Tính ổn định của hệ động lực tuyến tính suy biến có trễ luận án tiến sĩ

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN HỮU SÁU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH SUY BIẾN CÓ TRỄ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2017 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN HỮU SÁU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ ĐỘNG LỰC TUYẾN TÍNH SUY BIẾN CÓ TRỄ Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: 1. TRỊNH TUÂN HÀ NỘI - 2017 TÓM TẮT Luận án nghiên cứu tính ổn định mũ và tính ổn định hóa được dạng mũ cho một số lớp hệ phương trình suy biến tuyến tính có trễ trong cả hai trường hợp hệ liên tục và rời rạc. Luận án gồm ba chương. Chương 1 Chúng tôi giới thiệu một số kiến thức cơ sở về bài toán ổn định, bài toán ổn định hóa cho hệ phương trình có trễ trong hai trường hợp hệ liên tục và rời rạc.

Ngoài ra, chúng tôi trình bày lại một số bổ đề kỹ thuật bổ trợ được sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận án ở các chương tiếp theo. Chương 2 Trong chương hai chúng tôi đưa ra điều kiện cần và đủ đảm bảo hệ phương trình vi phân suy biến có trễ là hệ dương, tiếp đến dựa vào tính chất dương của hệ chúng tôi đưa ra các điều kiện đủ đảm bảo tính ổn định mũ của hệ. Bằng cách sử dụng hàm điều khiển ngược có nhớ (memory state feedback control), chúng tôi đưa ra các tiêu chuẩn đảm bảo cho tính ổn định hóa được dạng mũ của hệ suy biến dương có trễ tương ứng. Các điều kiện được đưa ra dưới dạng bài toán quy hoạch tuyến tính qua đó có thể giải số bằng máy tính.

Chương 3 Trong chương này, hệ rời rạc suy biến được nghiên cứu: chúng tôi đưa ra các điều kiện cần và đủ đảm bảo tính chất dương của hệ rời rạc suy biến với trễ biến thiên, đồng thời chúng tôi cũng chứng minh điều kiện cần và đủ cho bài toán ổn định hệ rời rạc suy biến dương có trễ biến thiên tương ứng. Sử dụng hàm điều khiển ngược chúng tôi đưa ra một số điều kiện đủ cho bài toán ổn định hóa hệ rời rạc suy biến dương có trễ, các điều kiện được biểu diễn dưới dạng bài toán quy hoạch tuyến tính. i ABSTRACT This thesis deals with the problem of stability and stabilization for linear singular positive systems with delay. The thesis consists of three chapters.

Chapter 1 In this chapter, we present problem statement of stability, stabilization for functional differential equations with delay. Some technical propositions are presented for the proof of the main results in Chapter 2 and Chapter 3. Chapter 2 We present a necessary and sufficient condition for positivity of linear singu- lar continuous-time systems with delay. Moreover, we establish some sufficient conditions for exponential stability.

By using memory state feedback control, we derive some criteria for exponential stabilization of linear singular positive continuous-time systems with delay. The conditions are presented in terms of linear programming problem. Chapter 3 We first present a necessary and sufficient condition for positivity of linear singular discrete-time systems with time-varying delay, and then we establish necessary and sufficient conditions for exponential stability of such systems. Moreover, we solve the exponential stabilization problem for the systems by using memoryless state feedback control.

The conditions are presented in terms of linear programming problem. ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS. Vũ Ngọc Phát và PGS. Các kết quả viết chung với tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả khi đưa vào luận án.

Các kết quả trong luận án là những kết quả mới và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác. Tác giả luận án Nguyễn Hữu Sáu iii LỜI CẢM ƠN Luận án Tiến sĩ này được thực hiện tại Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. Vũ Ngọc Phát và PGS.TS Trịnh Tuân. Tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.

Vũ Ngọc Phát người thầy đã tận tình hướng dẫn tôi từ khi tôi làm luận văn thạc sĩ và bây giờ là luận án tiến sĩ. Trong những năm tháng nghiên cứu và hoàn thành luận án tiến sĩ dưới sự hướng dẫn của thầy, tôi nhận ra rằng niềm đam mê nghiên cứu khoa học trong thầy, cùng sự quan tâm, chỉ bảo tận tình của thầy đã thôi thúc tôi cần cố gắng nhiều hơn nữa để hoàn thiện bản thân. Tôi xin chân thành cảm ơn thầy PGS. Trịnh Tuân đã nhiệt tình giúp đỡ tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới các thầy, các cô trong phòng Tối ưu và Điều khiển đã ân cần chỉ bảo, dạy dỗ tôi từ khi tôi còn học Cao học cho tới khi tôi làm nghiên cứu sinh tại Phòng. Đồng thời, tôi cũng chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp, các nghiên cứu sinh và các thành viên trong Xêmina Tối ưu và Điều khiển tại Viện Toán học đã quan tâm, trao đổi, góp ý cho tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận án. Trong quá trình học tập và nghiên cứu, tôi đã nhận được nhiều sự giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi từ Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Khoa học cơ bản, Trường Đại học Điện lực. Tôi xin trân trọng cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy cô.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Viện Toán học, Trung tâm Đào tạo sau đại học cùng toàn thể cán bộ viên chức Viện Toán học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án. Đặc biệt, tôi thực sự thấy hạnh phúc và tự hào khi họ luôn bên tôi, chia sẻ và động viên, là động lực để tôi cố gắng và hoàn thành luận án đó là bố, mẹ, vợ và các con tôi. Tác giả Nguyễn Hữu Sáu iv Mục lục Mở đầu. Cơ sở toán học.

Bài toán ổn định và ổn định hóa hệ phương trình có trễ. Bài toán ổn định. Bài toán ổn định hóa. Bài toán ổn định hệ rời rạc.

Bài toán ổn định hóa hệ rời rạc. Hệ suy biến tuyến tính. Hệ suy biến. Công thức nghiệm của phương trình vi phân suy biến có trễ.

Công thức nghiệm của phương trình rời rạc suy biến có trễ. Một số bổ đề bổ trợ. Tính ổn định và ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân suy biến dương có trễ. Tiêu chuẩn ổn định của hệ phương trình vi phân suy biến dương có trễ.

Tiêu chuẩn ổn định hóa của hệ phương trình vi phân suy biến dương có trễ. Kết luận Chương 2. Tính ổn định và ổn định hóa cho hệ phương trình rời rạc suy biến dương có trễ. Tiêu chuẩn ổn định của hệ rời rạc suy biến dương có trễ biến thiên 48 3.

Tiêu chuẩn ổn định hóa của hệ rời rạc suy biến dương có trễ. Kết luận Chương 3. 74 v Kết luận của luận án. 75 Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận án.

76 Tài liệu tham khảo. 77 vi DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU C là tập các số phức R là tập các số thực N là tập các số tự nhiên Rn không gian Euclide n chiều Rn0,+ = {x = (x1 , x2 ,. , xn ) ∈ Rn : xi ≥ 0, ∀i = 1, n} Rn+ = {x = (x1 , x2 ,. , xn ) ∈ Rn : xi > 0, ∀i = 1, n} Rn×r không gian các ma trận thực kích thước n × r Ir ma trận đơn vị kích thước r × r λ(A) tập các giá trị riêng của ma trận A λmax (A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)} λmin (A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)}   A 0 0 diag(A, B, C) ma trận chéo khối  0 B 0    0 0 C A = [aij ]m×n ma trận có các phần tử là aij , i = 1, m, j = 1, n A Hurwitz ma trận vuông, mọi giá trị riêng của ma trận A có phần thực là âm A Monomial ma trận vuông, trên mỗi hàng và mỗi cột của ma trận A chỉ có một số dương duy nhất A Metzler A = [aij ]n×n với aij ≥ 0, ∀ i 6= j; i, j = 1, n.

(A)(ij) phần tử nằm ở hàng i và cột j của ma trận A (A)T(i) véc tơ hàng thứ i của ma trận A vii A≥0 ma trận A nửa xác định dương, tức là xT Ax ≥ 0, ∀x ∈ Rn A>0 ma trận A xác định dương, tức là xT Ax > 0, ∀x ∈ Rn \ {0} A0 ma trận không âm tức là aij ≥ 0, ∀i = 1, m, ∀j = 1, n A0 ma trận dương tức là aij ≥ 0 với mọi i, j và A 6= 0 A0 ma trận dương chặt tức là aij > 0 với mọi i, j deg[f (s)] bậc của đa thức f (s) rank(A) hạng của ma trận A n X T n T x y tích vô hướng của hai véc tơ x, y ∈ R , x y = xi yi i=1 C([a, b], Rn ) không gian các hàm liên tục trên [a, b] nhận giá trị trong Rn C 1 ([a, b], Rn ) không gian các hàm khả vi liên tục trên [a, b] nhận giá trị trong Rn L2 ([0, +∞), Rm ) không gian các hàm bình phương khả tích trên [0, +∞) nhận giá trị trong Rm viii Mở đầu Lý thuyết ổn định các hệ phương trình vi phân là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng, có nhiều ứng dụng trong thực tế, kĩ thuật. Các công trình nghiên cứu về lý thuyết ổn định được bắt đầu từ những năm cuối thế kỉ XIX bởi nhà toán học người Nga A. Lyapunov, công bố và bảo vệ thành công luận án tiến sĩ có nhan đề "Bài toán tổng quát về tính ổn định của chuyển động". Trong công trình của mình A.

Lyapunov đã nghiên cứu và tìm ra khái niệm tổng quát về tính ổn định của chuyển động, mà sau này nó đã trở thành nền móng quan trọng cho việc phân tích các hệ động lực trong toán học, cơ học, sinh thái học, kinh tế học, điều khiển tự động (xem [19, 25, 55]).