Luận án Tiến sĩ: Các phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị trong không gian Hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT HÀ NỘI - 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN ĐA TRỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 9 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: 1. Phạm Ngọc Anh 2. Đặng Quang Á HÀ NỘI - 2022 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn của các Thầy trong tập thể hướng dẫn khoa học. Các kết quả, số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác.

Các dữ liệu tham khảo được trích dẫn đầy đủ. Tác giả ii LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thiện tại Viện Công nghệ Thông tin thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam dưới sự hướng dẫn tận tình của Tập thể các thầy hướng dẫn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến các Thầy. Trong suốt quá trình tác giả làm nghiên cứu sinh, thông qua các bài giảng, hội nghị và sinh hoạt học thuật, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ cũng như những ý kiến đóng góp quý báu của các Thầy/Cô ở Viện Công nghệ Thông tin, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn! Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban lãnh đạo Viện Công nghệ Thông tin, Học viện Khoa học và Công nghệ thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến Lãnh đạo trường Đại học Công nghệ Giao thông Vận tải đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong thời gian làm nghiên cứu sinh. Xin chân thành cảm ơn các anh/chị/em trong nhóm nghiên cứu tại phòng Lab "Toán ứng dụng và Tính toán" của Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông và các bạn bè đồng nghiệp đã luôn bên cạnh động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu. Luận án này là món quà tinh thần, tác giả xin kính tặng đến gia đình thân yêu của mình với lòng biết ơn, yêu thương, trân trọng.

Tác giả iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT N tập số tự nhiên R tập số thực R+ tập số thực không âm Rn không gian Euclide thực n-chiều H không gian Hilbert thực xk → x dãy {xk } hội tụ mạnh tới x xk * x dãy {xk } hội tụ yếu tới x kxk chuẩn của vectơ x hx, yi tích vô hướng của hai vectơ x và y I ánh xạ đồng nhất l.c nửa liên tục dưới u.c nửa liên tục trên A×B tích Đề-Các của hai tập hợp A và B ρ(A, B ) khoảng cách Hausdorff giữa hai tập hợp A và B argmin{f (x) : x ∈ C} tập các điểm cực tiểu của hàm f trên C ∂f (x) dưới vi phân của f tại x δC (·) hàm chỉ trên C PC ( x ) hình chiếu của x lên tập C ProxgC toán tử gần kề của g trên C NC (x) nón pháp tuyến ngoài của C tại x gphF đồ thị của ánh xạ F domF miền hữu hiệu của ánh xạ F rgeF miền ảnh của ánh xạ F iv F −1 ánh xạ ngược của ánh xạ F OP(C, F ) bài toán tối ưu CP(C, F ) bài toán bù MCP(C, F ) bài toán bù đa trị VI(C, F ) bài toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) VI(C, F, g ) bài toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị) hỗn hợp DVI(C, F ) bài toán bất đẳng thức biến phân đối ngẫu MVI(C, F ) bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị MVI(C, F, g ) bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị hỗn hợp DMVI(C, F ) bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị đối ngẫu Fix(F ) tập điểm bất động của ánh xạ F Sd tập nghiệm của bài toán DVI(C, F ) SM tập nghiệm của bài toán MVI(C, F ) S(M,τ ) tập nghiệm của bài toán MVI(C, Fτ ) d SM tập nghiệm của bài toán DMVI(C, F ) O SM tập nghiệm của bài toán OP(C, F ) S(M,g) tập nghiệm của bài toán MVI(C, F, g ) O( k1 ) tốc độ hội tụ k1 CP U − times thời gian thực hiện thuật toán Start. point điểm khởi tạo ban đầu T est. các bài toán chạy thực nghiệm Iter. số bước lặp trong thuật toán v Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh mục các ký hiệu và chữ viết tắt iii Mở đầu 1 Chương 1.

Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 9 1.1 Một số kiến thức cơ bản .1 Một số khái niệm trong không gian Hilbert .2 Tính lồi của hàm số .3 Phép chiếu và toán tử gần kề .4 Tính đơn điệu của ánh xạ đơn trị .2 Ánh xạ đa trị .1 Tính liên tục của ánh xạ đa trị .2 Tính đơn điệu của ánh xạ đa trị .3 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị .2 Điều kiện tồn tại nghiệm .3 Một số bài toán liên quan .4 Một số bổ đề cơ bản. Phương pháp gần kề dưới đạo hàm 27 2.1 Phương pháp gần kề dưới đạo hàm .2 Sự hội tụ .2 Phương pháp gần kề dưới đạo hàm cải biên .2 Sự hội tụ .3 Tốc độ hội tụ .3 Ví dụ minh họa. Phương pháp chiếu-lặp Halpern 60 3.1 Phương pháp chiếu-lặp Halpern giải bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị giả đơn điệu .2 Phương pháp chiếu-lặp Halpern với toán tử gần kề .3 Ví dụ minh họa .1 Xây dựng ánh xạ đa trị .2 Một số ví dụ tính toán. Phương pháp gần kề quán tính với độ dài bước tự thích nghi 94 4.1 Phương pháp gần kề quán tính .1 Thuật toán và sự hội tụ .2 Trường hợp đặc biệt .3 Tốc độ hội tụ .2 Ví dụ minh họa .1 Mô hình bài toán Nash-Cournot .2 Các kết quả tính toán với ánh xạ đa trị.

111 Kết luận 117 Hướng nghiên cứu tiếp theo 118 Danh mục công trình khoa học đã công bố 119 Tài liệu tham khảo 120 1 MỞ ĐẦU 1. Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài Trải qua hơn nửa thế kỷ hình thành và phát triển, lý thuyết bất đẳng thức biến phân đã dần khẳng định được vai trò cũng như sự phát triển của mình trong toán lý thuyết và ứng dụng. Theo Carl [1], ngay từ những năm 1960, bài toán bất đẳng thức biến phân đã được Fichera và Stampacchia nghiên cứu và giới thiệu. Những nghiên cứu đầu tiên về bất đẳng thức biến phân gắn liền với việc giải các bài toán biến phân, bài toán điều khiển tối ưu, bài toán biên có dạng phương trình đạo hàm riêng.

Vào những năm 1980, bài toán biến phân trong không gian vô hạn chiều và các ứng dụng của nó được giới thiệu trong cuốn sách “An introduction to variational inequalities and their applications” của Kinderlehrer và Stampacchia [3] và trong cuốn sách “Variational and quasivarational inequalities: Application to free boundary problems” của Baiocchi và Capelo [4]. Từ đó, bài toán bất đẳng thức biến phân phát triển và nhanh chóng trở thành một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu và giải các mô hình cân bằng trong kinh tế, vận tải, lý thuyết trò chơi và nhiều mô hình toán học ứng dụng khác. Với C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng trong một không gian Hilbert thực H và một ánh xạ F : C → 2H (F được gọi là ánh xạ giá). Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị MVI(C, F ) được phát biểu dưới dạng: Tìm (x∗ , w∗ ) ∈ C × F (x∗ ) sao cho hw∗ , x − x∗ i ≥ 0, ∀x ∈ C.

Bài toán MVI(C, F ) là một dạng bài toán bất đẳng thức biến phân với hàm giá là một ánh xạ đa trị, được giới thiệu đầu tiên bởi Browder (1965) [5] khi nghiên 2 cứu về tính liên tục của ánh xạ đơn điệu cực đại và ánh xạ đối ngẫu của nó trong không gian Banach. Bài toán này cũng được biết đến như là một dạng tổng quát của lớp các bài toán bù đa trị [6], bài toán tìm điểm bất động Kakutani [7] và một số bài toán bài toán tối ưu khác [8, 9]. Trong giải tích đa trị, bài toán MVI(C, F ) là một đối tượng quan trọng được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu vì nó được xem xét như một mô hình toán học hữu ích chứa nhiều bài toán quan trọng của một số lĩnh vực toán học và thực tiễn [1, 10]. Chẳng hạn: Các bài toán tối ưu hóa, bù đa trị, lý thuyết trò chơi, mô hình cân bằng kinh tế Nash, cân bằng điện, cân bằng mạng giao thông và các mô hình bài toán khác.

Ngoài hướng nghiên cứu về định tính như các định lý về sự tồn tại nghiệm, các tính chất của tập nghiệm [1, 9], [10-14], việc nghiên cứu, đề xuất các thuật giải và ứng dụng chúng vào các mô hình thực tiễn là một hướng nghiên cứu rất quan trọng của bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị MVI(C, F ). Tính đến nay đã có một số thuật toán hữu hiệu giải bài toán MVI(C, F ) như: Thuật toán kiểu chiếu với ánh xạ giả đơn điệu không liên tục Lipschitz [16], thuật toán chiếu song song sử dụng toán tử gần kề [18], thuật toán đạo hàm tăng cường [17], nguyên lý bài toán phụ [19], thuật toán xấp xỉ trong-ngoài [20, 21], thuật toán chiếu cải biên [22], thuật toán chiếu điểm gần kề [9], [22-25] thuật toán ergodic [27], một số thuật toán khác [27-31], [33]. Trên thực tế, trong trường hợp ánh xạ F là đơn trị, bài toán MVI(C, F ) được viết dưới dạng bài toán bất đẳng thức biến phân đơn trị cổ điển quen thuộc, nên một số thuật toán giải bài toán MVI(C, F ) có thể được xây dựng dựa trên ý tưởng của các phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn trị. Tuy nhiên, các thuật toán hội tụ với các giả thiết quen thuộc đặt lên ánh xạ giá khi giải bài toán bất đẳng thức biến phân đơn trị như liên tục Lipschitz, bị chặn, đơn điệu không dễ dàng mở rộng khi ánh xạ giá là đa trị.

Chẳng hạn như với L là hằng số Lipschitz, {xk } là dãy lặp sinh bởi thuật một thuật toán, giả thiết liên tục Lipschitz của ánh xạ đơn trị F là kF (xk ) − F (xk+1 )k ≤ Lkxk − xk+1 k.