Luận án Tiến sĩ Nguyễn Minh Trang: Phương pháp lặp giải bài toán không điểm chung

Mục tiêu thứ nhất là xây dựng thuật toán lặp mới. Thuật toán tìm điểm bất động chung của họ toán tử trong không gian Banach. Mục tiêu thứ hai là chứng minh sự hội tụ mạnh của dãy lặp. Điều kiện Picard đảm bảo tính hợp lý của thuật toán. Mục tiêu thứ ba là áp dụng kết quả cho bài toán tối ưu. Bài toán điểm cực tiểu chung được giải quyết. Bài toán chấp nhận lồi cũng nằm trong phạm vi nghiên cứu. Luận án còn mở rộng sang bài toán tách trong không gian Hilbert. Kết quả tổng quát hóa nhiều định lý trước đó.

Luận án gồm bốn chương chính. Chương 1 trình bày kiến thức chuẩn bị. Chương 2 nghiên cứu xấp xỉ không điểm chung của toán tử đơn điệu. Chương 3 đề cập bài toán không điểm chung tách. Chương 4 mở rộng sang điểm bất động chung tách. Phạm vi giới hạn trong không gian Banach và Hilbert. Các ký hiệu được chuẩn hóa throughout toàn văn. Luận án sử dụng công cụ giải tích hàm hiện đại.

Không gian Banach phản xạ có tính chất đặc biệt. Không gian liên hợp thứ hai E** đồng cấu tự nhiên với E. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J được định nghĩa bởi ⟨x, Jx⟩ = ‖x‖². Ánh xạ j là dạng đơn trị của J. Trong không gian Hilbert, J đồng nhất với ánh xạ đồng nhất. Tính chất của J rất quan trọng cho lý thuyết điểm bất động. Không gian lồi đều đảm bảo tính trơn của chuẩn. Không gian trơn đảm bảo tính lồi nghiêm ngặt của không gian liên hợp.

Toán tử Lipschitz thỏa mãn ‖Tx − Ty‖ ≤ L‖x − y‖. Hằng số L gọi là hằng số Lipschitz. Toán tử co ngót có hằng số L < 1. Đây là điều kiện Picard kinh điển. Phép chiếu mêtric PC(x) là phần tử gần nhất trong tập C. Phép chiếu có tính chất không mở rộng. Trong không gian Hilbert, phép chiếu là ánh xạ lồi. Chuỗi Cauchy trong không gian đầy đủ luôn hội tụ. Các tính chất này đảm bảo sự hội tụ của thuật toán lặp.

Toán tử đơn điệu thỏa mãn ⟨Ax − Ay, x − y⟩ ≥ 0. Toán tử j-đơn điệu tổng quát hơn. ε-mở rộng của toán tử đơn điệu cực đại được giới thiệu. Công cụ này cho phép xấp xỉ toán tử đơn điệu. Nội suy giữa các toán tử được sử dụng trong thuật toán. Lý thuyết đơn điệu là nền tảng cho phương pháp lặp. Các bổ đề bổ trợ hoàn thiện phần kiến thức chuẩn bị.

Toán tử đơn điệu liên tục trong không gian Banach phản xạ được xét. Không điểm là nghiệm của phương trình Ax = 0. Bài toán không điểm chung tìm x sao cho Ai(x) = 0 với mọi i. Điều kiện tồn tại điểm bất động duy nhất được thiết lập. Thuật toán sử dụng hàm khoảng cách mêtric. Dãy lặp hội tụ mạnh đến nghiệm dưới điều kiện đơn điệu. Kết quả tổng quát hóa định lý của nhiều tác giả trước đó.

Thuật toán lặp song song xử lý đồng thời các toán tử. Mỗi bước lặp tính tổ hợp lồi của tất cả các toán tử. Trọng số được chọn thỏa mãn điều kiện hội tụ. Sự hội tụ mạnh đảm bảo bởi tính chất đơn điệu. Kết quả áp dụng cho bài toán điểm cực tiểu chung. Bài toán chấp nhận lồi cũng được giải quyết. Ví dụ số minh họa tính hiệu quả của thuật toán.

Bài toán điểm bất động chung tìm x sao cho Ti(x) = x với mọi i. Toán tử co ngót có điểm bất động duy nhất. Ánh xạ không giãn cũng có điểm bất động. Phương pháp lặp Picard xấp xỉ điểm bất động. Bài toán tối ưu lồi được chuyển về tìm điểm bất động. Đạo hàm dưới vi phân đóng vai trò then chốt. Kết nối giữa không điểm và điểm bất động được khai thác triệt để.

Thuật toán sử dụng phép chiếu mêtric trong mỗi bước. Dãy lặp được xây dựng theo nguyên tắc chiếu xen kẽ. Điều kiện hội tụ yêu cầu tính đơn điệu và Lipschitz. Chuỗi Cauchy được thiết lập cho dãy lặp. Sự hội tụ mạnh đến nghiệm được chứng minh. Kỹ thuật chứng minh sử dụng bất đẳng thức mêtric. Kết quả áp dụng trong không gian Hilbert thực.

Bài toán điểm cực tiểu tách là ứng dụng quan trọng. Tìm điểm cực tiểu của tổng hàm lồi tách theo cấu trúc. Bài toán chấp nhận tách tìm điểm thuộc giao tách. Cả hai bài toán được giải bằng phương pháp lặp mới. Điểm bất động duy nhất đảm bảo bởi tính lồi nghiêm ngặt. Ví dụ số minh họa tốc độ hội tụ của thuật toán. So sánh với phương pháp truyền thống cho thấy ưu thế.

Kết quả được mở rộng cho toán tử đa trị. Toán tử loại đơn điệu tổng quát hơn toán tử đơn điệu. Bài toán chấp nhận tách đa tập được xem xét. Điều kiện tồn tại nghiệm được nới lỏng. Ánh xạ Lipschitz liên tục thay cho liên tục thường. Kết quả tổng quát hóa nhiều công trình trước đây. Ứng dụng trong lý thuyết tối ưu và điều khiển học.

Thuật toán kết hợp phép chiếu và toán tử gần đúng. Bước lặp tính tổ hợp lồi của các phép biến đổi. Trọng số thay đổi tùy theo từng bước lặp. Điều kiện Picard được mở rộng cho trường hợp tách. Ánh xạ co ngót đảm bảo sự co rút cần thiết. Toán tử Lipschitz với hằng số nhỏ hơn 1 là then chốt. Thuật toán có cấu trúc đơn giản dễ cài đặt.

Chứng minh dựa trên kỹ thuật bất đẳng thức mêtric. Dãy lặp được chứng minh là chuỗi Cauchy. Không gian Banach đầy đủ đảm bảo sự hội tụ. Điểm bất động duy nhất tồn tại dưới điều kiện phù hợp. Bổ đề Opial được sử dụng trong chứng minh hội tụ yếu. Hội tụ mạnh yêu cầu thêm tính chất trơn. Điều kiện tồn tại bao gồm tính đơn điệu và Lipschitz liên tục.

Bài toán không điểm chung tách là trường hợp đặc biệt. Bài toán chấp nhận tách đa tập được giải quyết. Ví dụ số trong không gian R² và R³ minh họa. So sánh tốc độ hội tụ với các phương pháp khác. Kết quả số cho thấy tính hiệu quả của thuật toán mới. Biểu đồ hội tụ thể hiện rõ ưu điểm của phương pháp. Ứng dụng trong bài toán phân giải tín hiệu hình ảnh.

Kết quả thứ nhất là thuật toán lặp xoay vòng mới. Kết quả thứ hai là thuật toán lặp song song cho toán tử j-đơn điệu. Kết quả thứ ba là phương pháp giải bài toán tách. Điểm bất động duy nhất được chứng minh tồn tại. Chuỗi Cauchy đảm bảo sự hội tụ của dãy lặp. Nội suy lồi là kỹ thuật then chốt trong chứng minh. Tổng cộng có 5 công trình khoa học đã công bố.

Mở rộng cho không gian Hadamard và CAT(0). Phát triển thuật toán lặp song song hiệu quả hơn. Ứng dụng trong học máy và tối ưu hóa sâu. Kết hợp với phương pháp gradient ngẫu nhiên. Mở rộng cho bài toán bất phương trình biến phân. Nghiên cứu tốc độ hội tụ định lượng chính xác hơn. Ứng dụng trong xử lý tín hiệu và hình ảnh y khoa.