Luận án tiến sĩ các định lý ergodic và luật số lớn đối với mảng các biến ngẫu nh

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o TR­êng ®¹i häc vinh --------------------------- D­¬ng xu©n gi¸p C¸C §ÞNH Lý ergodic vµ luËt sè lín ®èi víi m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®a trÞ LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc NGHÖ AN - 2016 Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o TR­êng ®¹i häc vinh --------------------------- D­¬ng xu©n gi¸p C¸C §ÞNH Lý ergodic vµ LUËT Sè LíN §èi víi m¶ng c¸c biÕn ngÉu nhiªn ®a trÞ LuËn ¸n tiÕn sÜ to¸n häc Chuyªn ngµnh: Lý thuyÕt x¸c suÊt vµ Thèng kª to¸n häc M· sè: 62. 06 Ng­êi h­íng dÉn khoa häc: 1. NguyÔn v¨n qu¶ng 2. Charles castaing NghÖ an - 2016 i LỜI CAM ĐOAN Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn của GS.

Nguyễn Văn Quảng và GS. Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả được trình bày trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được ai công bố trước đó. Tác giả Dương Xuân Giáp ii LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.

Nguyễn Văn Quảng và GS. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới hai Thầy-những người đã đặt bài toán, hướng dẫn, giúp đỡ tận tình và chu đáo trong suốt quá trình tác giả học tập và thực hiện luận án. Tác giả xin cảm ơn TS. Nguyễn Văn Huấn và ThS.

Nguyễn Trần Thuận về những thảo luận và góp ý từ lúc viết bản thảo cho tới khi hoàn thiện luận án. Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sự quan tâm và góp ý của PGS. Nguyễn Thành Quang, PGS. Trần Xuân Sinh, PGS.

Trần Văn Ân, TS. Nguyễn Trung Hòa, TS. Nguyễn Thị Thế, PGS. Lê Văn Thành, PGS.

Kiều Phương Chi, TS. Nguyễn Thanh Diệu, TS. Võ Thị Hồng Vân, TS. Vũ Thị Hồng Thanh, TS.

Lê Hồng Sơn cùng các nhà khoa học và bạn bè đồng nghiệp. Tác giả xin chân thành cảm ơn về những sự giúp đỡ quý báu đó. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới Khoa Sư phạm Toán học và Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh về sự hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh. Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Viện Nghiên cứu cao cấp về Toán vì đã hỗ trợ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả được học tập và nghiên cứu tại Viện.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới những người họ hàng và những người bạn thân thiết đã luôn động viên và khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập và công tác. Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới gia đình đã luôn là chỗ dựa vững chắc cho tác giả yên tâm học tập, nghiên cứu và công tác. Dương Xuân Giáp iii MỤC LỤC Một số ký hiệu thường dùng trong luận án 1 Mở đầu 3 Chương 1. Một số tính chất về hội tụ Mosco và hội tụ Wijsman 13 1.

Một số kiến thức chuẩn bị. Một số tính chất về hội tụ Mosco và hội tụ Wijsman đối với mảng các tập con đóng của không gian Banach. Một số tính chất về hội tụ Mosco và hội tụ Wijsman đối với mảng các biến ngẫu nhiên đa trị. Định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều 33 2.

Một số kiến thức chuẩn bị. Định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều cho phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian Banach thực, khả ly. Định lý ergodic Birkhoff dạng nhiều chiều cho biến ngẫu nhiên đa trị 40 2. Định lý ergodic Birkhoff dạng hai chiều cho biến ngẫu nhiên mờ.

Luật số lớn đối với mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị 53 3. Một số kết quả bổ trợ. Luật số lớn đối với mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên đa trị. Luật số lớn đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị 77 4.

Dạng định lý Stolz cho trường hợp mảng tam giác. Luật số lớn đối với mảng tam giác các biến ngẫu nhiên đa trị. 79 Kết luận chung và kiến nghị 92 Danh mục các công trình liên quan trực tiếp đến luận án 93 Tài liệu tham khảo 94 1 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN N tập hợp các số nguyên dương Q tập hợp các số hữu tỉ R tập hợp các số thực R+ tập hợp các số thực không âm n phần tử n := (n1 , n2 ,. , nd ) ∈ Nd 1 phần tử 1 := (1, 1,.

, 1) ∈ Nd 2 phần tử 2 := (2, 2,. , 2) ∈ Nd 3 phần tử 3 := (3, 3,. , 3) ∈ Nd nmin giá trị nmin := min{ni : i = 1, 2,. , d} nmax giá trị nmax := max{ni : i = 1, 2,.

, d} d Q |n| giá trị |n| := ni i=1 X không gian Banach thực, khả ly kxk chuẩn của phần tử x ∈ X kAk chuẩn của tập A, với A ⊂ X X∗ không gian đối ngẫu của X B∗ hình cầu đơn vị đóng của X∗ S∗ mặt cầu đơn vị của X∗ c(X) không gian các tập con đóng, khác rỗng của X coA bao lồi đóng của tập A, với A ⊂ X clA bao đóng của tập A, với A ⊂ X (Ω, A, P) không gian xác suất T phép biến đổi bảo toàn độ đo trên không gian xác suất (Ω, A, P) IT σ -đại số các tập T -bất biến BX σ -đại số Borel của X Bc(X) σ -đại số Effrös của c(X) AF σ -đại số con bé nhất của A mà biến ngẫu nhiên đa trị F đo được hx∗ , xi giá trị của phiếm hàm x∗ (x∗ ∈ X∗ ) tại điểm x ∈ X EF kỳ vọng của biến ngẫu nhiên F t- lim inf An giới hạn dưới của mảng {An : n ∈ Nd } ⊂ c(X) ứng với tôpô t nmax →∞ khi nmax → ∞ t- lim sup An giới hạn trên của mảng {An : n ∈ Nd } ⊂ c(X) ứng với tôpô t nmax →∞ khi nmax → ∞ M- lim An giới hạn dạng Mosco của mảng {An : n ∈ Nd } ⊂ c(X) khi nmax →∞ nmax → ∞ Wijs- lim An giới hạn dạng Wijsman của mảng {An : n ∈ Nd } ⊂ c(X) khi nmax →∞ nmax → ∞ 2 IA hàm chỉ tiêu của A h. hầu chắc chắn m∨n giá trị lớn nhất của hai số thực m và n m∧n giá trị nhỏ nhất của hai số thực m và n log+ a lôgarit cơ số 2 của a ∨ 1, với a ∈ R+ a+ giá trị a+ := max{a, 0}, trong đó a ∈ R a− giá trị a− := max{−a, 0}, trong đó a ∈ R tr. i trang thứ i trong tài liệu được trích dẫn tr. i-j từ trang thứ i đến trang thứ j trong tài liệu được trích dẫn 2 kết thúc chứng minh 3 MỞ ĐẦU 1.

Lý do chọn đề tài 1. Thời gian gần đây, định lý ergodic và luật số lớn đối với các biến ngẫu nhiên đa trị đã được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và có nhiều ứng dụng trong tối ưu ngẫu nhiên, thống kê, toán kinh tế, y học và một số lĩnh vực khác. Biến ngẫu nhiên đa trị là sự mở rộng của phần tử ngẫu nhiên. Chính vì vậy, việc nghiên cứu định lý ergodic và luật số lớn cho các biến ngẫu nhiên đa trị không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn.

Thực tiễn đòi hỏi chúng ta nghiên cứu về mảng nhiều chiều các biến ngẫu nhiên. Đối với cấu trúc nhiều chiều, quan hệ thứ tự thông thường trên tập các chỉ số không có tính chất tuyến tính. Do đó, khi mở rộng các định lý giới hạn đối với các biến ngẫu nhiên đa trị từ trường hợp dãy sang trường hợp mảng nhiều chỉ số ứng với nmax → ∞ hoặc nmin → ∞, chúng ta sẽ gặp nhiều điều bất thường. Điều này góp phần làm cho các kết quả nghiên cứu về các định lý giới hạn đa trị dạng luật số lớn và dạng định lý ergodic đối với cấu trúc nhiều chiều có nhiều ý nghĩa.

Lý thuyết ergodic bắt nguồn từ ngành cơ học thống kê. Nghiên cứu các định lý ergodic được bắt đầu vào những năm 1931-1932 bởi G. Trong mấy thập kỷ gần đây, định lý ergodic Birkhoff đã được mở rộng theo hai hướng chính: cho cấu trúc nhiều chiều và cho các hàm đa trị. Theo hướng thứ nhất, vào năm 1951-không lâu sau khi H.

Robbins đặt ra bài toán về tính đúng đắn của định lý ergodic Birkhoff cho trường hợp hai chiều (xem [21]), N. Zygmund [75] đã thiết lập định lý ergodic Birkhoff đối với họ không giao hoán các phép biến đổi bảo toàn độ đo tương ứng cho các trường hợp tham số rời rạc và tham số liên tục. Kết quả này sau đó được N. Fava [27] tổng quát lên 4 cho trường hợp toán tử.

Các kết quả trên tiếp tục được mở rộng cho trường hợp tổng có trọng số trong các công trình của R. Theo hướng thứ hai, vào năm 1991, J. Bán [5] thiết lập định lý ergodic Birkhoff cho các biến ngẫu nhiên nhận giá trị tập compact hoặc giá trị mờ trên không gian Banach ứng với hội tụ theo khoảng cách Hausdorff. Seri [17] thu được định lý ergodic Birkhoff cho các biến ngẫu nhiên đa trị nhận giá trị tập lồi ứng với hội tụ Kuratowski.

Ziat [74] chứng minh định lý ergodic Birkhoff cho các biến ngẫu nhiên đa trị theo các loại hội tụ: Mosco, Wijsman và Slice. Do đó, nghiên cứu định lý ergodic Birkhoff cho cả cấu trúc nhiều chiều và cho các hàm đa trị đang là vấn đề có tính thời sự. Luật số lớn đa trị được chứng minh lần đầu tiên vào năm 1975 bởi Z. Vitale [3] cho các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, nhận giá trị trên không gian các tập con compact của Rd , ứng với hội tụ theo khoảng cách Hausdorff.

Kết quả này sau đó được mở rộng theo hai hướng chính: cho các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian các tập con compact của không gian Banach và cho các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trên không gian các tập con đóng (có thể không bị chặn) của không gian Banach. Theo hướng thứ nhất, chúng ta có thể tham khảo trong các công trình của N. López-Díaz, J. Domínguez-Menchero và M.

Theo hướng thứ hai, luật số lớn được chứng minh đầu tiên bởi Z. Hart [2] cho hội tụ Kuratowski đối với các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, nhận giá trị trên không gian các tập con đóng của Rd. Sau đó nó được tiếp tục nghiên cứu bởi F. Hess [37, 38, 39] cho các loại hội tụ Mosco và Wijsman.