Luận án tiến sĩ toán tử squaring trong nghiên cứu đối đồng điều của đại số steen

Mục lục Lời cam đoan 3 Lời cảm ơn 4 Mở đầu 6 I Kiến thức chuẩn bị 16 I.1 Đại số Steenrod môđulô 2 .1 Xây dựng các toán tử Steenrod .2 Đại số Steenrod là một đại số Hopf .2 Lý thuyết bất biến và đối bất biến .3 Các toán tử squaring .1 Toán tử squaring cổ điển .2 Toán tử squaring Kameko .3 Toán tử squaring trên đối ngẫu của đại số Dickson. 24 II Nghiên cứu bước đầu về đồng cấu chuyển Singer hạng 5 27 II.1 Đồng cấu chuyển đại số .2 Một hệ sinh của A-môđun P5 tại bậc 11 .3 Các GL5 -bất biến .4 Chứng minh Định lý II.5 Kết luận Chương II. 46 III Toán tử squaring trên đối ngẫu của đại số Dickson và Đồng cấu Lannes - Zarati 47 1 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.2 Biểu diễn ở mức độ dây chuyền của toán tử squaring đối ngẫu theo các bất biến Dickson .3 Toán tử squaring là một đẳng cấu trên ảnh của nó .4 Bậc triệt tiêu của toán tử squaring .5 Bậc triệt tiêu của toán tử squaring tại những hạng nhỏ .6 Ưng dụng để khảo sát đồng cấu Lannes-Zarati .7 Kết luận Chương III. 74 Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo 74 Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận án 75 Tài liệu tham khảo 76 2 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Bảng một số ký hiệu F2 Trường với 2 phần tử Sn Mặt cầu n-chiều Vs Nhóm 2-abel sơ cấp hạng s BVs Không gian phân loại của nhóm Vs GLs := GL(Vs ) Nhóm tuyến tính tổng quát của Vs , đẳng cấu với nhóm các s × s-ma trận khả nghịch trên trường F2 RP∞ Không gian xạ ảnh thực vô hạn chiều H∗ (X) Đồng điều của không gian tôpô X với hệ số F2 H ∗ (X) Đối đồng điều của không gian tôpô X với hệ số F2 A Đại số Steenrod (môđulô 2) Ext∗A (F2 , F2 ) Đối đồng điều của đại số Steenrod (môđulô 2) TorA ∗ (F2 , F2 ) Đồng điều của đại số Steenrod (môđulô 2) π∗S (S0) Nhóm đồng luân ổn định của S0 5 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mở đầu Phân loại đồng luân các ánh xạ liên tục giữa hai mặt cầu (có thể có số chiều khác nhau) là bài toán trung tâm của Tôpô đại số kể từ năm 1930, khi H.

Hopf [70, 71] tìm ra các ánh xạ không tầm thường, ngày nay mang tên ông: S3 → S2 , S7 → S4 , S15 → S8. Các ánh xạ Hopf này quan hệ mật thiết với cấu trúc đại số trên trường số thực có phép chia của trường số phức, thể quaternion, và đại số Cayley. Một trong những công cụ cơ bản để nghiên cứu bài toán phân loại đồng luân là các toán tử Steenrod, được ký hiệu là Sq i : H ∗ (X; F2 ) → H ∗+i (X; F2 ), với i ≥ 0, tác động tự nhiên trên đối đồng điều của không gian tôpô X với hệ số F2. Các toán tử Sq i được Steenrod [51] xây dựng năm 1947.

Đến năm 1952, ông [52] mở rộng kết quả này cho đối đồng điều hệ số trong Fp với p là một số nguyên tố lẻ. Các toán tử Steenrod cho phép nhận biết sự khác nhau của các không gian mà cấu trúc vành đối đồng điều không thể nhìn thấy. Lược sử việc phát hiện ra các toán tử này được tóm tắt như sau. Bằng cách dùng đồng điều, người ta đã phân loại được các đa tạp 2 chiều, compact, liên thông, định hướng được.

Cụ thể, mọi đa tạp như thế đều đồng phôi với một xuyến với g "lỗ" M g , hay mặt cầu được gắn g "quai", với g ≥ 0 nào đó. Trong thập niên 1940, Pontrjagin viết một số bài báo đưa ra khẳng định tương tự cho những đa tạp 3 chiều, compact, liên thông, định hướng được. Nhưng sau đó, người ta tìm thấy các phản ví dụ cho điều này: tồn tại những đa tạp ba chiều như thế có cùng vành đối đồng điều nhưng không đồng phôi với nhau. Steenrod phát hiện rằng nguyên nhân của sự kiện đó là có những toán tử Sq i thực hiện việc kết nối các phần tử đối đồng điều của những đa tạp đã cho theo những cách khác nhau.

Đại số sinh bởi các Sq i (i ≥ 0) với phép cộng và phép hợp thành các toán tử 6 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com thông thường được gọi là đại số Steenrod (môđulô 2), và được ký hiệu là A. Cấu trúc của đại số này, sau đó, được làm sáng tỏ hơn bởi Adem [4], Cartan [63], Serre [69], và Milnor [38]. Cụ thể, đại số Steerod (môđulô 2) là đại số tenxơ trên các Sq i môđulô các quan hệ Adem [4]: [2]  a  X b−1−k a b Sq Sq = Sq a+b−k Sq k , (với 0 < a < 2b). a − 2k k=0 Tác động của các toán tử Steenrod lên tích đối đồng điều thỏa mãn công thức Cartan [63]: X k k Sq (xy) = Sq i(x)Sq k−i (y).

i=0 Trong [69], trên cơ sở nghiên cứu bài toán xác định đối đồng điều môđulô 2 của các không gian Eilenberg-Mac Lane, Serre chỉ ra rằng đại số Steenrod là đại số của tất cả các toán tử đối đồng điều ổn định (theo nghĩa "giao hoán với phép treo") trên phạm trù các không gian tôpô. Trong [38], Milnor thu được những kết quả đẹp và bất ngờ về đại số Steenrod khi khảo sát nó như một đại số Hopf. Nói riêng, ông chứng minh rằng đối ngẫu của đại số Steenrod là một đại số đa thức với những phần tử sinh được xác định tường minh. Adams đã xây dựng trong [1] một dãy phổ, sau này mang tên ông, với trang E2 là đối đồng điều của đại số Steenrod Ext∗A (F2 , F2 ) và hội tụ đến thành phần 2-xoắn của nhóm đồng luân ổn định của mặt cầu π∗S (S0).

Kể từ sau công trình đó, việc xác định Ext∗A (F2 , F2 ) trở thành một trong các bài toán quan trọng hàng đầu của lý thuyết đồng luân ổn định. Tuy nhiên, cho đến nay, nó vẫn còn là một đối tượng khó hiểu. Bài toán xác định ExtsA (F2 , F2 ) vẫn còn mở đối với s ≥ 5. Nhằm nghiên cứu ExtsA (F2 , F2 ) thông qua lý thuyết bất biến, Singer xây dựng trong [48] đồng cấu chuyển T rs : F2 ⊗ P H∗ (BVs ) −→ Exts,s+∗ A (F2 , F2 ), GLs trong đó BVs là không gian phân loại của nhóm 2-abel sơ cấp hạng s, và P H∗ (BVs ) là không gian con của H∗ (BVs) gồm tất cả các phần tử bị triệt tiêu bởi mọi toán tử Steenrod bậc dương.

Ông chỉ ra rằng T rs là một đồng cấu rất thực chất (không tầm thường). 7 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Nói riêng, T rs là một đẳng cấu với s = 1, 2 và T r := ⊕s T rs là một đồng cấu đại số. Năm 1991, Boardman [6] khẳng định thêm giá trị của đồng cấu chuyển khi chứng minh T r3 cũng là một đẳng cấu. Từ đó, đồng cấu chuyển đại số T r được kỳ vọng là một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu đối đồng điều của đại số Steenrod.

Đặc biệt, Singer đưa ra giả thuyết sau đây. Singer [48, Giả thuyết 1.1]) Đồng cấu chuyển T rs : F2 ⊗ P H∗ (BVs ) −→ Exts,s+∗ A (F2 , F2 ) GLs là một đơn cấu với mọi s ≥ 0. Đồng cấu T rs được xây dựng trong [48] hoàn toàn bằng công cụ đại số. Tuy nhiên, nó được chỉ ra là ánh xạ cảm sinh bởi đồng cấu chuyển hình học trs : π∗ ((BVs )+ ) → π∗ (S0) trên trang E2 của dãy phổ Adams (xem Kahn-Priddy [30], Mitchell [40], Singer [48]).

Đối ngẫu của P H∗ (BVs ) là F2 ⊗Ps , trong đó Ps là đại số đa thức trên s biến, mỗi biến A có bậc bằng 1. Bài toán xác định một cơ sở cho không gian véctơ phân bậc F2 ⊗Ps (hay A là xác định một hệ sinh tối thiểu của Ps xem như một A-môđun) chính là nội dung bài toán "hit" đã thu hút nhiều nhà nghiên cứu Tôpô đại số (Peterson [43], Singer [47, 48], Wood [60], Priddy [45], Kameko [31], Alghamdi-Crabb-Hubbuck [5], N. Liulevicius có lẽ là người đầu tiên chỉ ra rằng tồn tại các toán tử s+i,2(s+d) Sq i : Exts,s+d A (F2 , F2 ) → ExtA (F2 , F2 ) trên đối đồng điều của đại số Steenrod có hầu hết các tính chất của toán tử Steenrod tác động trên đối đồng điều của không gian tôpô s,2(s+d) (xem [35]). Tuy nhiên, điểm khác biệt là Sq 0 : Exts,s+d A (F2 , F2 ) −→ ExtA (F2 , F2 ) không là ánh xạ đồng nhất.

Ngày nay, nó được gọi là toán tử squaring cổ điển. Trong khi giải bài toán "hit" với s ≤ 3, Kameko [31] xây dựng toán tử Sq 0 : (F2 ⊗ P H∗ (BVs ))d −→ (F2 ⊗ P H∗ (BVs ))2d+s GLs GLs trên miền xác định của đồng cấu chuyển như là một dạng tương tự của toán tử squaring cổ điển. Thật ra, trong công trình nói trên, Kameko không ký hiệu toán tử này là Sq 0, ông cũng không nhận ra mối quan hệ của nó với toán tử squaring cổ điển. Boardman [6] và Minami [39] sau đó chỉ ra rằng toán tử nói trên, sau này được gọi là toán tử squar- 8 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ing Kameko, giao hoán với toán tử Sq 0 trên Exts,s+∗ A (F2 , F2 ) qua đồng cấu chuyển đại số T rs : Exts,s+∗ A (F2 , F2 ) → F2 ⊗ P H∗ (BVs ).

GLs Nhóm tuyến tính tổng quát GLs tác động chính qui trên Vs , và do đó, trên H ∗ (BVs ) cũng như trên H∗ (BVs ). Hơn nữa, các tác động của A và của GLs trên H∗ (BVs ) giao hoán với nhau. Do đó, tác động chính qui của A trên H∗ (BVs ) cảm sinh một tác động của A trên F2 ⊗ H∗ (BVs ). Nhận xét rằng F2 ⊗ H∗ (BVs ) là đối ngẫu của đại số Dickson [14] gồm GLs GLs tất cả các phần tử của H ∗ (BVs ) bất biến dưới tác động của GLs.

Hưng phát hiện ra rằng tồn tại một toán tử, cũng được gọi là squaring, Sq 0 : P (F2 ⊗ H∗ (BVs ))d −→ P (F2 ⊗ H∗ (BVs ))2d+s , GLs GLs là một dạng tương tự của toán tử squaring cổ điển, và tương thích với toán tử squar- ing Kameko. GLs Để hiểu ý nghĩa của công trình này của N. Hưng, chúng tôi nói qua vài nét về Giả thuyết cổ điển về lớp cầu và Đồng cấu Lannes - Zarati. Lấy Q0S0 là thành phần chứa điểm gốc của QS0 = limn Ωn Sn .