Luận án tiến sĩ toán học: Quan hệ hệ số Hilbert và môđun Cohen-Macaulay

VI N HÀN LÂM KHOA H C VÀ CỌNG NGH VI T NAM VI N TOÁN H C -----oOo----- Nguy n Tu n Long QUAN H GI A H S HILBERT HI U CH NH VÀ MỌ UN COHEN-MACAULAY SUY R NG DÃY LU N ÁN TI N S TOÁN H C HÀN I-2016 VI N HÀN LÂM KHOA H C VÀ CỌNG NGH VI T NAM VI N TOÁN H C -----oOo----- Nguy n Tu n Long QUAN H GI A H S HILBERT HI U CH NH VÀ MỌ UN COHEN-MACAULAY SUY R NG DÃY Chuyên ngành: i s và lý thuy t s Mư s : 62. 04 LU N ÁN TI N S TOÁN H C T P TH H NG D N KHOA H C: 1. Lê Th Thanh Nhàn HÀN I-2016 Tóm tắt Cho (R, m) là một vành Noether địa phương và M là một R-môđun hữu hạn sinh chiều d. ⊃ Dt = Hm0 (M) là lọc chiều của M.

Một iđêan tham số q của M được gọi là iđêan tham số tách biệt của M nếu tồn tại một hệ tham số x1 , ., xd sao cho q = (x1 , ., xd ) và (xdim Di +1 , ., xd )Di = 0 với mọi i = 1,. Môđun M được gọi là Cohen-Macaulay suy rộng dãy nếu Di /Di+1 là môđun Cohen- Macaulay suy rộng với mọi i = 0,. Chú ý rằng với mỗi iđêan tham số q của M, d ! X n + d − i tồn tại các số nguyên ei (q; M) sao cho ℓ(M/qn+1 M) = (−1)i ei (q; M) i=0 d−i với mọi n ≫ 0. Các số nguyên ei (q; M) được gọi là hệ số Hilbert của M đối với q.

d ! X n + i Chúng tôi xét hiệu Hq,M ad (n) = ℓ(M/qn+1 M) − adegi (q; M) như một hàm i=0 i số biến n, được gọi là hàm hiệu chỉnh Hilbert-Samuel của M đối với q, trong đó adegi (q; M) là bậc số học thứ i của M đối với q. Với n ≫ 0, hàm Hq,M ad (n) là một đa thức Padq,M (n), được gọi là đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel của M đối với q. Mục tiêu của luận án là nghiên cứu các hệ số Hilbert của M, từ đó đặc trưng cấu trúc của môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy. Luận án được chia làm bốn chương.

Trong Chương 1, chúng tôi nhắc lại những khái niệm và tính chất cần thiết. Trong Chương 2, chúng tôi đưa ra một chặn đều cho chỉ số chính quy Castelnouvo- Mumford của môđun phân bậc liên kết đối với các iđêan tham số tách biệt của môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy. Trong Chương 3, chúng tôi chứng minh rằng nếu q là một iđêan tham số tách biệt của M thì tồn tại số nguyên n0 sao cho Hq,M ad (n) ≥ 0 với mọi n ≥ n0. Hơn nữa, nếu M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy thì có thể chọn n0 độc lập với cách chọn q.

Chương 4 được dành riêng để chứng minh kết quả chính sau đây của luận án: Giả sử R là ảnh đồng cấu của một vành Cohen-Macaulay địa phương. Khi đó, môđun M là Cohen-Macaulay suy rộng dãy khi và chỉ khi tập PD (M) các đa thức Padq,M (n), trong đó q chạy trên tập các iđêan tham số tách biệt của M, là hữu hạn. Abstract Let (R, m) be a Noetherian local ring and M a finitely generated R-module of di- mension d. ⊃ Dt = Hm0 (M) be the dimension fil- tration of M.

A parameter ideal q of M is called a distinguished parameter ideal of M if there is a system of parameters x1 , ., xd such that q = (x1 , ., xd ) and (xdim Di +1 , ., xd )Di = 0 for all i = 1,. The module M is called sequentially generalized Cohen-Macaulay if Di /Di+1 is a generalized Cohen-Macaulay module for all i = 0,. It is well known that for each parameter ideal q of M, there d ! X i n+d−i exists integers ei (q; M) such that ℓ(M/q M) =n+1 (−1) ei (q; M) for all i=0 d − i n ≫ 0. These integers ei (q; M) are called Hilbert coefficients of M with respect to q.

d ! n+1 X n+i We consider Hq,M (n) = ℓ(M/q M) − ad adegi (q; M) , a function in n, called i=0 i an adjusted Hilbert-Samuel function of M with respect to q, where adegi (q; M) is the i-th arithmetic degree of M with respect to q. For n ≫ 0, the function Hq,M ad (n) becomes a polynomial Pq,M (n), called an adjusted Hilbert-Samuel polynomial of M ad with respect to q. The aim of this thesis is studying the Hilbert coefficients of M, from this we give a characterization of sequentially generalized Cohen-Macaulay modules. The thesis is divided into four chapters.

Chapter 1 presents some preliminary notions and results. In Chapter 2, we establish an uniform bound for the Castelnouvo-Mumford reg- ularity of the associated graded modules with respect to distinguished parameter ideals of a sequentially generalized Cohen-Macaulay module. In Chapter 3, we prove that if q is a distinguished parameter ideal of M then there exists an integer n0 such that Hq,M ad (n) ≥ 0 for all n ≥ n0. Moreover, if M is sequentially generalized Cohen-Macaulay, then n0 could be choosen to be indepen- dent from the choice of q.

Chapter 4 is devoted to the proof of the following main result of the thesis: Assume that R is a homomorphic image of a Cohen-Macaulay local ring. Then, the module M is sequentially generalized Cohen-Macaulay if and only if the set PD (M) of polynomials Pad q,M (n), where q runs over the set of all distinguished parameter ideals of M, is finite. Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Những kết quả viết chung với các tác giả khác đã được các đồng tác giả cho phép khi đưa vào luận án.

Các kết quả của luận án là mới và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả Nguyễn Tuấn Long Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy, GS. Nguyễn Tự Cường. Thầy đã dạy tôi những bài học đầu tiên về Đại số giao hoán, hướng dẫn tôi từ khi học thạc sĩ cho tới nghiên cứu sinh.

Luận án này không thể hoàn thành nếu không có sự hướng dẫn kiên trì, tận tâm của Thầy. Đối với tôi, Thầy như người cha, luôn kiên trì, mong mỏi đứa con trưởng thành trong khoa học cũng như trong cuộc sống. Một lần nữa, tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Thầy và gia đình. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Cô, GS.

Lê Thị Thanh Nhàn. Cô là người đã chỉ bảo tôi những kiến thức vỡ lòng từ khi còn là sinh viên đại học cho đến khi học nghiên cứu sinh. Cô là người chỉ đường, dẫn dắt từng bước cho thế hệ trẻ trên con đường nghiên cứu khoa học trong đó có tôi. Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.

Nguyễn Tự Cường và GS. Lê Thị Thanh Nhàn. Một lần nữa, tôi xin gửi lời cảm ơn đến Thầy và Cô. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến GS.

Lê Tuấn Hoa, đã đưa ra nhiều góp ý để luận án được rõ ràng, chính xác hơn. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến những anh, chị, em đã và đang làm nghiên cứu sinh ở Viện Toán học, đặc biệt là TS. Hoàng Lê Trường và TS. Phạm Hùng Quý, đã có nhiều giúp đỡ, chia sẻ với tôi trong khoa học cũng như trong cuộc sống.

Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Viện Toán học, Trung tâm đào tạo sau đại học Viện Toán học, các phòng ban chức năng, đã tạo điều kiện cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu từ khi còn là học viên cao học của viện cho tới hiện tại. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên và Khoa Toán Kinh tế, trường Đại học Kinh tế Quốc dân Hà Nội đã tạo điều kiện cho tôi trong công tác để tôi có thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án này. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bố, mẹ, vợ và con gái. Họ đã chia sẻ, động viên tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu để tôi có thể hoàn thành luận án này.

Tôi xin tặng luận án này cho bố, mẹ, vợ và con gái nhỏ 2 tuổi của tôi. Mục lục Mở đầu 3 1 Chuẩn bị 12 1.1 Lọc chiều, hệ tham số tốt và hệ tham số tách biệt .2 Môđun Cohen-Macaulay dãy .3 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford .4 Hệ số Hilbert. 19 2 Chặn đều chỉ số chính quy cho môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy 21 2.1 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy .2 Chặn đều chỉ số chính quy cho môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy 29 3 Về một hiệu chỉnh của hàm Hilbert-Samuel 37 3.1 Bậc số học .2 Hàm hiệu chỉnh Hilbert-Samuel .3 Tính không âm của hàm hiệu chỉnh Hilbert-Samuel trong môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy. 48 4 Hệ số Hilbert và môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy 54 4.1 Đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel .2 Tính hữu hạn của tập đa thức hiệu chỉnh Hilbert-Samuel trong môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy .3 Đặc trưng môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy qua hệ số Hilbert 64 Danh mục công trình của tác giả liên quan đến luận án 72 Tài liệu tham khảo 73 2 Mở đầu Cho (R, m) là một vành giao hoán địa phương Noether với iđêan cực đại duy nhất m và M là một R-môđun hữu hạn sinh chiều d., xd là một hệ tham số của M, luôn có ℓ(M/xM) ≥ e(x; M), trong đó ℓ(•) là hàm độ dài và e(x; M) là số bội của M đối với hệ tham số x.

Nếu với mọi (hoặc tồn tại) hệ tham số x sao cho ℓ(M/xM) = e(x; M) thì M được gọi là môđun Cohen-Macaulay. Lớp môđun Cohen-Macaulay là đối tượng nghiên cứu trung tâm của Đại số giao hoán. Một trong những mở rộng đầu tiên của lớp môđun Cohen-Macaulay là lớp môđun Buchsbaum do J. Môđun M được gọi là Buchsbaum nếu tồn tại một hằng số C sao cho ℓ(M/xM) = e(x; M) + C với mọi hệ tham số x.

Do đó, môđun Cohen-Macaulay là một trường hợp đặc biệt của môđun Buchsbaum với C = 0. Trung [43] đã đưa một lớp môđun thỏa mãn tính chất tồn tại hằng số C sao cho ℓ(M/xM) ≤ e(x; M)+C với mọi hệ tham số x, được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Hằng số C nhỏ nhất d−1 ! X d−1 thỏa mãn điều kiện trên xác định bởi C = ℓ(Hmi (M)), thường được gọi là i=0 i hằng số Buchsbaum và ký hiệu là I(M), ở đây Hmi (M) là môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M đối với iđêan cực đại m. Một hướng mở rộng khác, lớp môđun Cohen-Macaulay dãy và môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, do N.

Nhàn [12] đưa ra cho trường hợp địa phương.