cảnh vô hạn chiều.
1.1. Sự cần thiết của mô hình ngẫu nhiên
Các mô hình tất định chỉ phản ánh một phần thực tế. Nhiều hiện tượng tự nhiên và xã hội chịu tác động của sự ngẫu nhiên. Ví dụ điển hình trong kinh tế, vật lý, sinh học. Để phản ánh đúng đắn hơn, việc sử dụng mô hình ngẫu nhiên là không thể thiếu. Lý thuyết xác suất nâng cao cung cấp nền tảng cho việc này.
1.2. Giải tích ngẫu nhiên Lĩnh vực mới phát triển
Giải tích ngẫu nhiên là một chuyên ngành mới. Nó tích hợp các yếu tố ngẫu nhiên vào giải tích truyền thống. Mục tiêu là xây dựng công cụ toán học mạnh mẽ. Các công cụ này giúp xử lý các hệ thống động lực ngẫu nhiên. Tích phân Ito và SDEs là những thành tựu quan trọng.
1.3. Thách thức của giải tích ngẫu nhiên vô hạn chiều
Mở rộng giải tích ngẫu nhiên sang không gian vô hạn chiều gặp nhiều thách thức. Các khái niệm như độ đo ngẫu nhiên trở nên phức tạp hơn. Phương pháp tính toán và lý thuyết cần được điều chỉnh. Nhiều bài toán toán học tài chính và vật lý yêu cầu cách tiếp cận vô hạn chiều.
II.Độ đo ngẫu nhiên Gauss Tích phân Wiener vô hạn chiều
Chương này cung cấp nền tảng cho việc nghiên cứu tích phân ngẫu nhiên trong không gian vô hạn chiều. Khái niệm độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss được giới thiệu chi tiết. Đặc biệt chú trọng đến các độ đo đối xứng. Những độ đo này nhận giá trị trong các không gian Banach vô hạn chiều. Tích phân Wiener, được giới thiệu bởi Wiener năm 1923, là một cột mốc quan trọng. Ban đầu, tích phân này được định nghĩa cho các hàm tất định đối với chuyển động Brown. Luận án mở rộng khái niệm này. Tích phân của các hàm tất định đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss được xây dựng. Đây là một bước tiến quan trọng trong giải tích ngẫu nhiên vô hạn chiều. Các tính chất cơ bản của Martingale nhận giá trị trong không gian Banach cũng được trình bày. Những kết quả này là nền tảng cho các chương tiếp theo, đặc biệt là việc xây dựng tích phân Ito.
2.1. Nguồn gốc Tích phân Wiener và mở rộng
Tích phân Wiener xuất hiện lần đầu năm 1923. Nó cho phép tích phân hàm tất định đối với chuyển động Brown. Bochner đưa ra ý tưởng độ đo ngẫu nhiên giá trị thực. Urbanik và Woyczynski nghiên cứu tích phân đối với độ đo ngẫu nhiên giá trị thực. Mở rộng cho trường hợp vô hạn chiều được thực hiện bởi Hoffman-Jorgensen, Okazaki, Rosinski.
2.2. Độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss đối xứng
Luận án tập trung vào độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss đối xứng. Các độ đo này nhận giá trị trong không gian Banach. Các định nghĩa và tính chất cơ bản được khảo sát. Đây là công cụ cơ bản cho tích phân ngẫu nhiên.
2.3. Xây dựng Tích phân Wiener trên không gian Banach
Quá trình tích phân các hàm tất định đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss được thiết lập. Điều này mở rộng tích phân Wiener cổ điển. Martingale trong không gian Banach cũng được nghiên cứu. Đây là bước đệm cần thiết cho giải tích ngẫu nhiên Ito.
III.Tích phân Ito vô hạn chiều và Công thức Ito cơ bản
Chương này đi sâu vào khái niệm tích phân Ito, một công cụ then chốt trong giải tích ngẫu nhiên. Không giống như tích phân Wiener, tích phân Ito cho phép tích phân các hàm ngẫu nhiên phù hợp. Năm 1942, Ito xây dựng quá trình này cho chuyển động Brown. Luận án này mở rộng tích phân Ito sang không gian vô hạn chiều. Việc xây dựng tích phân này đối với độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss được thực hiện cẩn thận. Một khía cạnh quan trọng là nghiên cứu biến phân bình phương của độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss đối xứng. Khái niệm biến phân bình phương rất cần thiết để định nghĩa quá trình Ito. Các quá trình Ito là nền tảng cho Phương trình vi phân ngẫu nhiên (SDE). Cuối cùng, công thức Ito được thiết lập trong bối cảnh vô hạn chiều. Công thức này là một trong những kết quả mạnh mẽ nhất của lý thuyết xác suất nâng cao. Nó có ứng dụng rộng rãi trong toán học tài chính và mô hình ngẫu nhiên. Công thức Ito cho phép tính đạo hàm của các hàm phức tạp của quá trình ngẫu nhiên.
3.1. Tích phân Ito cho hàm ngẫu nhiên
Tích phân Ito là bước tiến lớn so với tích phân Wiener. Nó cho phép tích phân các hàm ngẫu nhiên, không chỉ hàm tất định. Yêu cầu chính là hàm ngẫu nhiên phải "phù hợp". Luận án mở rộng việc xây dựng tích phân này cho không gian Banach vô hạn chiều.
3.2. Biến phân bình phương và Quá trình Ito
Biến phân bình phương của độ đo véc tơ ngẫu nhiên Gauss đối xứng được phân tích. Đây là yếu tố cốt lõi để xác định "độ mịn" của quá trình ngẫu nhiên. Quá trình Ito là lớp các quá trình có thể viết dưới dạng tích phân Ito và một phần drift.
3.3. Công thức Ito trong không gian vô hạn chiều
Công thức Ito là một công cụ tính toán vi phân cơ bản trong giải tích ngẫu nhiên. Nó cho phép chuyển đổi các hàm của quá trình ngẫu nhiên. Việc mở rộng công thức này sang môi trường vô hạn chiều có ý nghĩa lớn. Công thức Ito hỗ trợ giải SDE và phát triển mô hình ngẫu nhiên phức tạp.
IV.Khám phá Toán tử ngẫu nhiên giữa các không gian Banach
Chương cuối của luận án đi sâu vào toán tử ngẫu nhiên. Các toán tử này đóng vai trò quan trọng trong việc mô tả mối quan hệ giữa các không gian Banach khi có yếu tố ngẫu nhiên. Khái niệm toán tử ngẫu nhiên bị chặn được giới thiệu kỹ lưỡng. Các ví dụ minh họa và tính chất tổng quát của chúng được trình bày. Việc xác định các điều kiện để một toán tử ngẫu nhiên bị chặn là trọng tâm. Tính bị chặn là một thuộc tính cơ bản, đảm bảo tính "ổn định" của toán tử. Một điểm đáng chú ý là nguyên lý bị chặn đều không còn hiệu lực cho toán tử ngẫu nhiên bị chặn. Điều này khác biệt so với trường hợp tất định. Sự khác biệt này đòi hỏi các phương pháp phân tích mới. Cuối cùng, luận án thảo luận về sự thác triển của các toán tử ngẫu nhiên bị chặn. Khái niệm này mở rộng phạm vi ứng dụng của chúng. Nghiên cứu này góp phần vào lý thuyết xác suất nâng cao và giải tích hàm ngẫu nhiên.
4.1. Định nghĩa và tính chất Toán tử ngẫu nhiên
Toán tử ngẫu nhiên là ánh xạ giữa các không gian hàm ngẫu nhiên hoặc không gian Banach với yếu tố ngẫu nhiên. Luận án định nghĩa rõ ràng toán tử ngẫu nhiên bị chặn. Các ví dụ cụ thể minh họa khái niệm này. Tính chất đại số và giải tích của chúng được khảo sát.
4.2. Điều kiện ràng buộc cho Toán tử ngẫu nhiên
Các điều kiện đủ để một toán tử ngẫu nhiên được coi là bị chặn được phân tích. Điều này quan trọng cho việc nghiên cứu sự hội tụ và liên tục. Việc thiếu nguyên lý bị chặn đều thông thường cần được xem xét kỹ lưỡng.
4.3. Mở rộng và ứng dụng của Toán tử ngẫu nhiên
Thác triển của toán tử ngẫu nhiên bị chặn được nghiên cứu. Điều này cho phép mở rộng miền xác định của toán tử. Các ứng dụng tiềm năng của toán tử ngẫu nhiên bao gồm phương trình vi phân ngẫu nhiên (SDE) và các mô hình ngẫu nhiên trong vật lý.
Tải xuống file đầy đủ để xem toàn bộ nội dung
Tải đầy đủ (102 trang)Trích đoạn nội dung luận án
Tải xuống để đọc toàn bộMôc lôc Lêi cam ®oan. 5 1 §é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss vμ tÝch ph©n ngÉu nhiªn Wiener v« h¹n chiÒu 11 1.1 BiÕn ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ trong kh«ng gian Banach .2 §é ®o vÐc t¬ vμ tÝch ph©n cña hμm nhËn gi¸ trÞ to¸n tö ®èi víi ®é ®o vÐc t¬ .2 TÝch ph©n Bochner .3 TÝch ph©n cña mét hμm nhËn gi¸ trÞ to¸n tö ®èi víi mét ®é ®o vÐc t¬ .3 §é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn vμ tÝch ph©n ngÉu nhiªn cña hμm tÊt ®Þnh ®èi víi ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn .4 §é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss .5 TÝch ph©n ngÉu nhiªn Wiener ®èi víi ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss ®èi xøng .6 Martingale nhËn gi¸ trÞ trong kh«ng gian Banach. 25 3 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 2 TÝch ph©n ngÉu nhiªn Ito v« h¹n chiÒu vμ c«ng thøc Ito 27 2.1 TÝch ph©n ngÉu nhiªn cña hμm ngÉu nhiªn nhËn gi¸ trÞ to¸n tö ®èi víi ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss .2 BiÕn ph©n b×nh ph−¬ng cña ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss ®èi xøng .3 Qu¸ tr×nh Ito vμ c«ng thøc Ito. 46 3 To¸n tö ngÉu nhiªn gi÷a c¸c kh«ng gian Banach 58 3.1 Kh¸i niÖm cña to¸n tö ngÉu nhiªn bÞ chÆn, vÝ dô vμ c¸c tÝnh chÊt tæng qu¸t .2 C¸c ®iÒu kiÖn ®Ó mét to¸n tö ngÉu nhiªn lμ bÞ chÆn .3 Nguyªn lý bÞ chÆn ®Òu kh«ng cã hiÖu lùc cho to¸n tö ngÉu nhiªn bÞ chÆn .4 Th¸c triÓn cña to¸n tö ngÉu nhiªn bÞ chÆn.
75 VÒ c¸c nghiªn cøu tiÕp theo. 93 Tμi liÖu tham kh¶o. 100 4 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Më ®Çu Trong h¬n ba thÕ kû qua, víi c«ng lao ®ãng gãp cña nhiÒu thÕ hÖ c¸c nhμ to¸n häc, gi¶i tÝch to¸n häc ®· trë thμnh mét lÜnh vùc to¸n häc lín víi nh÷ng chuyªn ngμnh nh−: phÐp tÝnh vi tÝch ph©n, ph−¬ng tr×nh vi ph©n, ph−¬ng tr×nh ®¹o hμm riªng, lý thuyÕt c¸c to¸n tö tuyÕn tÝnh,. Nã cung cÊp cho nhiÒu ngμnh khoa häc vμ kü thuËt mét c«ng cô hÕt søc ®¾c lùc ®Ó xö lý vμ tÝnh to¸n c¸c m« h×nh tÊt ®Þnh.
Tuy nhiªn, chóng ta ®ang sèng trong mét thÕ giíi chÞu nhiÒu t¸c ®éng cña nh©n tè ngÉu nhiªn. PhÇn lín c¸c hÖ ®éng lùc, c¸c qu¸ tr×nh trong tù nhiªn lμ c¸c hÖ ®éng lùc ngÉu nhiªn vμ qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn. Thμnh thö ®Ó ph¶n ¸nh thùc tÕ ®óng ®¾n h¬n, ngoμi viÖc nghiªn cøu c¸c m« h×nh tÊt ®Þnh, viÖc nghiªn cøu c¸c m« h×nh ngÉu nhiªn lμ mét tÊt yÕu vμ cÇn thiÕt. Trong vμi chôc n¨m gÇn ®©y, mét mÆt do nhu cÇu ph¸t triÓn néi t¹i cña to¸n häc, mÆt kh¸c nh»m cung cÊp mét ng«n ng÷, mét c«ng cô cho phÐp m« t¶, ph©n tÝch, dù b¸o vμ ®iÒu khiÓn c¸c m« h×nh ngÉu nhiªn, gi¶i tÝch ngÉu nhiªn (gi¶i tÝch trong m«i tr−êng ngÉu nhiªn) ®· ra ®êi víi c¸c lý thuyÕt vÒ ®é ®o ngÉu nhiªn, tÝch ph©n ngÉu nhiªn, ph−¬ng tr×nh vi ph©n ngÉu nhiªn, to¸n tö ngÉu nhiªn, ®iÓm bÊt ®éng ngÉu nhiªn, hÖ ®éng lùc ngÉu nhiªn.
Trong c¸c h−íng nghiªn cøu cña gi¶i tÝch ngÉu nhiªn, viÖc nghiªn cøu gi¶i tÝch ngÉu nhiªn v« h¹n chiÒu còng ®−îc nhiÒu t¸c gi¶ quan t©m do sù ph¸t triÓn néi t¹i cña gi¶i tÝch ngÉu nhiªn còng nh− do sù xuÊt hiÖn cña nhiÒu bμi to¸n thùc tiÔn ®ßi hái c¸ch tiÕp cËn v« h¹n chiÒu. CÇn chó ý r»ng ®Ó nghiªn cøu gi¶i tÝch ngÉu nhiªn trªn kh«ng gian v« h¹n chiÒu, ng−êi ta cÇn ph¶i cã nh÷ng ph−¬ng ph¸p míi vμ dông cô míi kh¸c so víi viÖc nghiªn cøu gi¶i tÝch ngÉu nhiªn h÷u h¹n chiÒu. Bëi lÏ r»ng nh÷ng ph−¬ng ph¸p vμ dông cô c¬ b¶n cña x¸c suÊt trªn kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu khi më réng sang kh«ng gian v« h¹n chiÒu th× kh«ng cßn hiÖu lùc n÷a (xem [21, 22, 43] vμ c¸c th− môc ë ®ã). 5 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com VÒ mÆt lÞch sö, tÝch ph©n ngÉu nhiªn ®Çu tiªn trong lý thuyÕt x¸c suÊt lμ tÝch ph©n cña mét hμm tÊt ®Þnh ®èi víi chuyÓn ®éng Brown do Wiener ®−a ra [44] vμo n¨m 1923.
TÝch ph©n nμy ®−îc gäi lμ tÝch ph©n Wiener. TÝch ph©n Wiener cã thÓ nh×n nhËn nh− lμ tÝch ph©n cña mét hμm tÊt ®Þnh thùc ®èi víi ®é ®o ngÉu nhiªn Wiener - mét ®é ®o ngÉu nhiªn gi¸ trÞ thùc sinh bëi chuyÓn ®éng Brown. T− t−ëng vÒ ®é ®o ngÉu nhiªn gi¸ trÞ thùc lÇn ®Çu tiªn xuÊt hiÖn trong c«ng tr×nh cña Bochner [6]. TÝch ph©n ngÉu nhiªn cña hμm tÊt ®Þnh ®èi víi ®é ®o ngÉu nhiªn gi¸ trÞ thùc ®−îc nghiªn cøu bëi Urbanik vμ Woyczynski [42].
Sù më réng cho tr−êng hîp v« h¹n chiÒu ®−îc thùc hiÖn bëi Hoffman-Jorgensen [16], Okazaki [25], Rosinski [27]. Mét h−íng më réng kh¸c cña tÝch ph©n Wiener ®−îc §.Th¾ng ®Ò cËp trong [36, 41]: §ã lμ xÐt tÝch ph©n cña c¸c hμm tÊt ®Þnh thùc ®èi víi c¸c ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss vμ ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Wiener v« h¹n chiÒu. Ch−¬ng 1 cña luËn ¸n cã tiªu ®Ò "§é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss vμ tÝch ph©n ngÉu nhiªn Wiener v« h¹n chiÒu". Ch−¬ng nμy sÏ tr×nh bμy mét c¸ch tãm l−îc nhÊt ®Ó lμm quen víi ®Þnh nghÜa, c¸c kÕt qu¶ c¬ b¶n vÒ ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn, ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss ®èi xøng víi gi¸ trÞ trong kh«ng gian Banach v« h¹n chiÒu vμ tÝch ph©n cña hμm tÊt ®Þnh thùc ®èi víi chóng, trong ®ã tËp trung vμo c¸c tÝnh chÊt c¸c ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss ®èi xøng.
C¸c kÕt qu¶ nμy sÏ ®−îc sö dông ®Õn ë ch−¬ng 2. Nhu cÇu cña to¸n häc còng nh− thùc tiÔn ®ßi hái ph¶i thùc hiÖn qu¸ tr×nh lÊy tÝch ph©n kh«ng chØ cho c¸c hμm tÊt ®Þnh mμ c¶ cho c¸c hμm ngÉu nhiªn. N¨m 1942 nhμ to¸n häc Ito [18] ®· x©y dùng qu¸ tr×nh tÝch ph©n cho mét hμm ngÉu nhiªn phï hîp ®èi víi chuyÓn ®éng Brown. TÝch ph©n nμy ®−îc gäi lμ tÝch ph©n ngÉu nhiªn Ito.
TÝch ph©n Ito vμ c«ng thøc Ito ®ãng mét vai trß ®Æc biÖt quan träng trong gi¶i tÝch ngÉu nhiªn t−¬ng tù nh− tÝch ph©n Riemann vμ c«ng thøc Newton-Leibniz trong gi¶i tÝch cæ ®iÓn. Gi¶i tÝch cæ ®iÓn nghiªn cøu vi tÝch ph©n trong kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu, gi¶i tÝch ngÉu nhiªn nghiªn 6 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com cøu phÐp tÝnh vi tÝch ph©n ngÉu nhiªn. Sù kh¸c nhau c¬ b¶n gi÷a gi¶i tÝch cæ ®iÓn vμ gi¶i tÝch ngÉu nhiªn thùc chÊt n»m ë sù kh¸c nhau cña c«ng thøc ®¹o hμm hμm sè hîp, trong m«i tr−êng ngÉu nhiªn c«ng thøc nμy mang tªn Ito. Vi tÝch ph©n ngÉu nhiªn Ito ngμy cμng ®ãng vai trß quan träng, m« t¶ ngμy cμng ®óng vμ s¸t nhiÒu m« h×nh trong thùc tÕ vμ cã nhiÒu øng dông thiÕt thùc.
Mét trong nh÷ng øng dông ®¸ng chó ý cña nã gÇn ®©y cã thÓ kÓ ®Õn ®ã lμ nã trë thμnh c«ng cô quan träng trong nghiªn cøu to¸n tμi chÝnh (xem [15, 31] vμ c¸c th− môc ë ®ã), vÝ dô nh− viÖc ®Þnh nghÜa vμ nghiªn cøu c¸c m« h×nh Black-Scholes, Merton, Hull and White,. Cã nhiÒu h−íng nghiªn cøu më réng tÝch ph©n Ito. Mét sè t¸c gi¶ muèn x©y dùng lo¹i tÝch ph©n ngÉu nhiªn mμ kh«ng cÇn gi¶ thiÕt phï hîp, nh− tÝch ph©n Ogawa, tÝch ph©n Stratonovich, tÝch ph©n Skorokhod (xem [3, 24, 29] vμ c¸c th− môc ë ®ã). Mét h−íng më réng kh¸c lμ x©y dùng tÝch ph©n cña hμm ngÉu nhiªn ®èi víi c¸c qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn tæng qu¸t h¬n.
Ch¼ng h¹n lý thuyÕt vÒ tÝch ph©n ngÉu nhiªn cña c¸c hμm ngÉu nhiªn kh¶ ®o¸n ®èi víi mét semimartingale ®· ®−îc nhiÒu t¸c gi¶ ë Mü vμ Ph¸p quan t©m (xem [5, 20] vμ c¸c th− môc ë ®ã); lý thuyÕt vÒ tÝch ph©n ngÉu nhiªn ®èi víi c¸c qu¸ tr×nh Brown ph©n thø ®−îc mét sè t¸c gi¶ quan t©m v× nh÷ng dông míi cña nã trong to¸n tμi chÝnh (xem [31]). Ch−¬ng 2 cã tiªu ®Ò "TÝch ph©n ngÉu nhiªn Ito v« h¹n chiÒu vμ c«ng thøc Ito". Ch−¬ng nμy dμnh cho viÖc x©y dùng tÝch ph©n Ito cña hμm ngÉu nhiªn gi¸ trÞ to¸n tö ®èi víi ®é ®o vÐc t¬ ngÉu nhiªn Gauss, x©y dùng mét qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn v« h¹n chiÒu Xt, kiÓu Ito rÊt tæng qu¸t vμ thiÕt lËp c«ng thøc Ito t−¬ng øng. Gi¶ sö X, Y lμ c¸c kh«ng gian Banach.
Cho tr−íc Z lμ ®é ®o ngÉu nhiªn Gauss ®èi xøng X-gi¸ trÞ víi ®é ®o covariance Q (®−îc ®Þnh nghÜa bëi §.Th¾ng trong [41]). Chóng t«i ®Þnh nghÜa qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn Xt Y -gi¸ 7 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com trÞ cã d¹ng t t t Xt = X0 + a(s, ω) ds+ b(s, ω)·dQs + c(s, ω)·dZs, (0 ≤ t ≤ T ) 0 0 0 vμ gäi ®ã lμ qu¸ tr×nh Ito Y -gi¸ trÞ ®èi víi ®é ®o ngÉu nhiªn Z. §Ó ®Þnh nghÜa ®−îc qu¸ tr×nh nμy chóng t«i ®· ph¶i x©y dùng kh¸i niÖm tÝch ph©n ngÉu nhiªn cña mét hμm ngÉu nhiªn L(X, Y )-gi¸ trÞ ®èi víi ®é ®o Z. KÕt qu¶ quan träng trong ch−¬ng nμy lμ viÖc chøng minh c«ng thøc Ito v« h¹n chiÒu (§Þnh lý 2.
§Ó chuÈn bÞ cho viÖc thiÕt lËp c«ng thøc nμy, luËn ¸n ®· sö dông c«ng cô tÝch tensor ®Ó lμm râ t¸c ®éng cña mét to¸n tö song tuyÕn tÝnh lªn mét to¸n tö h¹ch vμ nghiªn cøu biÕn ph©n toμn ph−¬ng cña ®é ®o Z. C«ng thøc biÕn ph©n toμn ph−¬ng nμy viÕt mét c¸ch h×nh thøc cã d¹ng dZ = dQ. dZ ⊗ Trong tr−êng hîp Z lμ ®é ®o Wiener X-gi¸ trÞ vμ c¸c kh«ng gian X, Y lμ h÷u h¹n chiÒu ta thu ®−îc c«ng thøc Ito h÷u h¹n chiÒu (HÖ qu¶ 2. Chó ý r»ng c«ng thøc nμy còng lμ míi v× cho tíi nay ng−êi ta míi xÐt tr−êng hîp c«ng thøc Ito h÷u h¹n chiÒu víi qu¸ tr×nh Wiener nhiÒu chiÒu víi c¸c thμnh phÇn ®éc lËp (tøc lμ víi ®é ®o ngÉu nhiªn Wiener víi ®é ®o covariance Q d¹ng dQ = R dt, trong ®ã R lμ ma trËn ®¬n vÞ).
Trong gi¶i tÝch cæ ®iÓn (kh«ng ngÉu nhiªn) ta ®· biÕt tÝch ph©n lμ mét lo¹i to¸n tö tuyÕn tÝnh ®Æc biÖt vμ rÊt quan träng. Lý thuyÕt to¸n tö tuyÕn tÝnh (tÊt ®Þnh) ®· ®−îc ph¸t triÓn thμnh mét lý thuyÕt ®å sé trong gi¶i tÝch hμm vμ ®· ®−îc ¸p dông rÊt hiÖu qu¶ ®Ó nghiªn cøu trong lý thuyÕt ph−¬ng tr×nh vi ph©n vμ ph−¬ng tr×nh ®¹o hμm riªng. T−¬ng tù nh− vËy, tÝch ph©n ngÉu nhiªn lμ mét lo¹i to¸n tö ngÉu nhiªn ®Æc biÖt vμ rÊt quan träng. Mét to¸n tö ngÉu nhiªn A tõ X vμo Y lμ mét phÐp t−¬ng øng mçi x ∈ X mét biÕn ngÉu nhiªn Ax nhËn gi¸ trÞ trong Y.
PhÐp t−¬ng øng nμy tho¶ m·n ®iÒu kiÖn tuyÕn tÝnh vμ liªn tôc theo mét nghÜa x¸c suÊt nμo ®ã. Nh− vËy kh¸i niÖm to¸n tö ngÉu 8 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.
Nội dung được bảo vệ bản quyền — Tải xuống đầy đủ
Trích dẫn luận án này
Luận án tiến sĩ tích phân ngẫu nhiên ito và toán tử ngẫu nhi (n.d.) [Luận án tiến sĩ]. LuanAn.net. https://luanan.net/toan-hoc/62-46-15-01002
Câu hỏi thường gặp
Luận án "Luận án tiến sĩ tích phân ngẫu nhiên ito và toán tử ngẫu nhi" nghiên cứu về vấn đề gì?
Luận án TS: Tích phân ngẫu nhiên Ito và toán tử ngẫu nhiên - Nền tảng lý thuyết, ứng dụng trong tài chính, mô hình hóa.
Luận án "Luận án tiến sĩ tích phân ngẫu nhiên ito và toán tử ngẫu nhi" thuộc chuyên ngành gì?
Luận án "Luận án tiến sĩ tích phân ngẫu nhiên ito và toán tử ngẫu nhi" thuộc chuyên ngành Giải tích ngẫu nhiên / Toán học. Danh mục: Toán Học.
Luận án "Luận án tiến sĩ tích phân ngẫu nhiên ito và toán tử ngẫu nhi" có bao nhiêu trang?
Luận án "Luận án tiến sĩ tích phân ngẫu nhiên ito và toán tử ngẫu nhi" có 102 trang. Bạn có thể xem trước một phần tài liệu ngay trên trang web trước khi tải về.
Cách tải luận án "Luận án tiến sĩ tích phân ngẫu nhiên ito và toán tử ngẫu nhi" về máy như thế nào?
Để tải luận án về máy, bạn nhấn nút "Tải xuống ngay" trên trang này, sau đó hoàn tất thanh toán phí lưu trữ. File sẽ được tải xuống ngay sau khi thanh toán thành công. Hỗ trợ qua Zalo: 0559 297 239.