Luận án tiến sĩ Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên - Nguyễn Văn Thành, ĐHQG Hà Nội

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————— * ——————— NGUYỄN VĂN THÀNH DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG NGẪU NHIÊN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————— * ——————— NGUYỄN VĂN THÀNH DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 9460101.03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS Cung Thế Anh Hà Nội - 2019 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn của PGS. Cung Thế Anh. Các kết quả được phát biểu trong luận án là hoàn toàn trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất cứ một công trình nào khác.

Nghiên cứu sinh Nguyễn Văn Thành LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 2 LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, cẩn thận của PGS. Cung Thế Anh. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc PGS. Cung Thế Anh, người Thầy đã dẫn dắt tác giả làm quen với nghiên cứu khoa học từ những ngày sau khi tốt nghiệp thạc sĩ.

Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học, sự động viên và lòng tin tưởng của Thầy dành cho tác giả luôn là động lực lớn giúp tác giả say mê trong nghiên cứu và học tập. Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, đặc biệt là GS. Nguyễn Hữu Dư và các thầy cô giáo trong Bộ môn Phương trình vi phân và Hệ động lực của Khoa Toán - Cơ - Tin học đã luôn giúp đỡ, động viên, tạo môi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả. Ngoài ra, tác giả xin cảm ơn các thầy cô giáo, đặc biệt là PGS.

Trần Đình Kế, Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, và PGS. Đoàn Thái Sơn, Viện Toán học, đã luôn động viên, chỉ bảo, hướng dẫn những kiến thức cơ sở bổ ích cho hướng nghiên cứu của tác giả. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu, các thầy cô và các anh chị đồng nghiệp công tác tại Tổ Tự nhiên, Trường THPT Chuyên Ngoại ngữ, đã luôn tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, đặc biệt là người vợ yêu quý và hai bên nội ngoại, những người luôn yêu thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành luận án.

LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 3 Mục lục Lời cam đoan. 3 Một số kí hiệu dùng trong luận án. LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI. TỔNG QUAN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU.

MỤC ĐÍCH, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU. KẾT QUẢ CỦA LUẬN ÁN. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN.

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. CÁC KHÔNG GIAN HÀM. Không gian Sobolev. Không gian Sobolev có trọng.

Không gian các hàm của biến thời gian. MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ GIẢI TÍCH NGẪU NHIÊN TRONG KHÔNG GIAN HILBERT. Một số khái niệm cơ bản. 24 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.

Không gian hàm của các quá trình ngẫu nhiên. Tích phân ngẫu nhiên trong không gian Hilbert. Công thức Ito trong không gian Hilbert. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HỆ ĐỘNG LỰC NGẪU NHIÊN VÀ TẬP HÚT NGẪU NHIÊN.

MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ. Một số bất đẳng thức thường dùng. Một số bổ đề quan trọng. DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH SUY BIẾN NGẪU NHIÊN 37 2.

TÍNH TRƠN CỦA TẬP HÚT NGẪU NHIÊN. Đặt bài toán. Sự tồn tại của tập hút ngẫu nhiên trong không gian Lp (O) 41 2. Sự tồn tại tập hút ngẫu nhiên trong không gian D01 (O, σ) 56 2.

ỔN ĐỊNH HÓA NGHIỆM DỪNG BẰNG NHIỄU NGẪU NHIÊN NHÂN TÍNH. Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng của phương trình tất định. Ổn định hóa nghiệm dừng bằng nhiễu ngẫu nhiên nhân tính. DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ NAVIER-STOKES- VOIGT NGẪU NHIÊN.

SỰ TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM. Đặt bài toán. Sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm. TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ CỦA NGHIỆM DỪNG.

97 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng của hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt tất định. Ổn định mũ bình phương trung bình. Ổn định mũ hầu chắc chắn.

ỔN ĐỊNH HÓA NGHIỆM 0 BẰNG ĐIỀU KHIỂN CÓ GIÁ ĐỦ LỚN BÊN TRONG MIỀN. Đặt bài toán. Sự ổn định của hệ phương trình Navier-Stokes-Voigt ngẫu nhiên. Ổn định hóa bằng điều khiển phản hồi có giá đủ lớn bên trong miền.

DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ KELVIN-VOIGT- BRINKMAN-FORCHHEIMER NGẪU NHIÊN. Đặt bài toán. Tính ổn định mũ của nghiệm dừng. Ổn định mũ bình phương trung bình.

Ổn định mũ hầu chắc chắn. KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC. KIẾN NGHỊ MỘT SỐ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TIẾP THEO. 122 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CÔNG BỐ ĐƯỢC SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN.

123 TÀI LIỆU THAM KHẢO. 124 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 6 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN H, V các không gian hàm dùng để nghiên cứu hệ Navier-Stokes-Voigt, Kelvin-Voigt-Brinkman- Forchheimer V′ không gian đối ngẫu của không gian V | · |p chuẩn trong không gian Lp (O), p ≥ 1 (·, ·), | · | tích vô hướng và chuẩn trong không gian H ((·, ·)), ∥ · ∥ tích vô hướng và chuẩn trong không gian V ∥ · ∥∗ chuẩn trong không gian V ′ ⟨·, ·⟩ đối ngẫu giữa V và V ′ Id ánh xạ đồng nhất A, B các toán tử dùng để nghiên cứu hệ Navier-Stokes- Voigt, Kelvin-Voigt-Brinkman-Forchheimer D(A) miền xác định của toán tử A ⇀ hội tụ yếu (theo nghĩa giải tích hàm) X Y bao đóng của Y trong X dist(A, B) nửa khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A, B L2 (K0 , H) không gian tất cả các các toán tử tuyến tính Hilbert-Schmidt từ K0 vào H. LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 7 MỞ ĐẦU 1. LỊCH SỬ VẤN ĐỀ VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên xuất hiện trong nhiều quá trình của vật lí, hóa học và sinh học, chẳng hạn trong quá trình truyền nhiệt hoặc khuếch tán, quá trình truyền sóng trong cơ học chất lỏng, các mô hình quần thể trong sinh học khi mà sự tác động của ngoại lực là liên tục và ngẫu nhiên.

Việc nghiên cứu những lớp phương trình này có ý nghĩa quan trọng trong khoa học và công nghệ. Chính vì vậy nó đã và đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trên thế giới. Một trong những vấn đề định tính quan trọng khi nghiên cứu những lớp phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên có ứng dụng là xét tính đặt đúng của bài toán và sau đó nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi thời gian t → ∞. Đây là một việc làm có ý nghĩa thực tiễn, vì nghiệm của phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên thường mô tả trạng thái của các mô hình thực tế.

Do đó, khi biết dáng điệu tiệm cận của nghiệm, ta có thể dự đoán được xu thế phát triển của hệ trong tương lai và đưa ra những đánh giá, điều chỉnh thích hợp để đạt được kết quả mong muốn. Về mặt toán học, điều này làm nảy sinh một hướng nghiên cứu mới, được phát triển mạnh mẽ trong khoảng vài thập kỉ gần đây là lí thuyết về dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên. Hai hướng nghiên cứu cơ bản về dáng điệu tiệm cận nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên: • Nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm của các hệ động lực ngẫu nhiên LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 8 bằng cách sử dụng lí thuyết tập hút ngẫu nhiên. Bài toán cơ bản của lí thuyết này là nghiên cứu sự tồn tại và các tính chất của tập hút ngẫu nhiên, chẳng hạn tính trơn của tập hút, đánh giá số chiều của tập hút, nghiên cứu sự phụ thuộc liên tục của tập hút vào tham số,.

• Nghiên cứu tính ổn định nghiệm của phương trình đạo hàm riêng ngẫu nhiên. Nói riêng là nghiên cứu sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm dừng của hệ tất định tương ứng dưới ảnh hưởng của nhiễu ngẫu nhiên. Trong trường hợp nghiệm dừng này không ổn định, nghiên cứu bài toán ổn định hóa nghiệm dừng bằng cách sử dụng nhiễu ngẫu nhiên phù hợp hoặc sử dụng điều khiển phản hồi có giá trên biên hoặc bên trong miền. Dưới đây chúng tôi điểm qua một số kết quả tiêu biểu của hai hướng nghiên cứu nghiên cứu này, liên quan đến nội dung của luận án.

Khái niệm tập hút ngẫu nhiên là một sự mở rộng của khái niệm tập hút toàn cục của hệ động lực tất định, được giới thiệu bởi H. Từ khi ra đời đến nay, hướng nghiên cứu về tập hút ngẫu nhiên và tính chất của nó đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Sau hơn hai thập kỉ phát triển, sự tồn tại và các tính chất cơ bản của tập hút ngẫu nhiên đã được nghiên cứu cho một lớp khá rộng các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Nói riêng, trong [29, 30] các tác giả đã xét lớp phương trình phản ứng khuếch tán với nhiễu ngẫu nhiên cộng tính dạng ∑ m du = ∆udt + f (u)dt + hj (x)dWj , j=1 ở đó số hạng phi tuyến f (u) tăng trưởng và tiêu hao kiểu đa thức, và đã chứng minh sự tồn tại tập hút ngẫu nhiên của hệ động lực ngẫu nhiên sinh bởi phương trình.

Tiếp tục phát triển vấn đề này, trong những năm gần đây, nhiều nhà toán học đã quan tâm nghiên cứu sự tồn tại và tính chất của tập hút ngẫu ∑m nhiên cho lớp phương trình parabolic với nhiễu cộng tính j=1 hj (x)dWj hoặc LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 9 ∑m nhiễu nhân tính j=1 bj c(x)udWj , trong miền bị chặn (xem [11, 23, 54, 55]) và miền không bị chặn (xem [16, 71, 75]).