Luận án tiến sĩ Toán học: Một số lớp nghiệm tường minh của phương trình truyền sóng phi tuyến tại Đại học Quốc gia Hà Nội - 2012

ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------------------------------------------------ NGUYỄN HUY HOÀNG MỘT SỐ LỚP NGHIỆM TƯỜNG MINH CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG PHI TUYẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2012 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ðẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ðẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------------------------------------------------ NGUYỄN HUY HOÀNG MỘT SỐ LỚP NGHIỆM TƯỜNG MINH CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG PHI TUYẾN Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 62 46 01 05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. Hà Tiến Ngoạn 2. Hoàng Quốc Toàn HÀ NỘI - 2012 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Bảng ký hiệu vi Mở đầu 1 1 LỚP NGHIỆM N -SOLITON KHÔNG TÁN XẠ CỦA HAI PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN TRÊN NỬA TRỤC KHÔNG GIAN 17 1.1 Phương trình Korteweg-de Vries .1 Lớp nghiệm được gợi ý từ lý thuyết tán xạ .2 Quy luật tiến hóa của các đa thức tán xạ Mj (x, t) .3 Một lớp nghiệm N -soliton không tán xạ của phương trình Korteweg-de Vries trên nửa trục .4 Các ví dụ về nghiệm N -soliton không tán xạ của phương trình Korteweg-de Vries trên nửa trục .2 Phương trình Schrödinger phi tuyến .1 Lớp nghiệm được gợi ý từ lý thuyết tán xạ .2 Biểu diễn của các hàm F (x, t) và G(x, t) .3 Quy luật tiến hóa của các đa thức tán xạ pj (x, t) .4 Một lớp nghiệm N -soliton không tán xạ của phương trình Schrödinger phi tuyến trên nửa trục .5 Các ví dụ về nghiệm N -soliton không tán xạ của phương trình Schrödinger phi tuyến trên nửa trục. 76 2 NGHIỆM WRONSKIAN CỦA PHƯƠNG TRÌNH HỖN HỢP MKDV-SG TRÊN CẢ TRỤC KHÔNG GIAN 81 iv LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.1 Dạng song tuyến tính của phương trình hỗn hợp và nghiệm Wronskian .1 Dạng song tuyến tính của phương trình hỗn hợp .2 Nghiệm Wronskian với hệ phương trình điều kiện suy rộng .3 Hệ phương trình điều kiện chính tắc .2 Các lớp nghiệm tường minh của phương trình mKdV-sG .1 Ma trận Γm là ma trận đường chéo thực .2 Ma trận Γm là một khối Jordan thực cấp m .3 Ma trận Γm là một khối Jordan dạng thực cấp hai 112 2.4 Ma trận Γ được xây dựng từ các khối Jordan dạng thực cấp hai .5 Ma trận Γm là một khối Jordan dạng thực cấp 2n 123 Kết luận và kiến nghị 132 Kết luận.

132 Kiến nghị về những nghiên cứu tiếp theo. 133 Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến Luận án. 134 Tài liệu tham khảo 135 v LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bảng ký hiệu i Đơn vị ảo. i2 = −1 Im ρ Phần ảo của số phức ρ ā Liên hợp của số phức a R Tập hợp các số thực C Tập hợp các số phức tr A Tổng các tất cả các phần tử trên đường chéo chính của ma trận vuông A det A Định thức của ma trận A W (φ) Định thức Wronskian theo biến x (cấp N ) có cột đầu tiên là φ = (φ1 , φ2 ,.

, φN )T L(t) Toán tử Schrödinger phụ thuộc tham số vào biến t D(t) Toán tử Dirac phụ thuộc tham số vào biến t S(t) Tập dữ liệu tán xạ của toán tử Schrödinger L(t) hoặc tập dữ liệu tán xạ của toán tử Dirac D(t) ACloc [0, ∞) Không gian các hàm số liên tục tuyệt đối địa phương trên nửa khoảng [0, ∞) 2 ACloc ([0, ∞), C ) Không gian các hàm véc tơ hai chiều liên tục tuyệt đối địa phương trên nửa khoảng [0, ∞) 2 L (0, ∞) Không gian các hàm khả tích bậc hai trên (0, ∞) 2 2 L ((0, ∞), C ) Không gian các hàm véc tơ hai chiều khả tích bậc hai trên (0, ∞) sign σ Dấu của phép thế σ. Res Thặng dư tại điểm ρj ρ=ρj m Y  X1 Tập hợp (ε1 , ε2 ,. , εm ) εj = ±1, εj = 1 j=1 Ym  X2 Tập hợp (ε1 , ε2 ,. , εm ) εj = ±1, εj = −1 j=1 vi LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU Trong các phương trình đạo hàm riêng mô tả quá trình truyền sóng có một nhóm phương trình truyền sóng phi tuyến có tên là các phương trình soliton.

Về nguồn gốc vật lý, các phương trình này được dẫn ra từ một loạt bài toán thuộc nhiều lĩnh vực như cơ học chất lỏng, quang học phi tuyến, vật lý plasma và lý thuyết dây ([3, 20, 39]). Mỗi phương trình thuộc nhóm này đều thừa nhận một lớp nghiệm đặc biệt được xác định tường minh và các nghiệm đó mô tả sự lan truyền, tương tác phi tuyến của những sóng đơn có tốc độ, biên độ không đổi. Tốc độ và biên độ của chúng được bảo toàn ngay cả sau khi xảy ra sự tương tác. Với đặc tính vật lý như vậy các sóng này được gọi là các soliton.

Thuật ngữ soliton được sử dụng lần đầu tiên bởi V. Kruskal năm 1965 trong một công trình nghiên cứu của hai ông về bài toán Fermi-Pasta-Ulam và phương trình Korteweg-de Vries trong Vật lý plasma ([42]). Trước đó, sóng soliton được quan sát lần đầu tiên trong thực tế bởi J. Russell vào năm 1834 dưới dạng một sóng nước xuất hiện và lan truyền trên một kênh nước nông ở Edingburgh, Scotland (xem [3, 46]).

Trong các phương trình soliton mô tả quá trình lan truyền sóng trong một chiều không gian và một chiều thời gian có bốn đại diện tiêu biểu sau đây: Phương trình Korteweg-de Vries là phương trình đạo hàm riêng phi tuyến ut + 6uux + uxxx = 0, (1) trong đó u = u(x, t), (x, t) ∈ R2 là ẩn hàm phải tìm, ut , ux. là ký hiệu các đạo hàm riêng của u. Biến x là biến không gian, biến t là biến thời gian. Phương trình Korteweg-de Vries được dẫn ra năm 1895 từ nghiên cứu của D.

Korteweg và một học trò của ông là G. de Vries về quá trình lan truyền của sóng nước nông trên kênh hẹp có đáy phẳng; 1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phương trình Schrödinger phi tuyến là phương trình iut = uxx + 2|u|2 u, u = u(x, t), (x, t) ∈ R2. (3) Phương trình Korteweg-de Vries biến dạng (modified Korteweg-de Vries equation - viết tắt: mKdV) được dẫn ra bởi R. Miura trong bài báo mở đầu cho một chuỗi các nghiên cứu về phương trình Korteweg-de Vries và các mở rộng ([32]).

Trên thực tế phương trình (3) có quan hệ chặt chẽ với phương trình (1). Thật vậy nếu v(x, t) là nghiệm của (3) thì u(x, t) = v(x, t) ± vx (x, t) là nghiệm của (1) ([3, 32]); Phương trình sine-Gordon là phương trình uxt = sin u, u = u(x, t), (x, t) ∈ R2. Trong Vật lý người ta cũng dẫn ra các phương trình soliton mô tả quá trình truyền sóng trong hai hoặc ba chiều không gian (xem [4, 20]). Tuy nhiên trong khuôn khổ các kết quả nghiên cứu của Luận án chúng tôi không đề cập đến các phương trình này.

TỔNG QUAN NGHIÊN CỨU Có nhiều phương pháp toán học đã được sử dụng để nghiên cứu các phương trình soliton. Hai phương pháp trong số đó có liên quan mật thiết và được sử dụng trong Luận án này là phương pháp bài toán tán xạ ngược và kỹ thuật Wronskian. Phương pháp bài toán tán xạ ngược là phương pháp giải bài toán Cauchy trên toàn trục không gian (x ∈ (−∞, ∞)) đối với các phương trình soliton trong lớp các hàm giảm nhanh. Phương pháp này được hình thành từ một chuỗi bài báo với khởi đầu là kết quả trên phương trình truyền sóng nước nông Korteweg-de Vries (1) (xem [1, 2, 5, 10, 11, 21, 43, 44, 45]).

2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Trong phương pháp này chúng ta liên kết ẩn hàm u(x, t) của các phương trình soliton (1) và (2) với thế vị tương ứng của các toán tử tuyến tính Schrödinger và toán tử Dirac, mà là các toán tử vi phân theo biến x, trong đó t đóng vai trò là tham số. Từ đó sử dụng các kết quả đã biết của bài toán tán xạ đối với các toán tử này chúng ta xây dựng được lời giải của bài toán Cauchy. Lời giải của bài toán Cauchy đối với phương trình Korteweg-de Vries cụ thể như sau. Chúng ta xét toán tử Schrödinger d2 L(t)y = 2 y + u(x, t)y, (5) dx với biến thời gian t được coi là một tham số tự do.

Theo kết quả của bài toán tán xạ thuận, từ thế vị u(x, t) nào đấy là hàm giảm nhanh, nhận giá trị thực, chúng ta xác định được một tập hợp có dạng  S(t) = r(t, k), k ∈ R; iκ1 , iκ2 ,. Toán tử L(t) chỉ có các giá trị riêng đơn là −κ21 , −κ22 ,. Các giá trị Cj (t) là giá trị liên quan tới chuẩn của hàm riêng tương ứng với giá trị riêng −κ2j , j = 1, 2,. Thành phần còn lại của tập dữ liệu tán xạ là hàm r(t, k) được gọi là hệ số phản xạ của toán tử.

Có thể tham khảo các mô tả chi tiết hơn về tập dữ liệu tán xạ S(t) trong các tài liệu [3, 5, 7, 13, 39, 46]. Đảo lại, từ một tập hợp S(t) nào đấy có cấu trúc như (7), bài toán tán xạ ngược đã đưa ra một sơ đồ để xây dựng một hàm số u(x, t) sao cho khi thế hàm u(x, t) nhận được vào toán tử Schrödinger (5) thì dữ liệu tán xạ của toán tử đó lại chính là S(t) (xem [3, 5, 7, 46]). Khâu then chốt trong bài toán ngược là việc giải một phương trình tích phân kỳ dị có tên là phương trình Gelfand-Levitan-Marchenko. Sự tồn tại nghiệm và tính duy nhất nghiệm của phương trình này đã được khẳng định trong các không gian hàm được sử dụng trong bài toán tán xạ.

Tuy nhiên việc tính tường minh nghiệm của phương trình Gelfand-Levitan-Marchenko mới chỉ thực hiện được trong một vài tình huống. Trong số các tình huống này có một trường hợp đặc biệt là tập S(t) chứa hệ số phản xạ r(t, k) = 0 với mọi 3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Thế vị u(x, t) được tính ra theo bài toán tán xạ ngược trong trường hợp này được gọi là thế vị không phản xạ. Thế vị không phản xạ của toán tử Schrödinger (5) có biểu diễn như sau (xem [11] và [3, 46]): ∂2 u(x, t) = 2 2 ln det(I + A(x, t)), (8) ∂x ở đây I là ma trận đơn vị cấp N , ma trận A(x, t) vuông cấp N và có các phần tử là Cj (t)Cn (t)e−(κj +κn )x Ajn = .