Luận án Tiến sĩ Khuất Thị Bình: Phương pháp lặp cho bài toán chấp nhận tách

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Khuất Thị Bình MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP CHO BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN ỨNG DỤNG Hà Nội – 2024 BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Khuất Thị Bình MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP CHO BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 9 46 01 12 Xác nhận của Học viện Người hướng dẫn Khoa học và Công nghệ GS. Nguyễn Bường Hà Nội - 2024 i LỜI CAM OAN Tôi xin cam oan các kết quả ược trình bày trong luận án là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của GS.TS Nguyễn Bường. Các kết quả trong luận án là mới và chưa từng ược công bố trong bất kỳ công trình của ai khác. Kết quả viết chung với các tác giả khác ều nhận ược sự nhất trí của các ồng tác giả khi ưa vào luận án Tôi xin chịu trách nhiệm về lời cam oan của mình.

Hà Nội, Ngày. năm 2024 Nghiên cứu sinh Khuất Thị Bình ii LỜI CẢM ƠN =Luận án này ược hoàn thành tại Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TS Nguyễn Bường, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc ến Thầy.= =Trong quá trình học tập và nghiên cứu, tác giả luôn nhận ược sự quan tâm giúp ỡ và những ý kiến óng góp quý báu của GS.TS Trẫn Vũ Thiệu, PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy, TS Nguyễn Thị Quỳnh Anh,. ã tận tâm giúp ỡ NCS. Từ áy lòng mình, tác giả xin ược bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc ến các Thầy Cô.= =Tác giả xin ược bày tỏ lòng biết ơn ến Ban lãnh ạo, các Thầy Cô cùng toàn thể cán bộ, công nhân viên thuộc Viện Công nghệ Thông tin, Học viện Khoa học và Công nghệ, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam ã tạo mọi iều kiện tốt nhất, giúp ỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.= = Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám ốc, các Thầy Cô ồng nghiệp của Học viện Ngân hàng và toàn thể anh chị em nghiên cứu sinh, bạn bè ồng nghiệp ã luôn quan tâm, ộng viên, trao ổi và óng góp những ý kiến quý báu cho tác giả trong suốt quá trình học tập, semina, nghiên cứu và hoàn thành luận án.= Tác giả xin kính tặng những người thân yêu trong gia ình của mình, những người ã luôn ộng viên, chia sẻ và khích lệ ể tác giả có thể hoàn thành công việc học tập và nghiên cứu của mình niềm vinh hạnh này.

Tác giả iii MỤC LỤC Lời cam oan. ii Danh mục ký hiệu. 2 1 Một số kiến thức bổ trợ 10 1.1 Một số toán tử trong không gian Hilbert và không gian Banach 10 1.1 Một số toán tử trong không gian Hilbert .2 Một số toán tử trong không gian Banach .2 Một số phương pháp xấp xß nghiệm bài toán iểm bất ộng, bài toán chấp nhận tách, trùng tách .1 Bài toán iểm bất ộng .2 Bài toán chấp nhận tách a tập .3 Bài toán trùng tách a tập (MSSEP) .3 Một số ứng dụng của bài toán chấp nhận tách (SFP) .1 Bài toán xử lý tín hiệu số và khôi phục ảnh .2 Bài toán xạ trị. 34 2 Phương pháp hiệu chßnh lặp xấp xß nghiệm bài toán chấp nhận tách và trùng tách a tập 37 2.1 Bài toán chấp nhận tách a tập (MSSFP) .1 Phương pháp hiệu chßnh kiểu Lavrentiev .2 Ví dụ số minh họa .2 Bài toán trùng tách a tập (MSSEP) .1 Phương pháp hiệu chßnh lặp kiểu Bakushinsky3Bruck .2 Ví dụ số minh họa.

62 iv 3 Phương pháp lai ghép ường dốc nhất với phương pháp Ishikawa xấp xß nghiệm bài toán bất ẳng thức biến phân 64 3.1 Bất ẳng thức biến phân trên tập iểm bất ộng của ánh xạ không giãn .1 Bất ẳng thức biến phân trong không gian Hilbert .2 Bất ẳng thức biến phân trong không gian Banach .2 Phương pháp lai ghép ường dốc nhất với phương pháp Ishikawa xấp xß nghiệm bài toán bất ẳng thức biến phân .1 Bất ẳng thức biến phân trên tập iểm bất ộng của ánh xạ không giãn .2 Bất ẳng thức biến phân trên tập iểm bất ộng chung của họ ánh xạ không giãn .3 Ví dụ số minh họa. 82 Kết luận và hướng nghiên cứu tiếp theo. 85 Danh mục công trình công bố. 87 v DANH MỤC KÝ HIỆU N∗ tập hợp các số tự nhiên khác không R tập hợp các số thực R+ tập hợp các số thực không âm R− tập hợp các số thực không dương Rn không gian véctơ Euclid n chiều Rn+ tập hợp các véctơ không âm của không gian Rn Rn− tập hợp các véctơ không dương của không gian Rn X∗ không gian ối ngẫu tôpô của không gian X 2X tập các tập con của tập hợp X ïÀ, xð giá trị của À ∈ X ∗ tại x ∈ X ∅ tập rỗng T : X → 2Y ánh xạ a trị từ tập X vào tập Y graT ồ thị của ánh xạ T T −1 ánh xạ nghịch ảo của ánh xạ T (T + T ′ ) ánh xạ tổng (T + T ′ )p = T p + T ′ p AT ma trận chuyển vị của ma trận A A := B A ược ịnh nghĩa bằng B A¦B A là tập con của B A∪B hợp của hai tập hợp A và B 1 A+B tổng véctơ của hai tập hợp A và B A×B tích Descartes của hai tập hợp A và B z = [x, y ] phần tử z gồm hai thành phần x và y SFP bài toán chấp nhận tách MSSFP bài toán chấp nhận tách nhiều tập SEP bài toán trùng tách MSSEP bài toán trùng tách nhiều tập ASEP bài toán trùng tách xấp xß VIP bài toán bất ẳng thức biến phân S (0, a) hình cầu tâm 0 bán kính a z = [x, y ] iểm z gồm hai thành phần x, y MỞ ẦU Lý thuyết iểm bất ộng của ánh xạ không giãn và các mở rộng của nó óng một vai trò quan trọng không những trong việc nghiên cứu lý thuyết phương trình vi phân thường, phương trình vi phân ạo hàm riêng, bài toán tối ưu, bất ẳng thức biến phân.

mà còn trong các bài toán liên quan trực tiếp ến bài toán thực tế như: bài toán chấp nhận lồi, bài toán chấp nhận tách và trùng tách a tập. các bài toán này nảy sinh từ một số bài toán thực tế như: bài toán khôi phục và xử lý ảnh, bài toán xạ trị. Những phương pháp cơ bản tìm iểm bất ộng của một ánh xạ không giãn là phương pháp lặp Krasnosel’skii3Mann [4, 5], phương pháp lặp Ishikawa [6], phương pháp lặp Halpern [7] và phương pháp xấp xß mềm [8]. Các phương pháp lặp Krasnosel’skii3Mann và Ishikawa cho kết quả hội tụ yếu, trong khi phương pháp lặp Halpern và phương pháp xấp xß mềm cho kết quả hội tụ mạnh trong không gian vô hạn chiều.

Một số cải biên của các phương pháp trên cũng ã ược ề xuất ể tìm iểm bất ộng của một ánh xạ không giãn như sự kết hợp của phương pháp lặp Krasnosel’skii3Mann và Ishikawa với phương pháp ường dốc nhất hoặc sự kết hợp phương pháp lặp Krasnosel’skii3Mann và phương pháp lặp Halpern [9, 10]. Một số phương pháp trên cũng ã ược áp dụng ể giải bài toán chấp nhận tách, bài toán trùng tách và bài toán bất ẳng thức biến phân trên tập iểm bất ộng chung của một họ ánh xạ không giãn. Mục tiêu của luận án là ề xuất một số phương pháp lặp mới xấp xß nghiệm bài toán chấp nhận tách, bài toán trùng tách và bài toán bất ẳng thức biên phân nhằm khắc phục ược một số hạn chế của các phương pháp trước ó. Bài toán chấp nhận tách a tập (MSSFP) Cho H1 và H2 là các không gian Hilbert với tích vô hướng ï·, ·ð và chuẩn ∥ · ∥.

Cho A : H1 → H2 là ánh xạ tuyến tính bị chặn. Cho Ci và Qj là các tập 3 con lồi, óng tương ứng trong H1 và H2 , với mỗi i ∈ J1 và j ∈ J2 , ở ây, J1 và J2 là tập các chß số, có thể là tập hữu hạn hoặc vô hạn ếm ược. Bài toán MSSFP, là bài toán: \ \ Tìm x ∈ C := Ci sao cho Ax ∈ Q := Qj. (MSSFP) i∈J1 j∈J2 Khi các tập chß số J1 và J2 gồm một phần tử thì bài toán MSSFP trở thành bài toán chấp nhận tách (SFP): tìm x ∈ C sao cho Ax ∈ Q.

Bài toán MSSFP ược nghiên cứu lần ầu tiên bởi Censor và Elfving [2] trong trường hợp J1 = {1,. , M } là các tập hữu hạn. Khi N và M nguyên dương, ể giải bài toán (MSSFP), ông cùng các cộng sự ưa ra một phương pháp lặp dựa trên cơ sở phương pháp chiếu gradient. Phương pháp lặp này có hạn chế cỡ bước lặp bởi hệ số Lipschitz của ánh xạ gradient phụ thuộc vào chuẩn ∥A∥ của ánh xạ chuyển A.

ể tránh việc phải tính toán hệ số Lipschitz, Zhao và Yang [11] ã giới thiệu phương pháp chiếu tự thích nghi, áp dụng việc tìm kiếm theo tia kiểu Armijo ([12, 13]), Tuy nhiên, phương pháp lặp này cần số lần lặp phù hợp. Tiếp tục nghiên cứu, Zhao và Yang [11] ưa ra cách giải tự thích nghi mới, trong ó tác giả sử dụng một tham số lặp phụ ể tính toán trực tiếp bước lặp phụ trong mỗi lần lặp, không cần ước tính hệ số Lipschitz hoặc chọn số lần lặp phụ (có nghĩa là việc chọn tham số lặp trong phương pháp này không phụ thuộc vào chuẩn của toán tử chuyển). Cách tiếp cận này ã ược trình bày trong [14] cho bài toán SFP. Mặt khác, Xu [15] ã chß ra bài toán (MSSFP) tương ương với bài toán tìm iểm bất ộng chung của họ ánh xạ trung bình và ưa ra phương pháp lặp kế tiếp; phương pháp lặp ồng thời và phương pháp lặp tuần hoàn ể xấp xß nghiệm bài toán (MSSFP).

Các phương pháp lặp này sử dụng một số bước lặp cố ịnh, phụ thuôc vào hệ số Lipschitz. Phương pháp lặp ồng thời và Phương pháp lặp tuần hoàn với cỡ bước lặp tự thích nghi [11, 13] ã ược nghiên cứu gần ây trong [16, 17]. Các phương pháp lặp kể trên cho sự hội tụ yếu trong không gian vô hạn chiều. ể nhận ược sự hội tụ mạnh của các phương pháp này, Xu [18] ã ề xuất phương pháp hiệu chßnh lặp kiểu Bruck [19] và Bakushinsky [20].