Luận án tiến sĩ: Một số phương pháp tìm điểm bất động chung của một họ ánh xạ không gian

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG VIỆT THÔNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2015 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN DƯƠNG VIỆT THÔNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CỦA MỘT HỌ ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 62460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. Phạm Kỳ Anh Hà Nội - 2015 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả của luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Dương Việt Thông 1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của các thầy giáo, GS.

Nguyễn Bường và GS. Phạm Kỳ Anh. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến các Thầy. Các Thầy đã truyền thụ kiến thức, từng bước định hướng nghiên cứu, giúp tác giả tiếp cận vấn đề một cách tự nhiên để từ đó có thể chủ động, tự tin trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc và sự chỉ bảo ân cần của thầy Nguyễn Bường và thầy Phạm Kỳ Anh đã giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm và quyết tâm cao khi hoàn thành luận án của mình. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến PGS. Đỗ Hồng Tân vì những chỉ dẫn tận tình và những ý kiến đóng góp quý báu của Thầy dành cho tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cám ơn TS.

Nguyễn Thị Thanh Hà, TS. Lê Anh Dũng, TS. Nguyễn Văn Khiêm và TS. Nguyễn Thế Vinh đã động viên và góp nhiều ý kiến quý báu trong suốt thời gian tác giả tham gia Seminar "Một số vấn đề trong lý thuyết KKM và lý thuyết điểm bất động" do Bộ môn Giải tích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội tổ chức.

Tác giả xin chân thành cảm ơn các phản biện độc lập về những nhận xét quý báu, nhờ đó mà bản thảo lần này đã có những cải thiện đáng kể. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban lãnh đạo Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Đào tạo Sau đại học cùng toàn thể 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com các thầy giáo, cô giáo, cán bộ và nhân viên của Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường ĐHKHTN đã tạo điều kiện và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian tác giả hoàn thành luận án của mình. Tác giả xin được bày tỏ sự biết ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Kinh tế Quốc dân, các Thầy Cô trong Bộ môn Toán cơ bản, Khoa Toán Kinh tế đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập, nghiên cứu cũng như giảng dạy trong Nhà trường. Xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến toàn thể bạn bè và người thân, những người đã động viên, giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án này.

Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả 3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Lời cam đoan. 4 Một số ký hiệu và chữ viết tắt. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. Giới thiệu về hình học không gian Banach.

Ánh xạ không giãn. Tốc độ hội tụ của một số phương pháp lặp. PHƯƠNG PHÁP LẶP ẨN. Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ không giãn.

Phương pháp lặp ẩn cho nửa nhóm ánh xạ giả co chặt. PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ GẮN KẾT. Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho nửa nhóm ánh xạ không giãn 56 3. Phương pháp xấp xỉ gắn kết cho nửa nhóm ánh xạ giả co Lipschitz 67 3.

Phương pháp xấp xỉ gắn kết ẩn có sai số. 82 KẾT LUẬN CHUNG. Kết quả đạt được. 84 4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.

Kiến nghị một số hướng nghiên cứu tiếp theo. 84 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN. 86 TÀI LIỆU THAM KHẢO. 87 5 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỘT SỐ KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT R tập số thực N tập số tự nhiên ⇀ hội tụ yếu w∗ ⇀ hội tụ * yếu F (T ) tập điểm bất động của ánh xạ T ωw (xn ) tập các điểm tụ yếu của dãy xn tập điểm bất động chung của họ ánh xạ {T (t) : t ≥ 0} \ F (T (t)) t≥0 lim = lim sup giới hạn trên lim = lim inf giới hạn dưới PC (x) hình chiếu của x lên tập C X không gian Banach X∗ không gian liên hợp của không gian X 2X tập hợp tất cả các tập con của X tập hợp tất cả các tập con của X ∗ ∗ 2X δ(ǫ) môđun lồi của không gian Banach J ánh xạ đối ngẫu của không gian X Jλ = (I + λA)−1 giải thức của toán tử A 1 Aλ = (I − Jλ ) xấp xỉ Yosida λ h.i giá trị của cặp đối ngẫu hoặc tích vô hướng 6 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU Lý thuyết điểm bất động do L.

Brouwer khởi xướng năm 1912 đến nay đã được hơn 100 năm tuổi. Đó là một chương quan trọng của Giải tích phi tuyến, sâu sắc về lý thuyết, phong phú trong ứng dụng, gắn liền với tên tuổi của các nhà Toán học lớn như: E. Tikhonov, Ky Fan, F. Trong sáu thập kỷ qua, nghiên cứu điểm bất động của lớp ánh xạ không giãn là một trong những chủ đề được quan tâm rộng rãi của giải tích phi tuyến.

Điều này kết nối giữa lý thuyết hình học của không gian Banach cùng với sự liên quan của lý thuyết toán tử đơn điệu và toán tử tăng trưởng. Như ta đã biết nếu ký hiệu X ∗ là không gian đối ngẫu của không gian Banach X, toán tử đa trị A : X → 2X với miền xác định D(A) được gọi là đơn điệu nếu ∗ hx∗ − y ∗ , x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ D(A) và x∗ ∈ A(x), y ∗ ∈ A(y). Toán tử đa trị A : X → 2X được gọi là toán tử đơn điệu cực đại nếu A là ∗ toán tử đơn điệu trên X sao cho với mọi x ∈ X và x∗ ∈ X ∗ thỏa mãn hx∗ − y ∗ , x − yi ≥ 0 ∀y ∈ D(A) và y ∗ ∈ A(y) thì x∗ ∈ A(x). Toán tử đa trị A : X → 2X được gọi là toán tử tăng trưởng nếu ∀x, y ∈ D(A) và x∗ ∈ A(x), y ∗ ∈ A(y) tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho hx∗ − y ∗ , j(x − y)i ≥ 0.

7 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một trong những sự kiện liên quan giữa toán tử đơn điệu và toán tử tăng trưởng là chúng trùng nhau trong không gian Hilbert. Các tính chất của toán tử đơn điệu và toán tử tăng trưởng là rất quan trọng trong các lĩnh vực như giải tích số, phương trình đạo hàm riêng, giải tích lồi. Điều đặc biệt là dưới vi phân của một hàm lồi là toán tử đơn điệu. Nhắc lại rằng, trong không gian Banach X cho hàm f : X → (−∞, +∞], dưới vi phân của f là toán tử đa trị ∂f : X → 2X được xác định bởi ∗ ∂f (x) := {j ∈ X ∗ : f (y) − f (x) ≥ hy − x, ji ∀y ∈ X} ∀x ∈ X.

Nếu f là nửa liên tục dưới và lồi chính thường trong không gian Banach thực phản xạ thì ∂f là đơn điệu cực đại [28]. Dễ thấy rằng 0 ∈ ∂f (x) nếu và chỉ nếu x=argmin{f (y) : y ∈ X}. Như vậy vấn đề tìm cực tiểu của hàm lồi dẫn đến tìm không điểm của toán tử đơn điệu. Mối quan hệ giữa toán tử đơn điệu và ánh xạ không giãn là dựa trên sự kiện sau: nếu T là ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert thì A := I − T là toán tử đơn điệu và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn T trùng với tập không điểm của toán tử đơn điệu.

Pazy đưa ra khái niệm giải thức của toán tử đơn điệu trong không gian Banach trong [17]. Họ đã thiết lập các tính chất cơ bản của giải thức và đặc biệt điểm bất động của giải thức liên quan đến không điểm của toán tử đơn điệu. Trong không gian Banach X cho A : X → 2X là toán tử đơn điệu cực đại. Khi đó giải thức Jλ của toán tử A là ánh xạ đơn trị và được xác định theo công thức Jλ = (I + λA)−1 , ∀λ > 0.

Chúng ta biết rằng A−1 0 = F (Jλ ). Hơn nữa, Jλ là ánh xạ không giãn. Suy ra vấn đề tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại A tương đương với vấn đề tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn Jλ. Giữa lớp ánh xạ không giãn và toán tử tăng trưởng là lớp ánh xạ giả co.

Ánh xạ T : X → X trong không gian Banach X được gọi là ánh xạ giả co nếu ∀x, y ∈ X tồn tại j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho hT x − T y, j(x − y)i ≤ kx − yk2. 8 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chúng ta biết rằng T là ánh xạ giả co khi và chỉ khi I − T là ánh xạ tăng trưởng. Điều này nghĩa là việc giải một phương trình toán tử tăng trưởng có thể xem xét như là một vấn đề tìm điểm bất động của toán tử giả co. Trong lý thuyết điểm bất động, ngay sau vấn đề tồn tại điểm bất động, là vấn đề xây dựng thuật toán để tìm điểm bất động đó.

Điều này đặc biệt quan trọng trong ứng dụng. Thuật toán đơn giản nhất là phép lặp Picard xác định bởi xn+1 = T xn , n ∈ N0. Phép lặp này có ưu điểm lớn là rất đơn giản và hữu hiệu cho các ánh xạ loại co. Phép lặp Picard nói chung không hội tụ khi T là ánh xạ không giãn.

Để khắc phục điều này M. (1) 2 Phép lặp Krasnoselskij đặc biệt hữu hiệu cho không gian Banach lồi đều. (2) Phép lặp Mann hữu hiệu cho một lớp ánh xạ rộng hơn ánh xạ không giãn, chẳng hạn lớp ánh xạ tựa không giãn.