Đối ngẫu tannaka trên vành dedekind và ứng dụng luận án tiến sĩ

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN ĐẠI DƯƠNG ĐỐI NGẪU TANNAKA TRÊN VÀNH DEDEKIND VÀ ỨNG DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2017 VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC NGUYỄN ĐẠI DƯƠNG ĐỐI NGẪU TANNAKA TRÊN VÀNH DEDEKIND VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 9 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: GS. PHÙNG HỒ HẢI Hà Nội - 2017 Mục lục Tóm tắt iv Abstract vi Một số kí hiệu ix Mở đầu x 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.2 Đại số Hopf trên các vành Dedekind .1 Đối đại số và đối môđun trên một đối đại số .2 Song đại số và đại số Hopf .3 Không gian hệ số, đối môđun con đặc biệt và thương con đặc biệt .4 Chuyển cơ sở lên thớ tổng quát và dàn của các đối môđun .3 Một số khái niệm trong phạm trù cộng tính và phạm trù aben; phạm trù và hàm tử ten xơ .1 Hạch và ảnh của một cấu xạ trong một phạm trù cộng tính .2 Ind-phạm trù của một phạm trù aben .3 Phạm trù và hàm tử ten xơ .4 Tiêu chuẩn về tính phẳng (trung thành). 21 2 Đối ngẫu Tannaka trên vành Dedekind 25 2.1 Đối ngẫu Tannaka cho các phạm trù aben .1 Phạm trù con xác định và đặc trưng cho phạm trù của các đối môđun .2 Phạm trù Tannaka trên vành Dedekind .2 Đối ngẫu Tannaka cho phạm trù ten xơ cộng tính, dàn Tan- naka .1 Dàn Tannaka và mở rộng vô hướng .2 Tương đương phạm trù cho dàn Tannaka. 38 3 Đặc trưng Tannaka cho các đồng cấu trên vành Dedekind và cấu trúc cho lược đồ nhóm affine phẳng trên vành định giá rời rạc 42 3.1 Đặc trưng đơn ánh và toàn ánh cho đồng cấu của các đối đại số phẳng .2 Mô tả Tannaka của các đồng cấu giữa các lược đồ nhóm .3 Đối đại số hữu hạn địa phương .4 Cấu trúc của lược đồ nhóm affine phẳng trên một vành định giá rời rạc .1 Lược đồ nhóm affine trên một vành định giá rời rạc sinh ra từ phép nổ Neron .2 Đồng cấu giữa các lược đồ nhóm cảm sinh một đẳng cấu giữa các thớ tổng quát và cấu trúc cho lược đồ nhóm affine phẳng.

60 4 Tính phẳng của đại số Hopf trên một đại số Hopf con của nó trên vành Dedekind 64 4.1 Ứng dụng của tiêu chuẩn phẳng trung thành trong trường hợp đại số Hopf con là hữu hạn .2 Tính xạ ảnh trên một đại số Hopf con chuẩn tắc hữu hạn. 75 ii Tài liệu tham khảo 81 Kết luận 85 Các công trình liên quan đến luận án 86 iii Tóm tắt Luận án nghiên cứu các lược đồ nhóm affine phẳng và đối ngẫu Tannaka trên một vành Dedekind. Các kết quả nhận được cho phép nghiên cứu đồng cấu giữa các lược đồ nhóm affine phẳng trên một vành Dedekind, cấu trúc của lược đồ nhóm affine phẳng trên một vành định giá rời rạc. Cuối cùng chúng tôi nghiên cứu tính phẳng trung thành, tính xạ ảnh của một đại số Hopf trên một đại số Hopf con của nó trên các vành Dedekind.

Nội dung luận án bao gồm 4 chương như sau. Chương 1 giành cho phần kiến thức chuẩn bị về vành Dedekind, khái niệm đối đại số, song đại số và đại số Hopf trên một vành Dedekind. Các khái niệm về lược đồ nhóm affine và các biểu diễn, khái niệm cho phép nổ Neron, chuyển cơ sở của các phạm trù và một số khái niệm cơ bản về phạm trù ten xơ cộng tính, phạm trù ten xơ aben cũng được giới thiệu. Phần cuối chương trình bày một kết quả mới: "Tiêu chuẩn cho tính phẳng trung thành" (Định lí 1.

Chương 2 đưa ra chứng minh trực tiếp ngắn gọn một kết quả của Saavedra về đối ngẫu Tannaka cho các đối đại số phẳng được phát biểu trong Định lí 2. Định lí này được mở rộng thành đối ngẫu Tannaka cho các lược đồ nhóm affine phẳng và nó có liên hệ đến công trình của Wedhorn, (tham khảo [31] và Định lí 2. Đồng thời chúng tôi hoàn thiện kết quả của Wedhorn để đưa ra đối ngẫu cho một dàn Tannaka (Định lí 2. Ví dụ minh họa cũng được giới thiệu lần lượt cho từng đối ngẫu.

Trong Chương 3, các Mệnh đề 3.3 lần lượt đưa ra các điều kiện sao cho một đồng cấu giữa các đối đại số là đơn ánh, đơn ánh đặc biệt hoặc là toàn ánh. Ứng dụng "Tiêu chuẩn cho tính phẳng trung thành" (Định lí 1.4) cho các đại số Hopf giao hoán chúng tôi thu được Định lí 3.1: "Một đại số Hopf giao hoán là phẳng trung thành trên đại số Hopf con của nó khi và chỉ khi môđun thương của chúng không có xoắn (do đó phẳng)". Các kết quả trên được mở rộng cho lược đồ nhóm affine phẳng (Định lí 3.3) và đưa ra tiêu chuẩn để kiểm tra khi nào một dãy đồng cấu giữa iv các lược đồ nhóm là khớp theo các phạm trù của các biểu diễn của chúng (Định lí 3. Tiếp theo chúng tôi nghiên cứu các đối đại số hữu hạn địa phương (xem mục 3.7 là một đặc trưng cho một lớp của lược đồ nhóm có vành tọa độ hữu hạn địa phương như một đối đại số.

Cuối chương, chúng tôi mô tả cấu trúc của một lược đồ nhóm trong Định lí 3. Chứng minh định lí này sử dụng phép nổ Neron cho các lược đồ nhóm phẳng trên một vành định giá rời rạc và sử dụng tính phẳng trung thành của một đại số Hopf giao hoán trên một đại số Hopf con bão hòa. Chương 4 ứng dụng tiêu chuẩn về tính phẳng trung thành để nghiên cứu tính phẳng trung thành của một đại số Hopf trên một đại số Hopf con hữu hạn (hữu hạn sinh như R-môđun) (Định lí 4. Sử dụng kết quả của Định lí 4.14 chúng tôi đưa ra điều kiện về tích phân để nhận được kết quả về tính xạ ảnh của một đại số Hopf trên đại số con hữu hạn (Định lí 4.

v Abstract We study Hopf algebras, affine flat group schemes and Tannakian cat- egories all defined over a Dedekind ring R. We first give a criterion for the faithful flatness in the last of Chapter 1 and apply to commutative Hopf algebras in Chapter 3 and any Hopf algebras in Chapter 4. In Chapter 2, the first aim is to reinterpret the Tannakian duality for group schemes over a Dedekind ring (obtained by Saavedra), and related recent results of Wedhorn. Next, we establish a new duality between affine flat group schemes and rigid tensor categories equipped with a fiber functor (called Tannakian lattice).

To illustrate these dualities, applications to the fundamental group schemes of algebraic schemes are introduced. For instance, the category of stratified sheaves on a smooth formal scheme over R will be Tannakian in the sense of Saavedra when R is a complete DVR of equal characterictic. Moreover, the Tannakian lattice will be used to redefine the relative differential Galois group, (introduced by dos Santos). In Chapter 3, using the above Tannakian dualities, we study morphisms between flat coalgebras as well as morphisms of flat affine group schemes.

In particular, we give a criterion for the exactness of sequences of homo- morphisms of flat affine group schemes over Dedekind rings. Next, the notions of locally finite coalgebras over Dedekind ring are mentioned. We show that the coordinate ring of a flat group scheme, the generic fiber of which is connected, is locally finite. In addition, we also give a structure of affine flat group schemes over DVRs using techniques: Neron blow-ups and faithful flatness of commutative Hopf algebras.

Finally, the last part of the dissertation is devoted to study the flatness and projectivity of any R-Hopf algebras over their Hopf subalgebras. This is contents of Chapter 4. The faithful flatness for a Hopf algebra over its finite normal Hopf subalgebra follows from the corresponding properties on fibers and for the projectivity we need some conditions in terms of integrals of Hopf algebras. vi Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của GS.

Phùng Hồ Hải. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Tác giả NGUYỄN ĐẠI DƯƠNG vii Lời cám ơn Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.

Phùng Hồ Hải. Vì vậy trước hết tôi xin cảm ơn thầy đã giúp đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt thời gian qua. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban lãnh đạo Viện Toán học, Trung tâm Đào tạo sau đại học, Phòng Đại số-Lý thuyết số đã tạo điều kiện cho tôi học tập nghiên cứu tại đây. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô, những người anh, người bạn, những người ít nhiều đã quan tâm động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu và sinh sống.

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn em trai và mẹ đã kiên nhẫn chờ đợi tôi hoàn thành luận án. Tác giả NGUYỄN ĐẠI DƯƠNG viii Một số kí hiệu Kí hiệu Tên gọi R Vành Dedekind K Trường phân thức của R k Trường thặng dư của R Spec Phổ của một vành giao hoán AlgR Phạm trù các đại số giao hoán trên R Mod(R) Phạm trù các môđun trên R Modf (R) Phạm trù các môđun hữu hạn sinh trên R L Đối đại số, song đại số, đại số Hopf giao hoán trên R Comod(L) Phạm trù các đối môđun phải trên L Comodf (L) Phạm trù các đối môđun phải trên L và hữu hạn sinh như R-môđun Comodo (L) Phạm trù các đối môđun phải trên L hữu hạn sinh và phẳng như R-môđun Cf(M ) Không gian hệ số của một đối môđun M ∈ Comodo (L) G Lược đồ nhóm affine trên R GK Thớ tổng quát của lược đồ nhóm affine G trên R R[G] Vành tọa độ của G Rep(G) Phạm trù các G-môđun Repf (G) Phạm trù các G-môđun hữu hạn sinh trên R Repo (G) Phạm trù các G-môđun hữu hạn sinh và phẳng trên R CK Mở rộng vô hướng của một phạm trù R-tuyến tính C lên K B Đại số Hopf trên R A Đại số Hopf con của B MA Phạm trù các môđun phải trên một đại số Hopf A MC Phạm trù các đối môđun phải trên một đối đại số C MB A Phạm trù các (B, A)-môđun Hopf ix Mở đầu Cho X là một lược đồ trơn trên một vành Dedekind R. Khi đó xét phạm trù gồm các OX -môđun nhất quán cùng với tác động của bó các toán tử vi phân D(X/R) trên X/R. Đây là một phạm trù ten xơ và aben.

Phạm trù này được gọi là phạm trù các bó phân tầng trên X , kí hiệu là str(X/R).