Luận án tiến sĩ phương pháp giải bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- Trần Việt Anh PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---------------------------- Trần Việt Anh PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN TRÊN TẬP NGHIỆM CỦA BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 62460102 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. Nguyễn Hữu Điển XÁC NHẬN NCS ĐÃ CHỈNH SỬA THEO QUYẾT NGHỊ CỦA HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ LUẬN ÁN Người hướng dẫn khoa học Chủ tịch hội đồng đánh giá Luận án Tiến sĩ GS. Lê Dũng Mưu GS. Phan Quốc Khánh Hà Nội - 2018 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan những kết quả được trình bày trong luận án này là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các kết quả và số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình của ai khác. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đều nhận được sự nhất trí của các đồng tác giả khi đưa vào luận án. Hà nội, ngày tháng năm 2018 Nghiên cứu sinh Trần Việt Anh 2 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com LỜI CẢM ƠN Luận án này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn của GS. Lê Dũng Mưu và PGS.

Nguyễn Hữu Điển. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sự hướng dẫn tận tình của GS. Lê Dũng Mưu và PGS. Nguyễn Hữu Điển trong quá trình học tập và nghiên cứu.

Tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Lãnh đạo trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Phòng Sau đại học, Khoa Toán - Cơ - Tin học, các thầy cô giáo trong Bộ môn Toán giải tích, Ban Giám đốc Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông, các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp ở Khoa Cơ bản I - Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông đã luôn động viên giúp đỡ tác giả trong thời gian làm nghiên cứu sinh. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới GS. Phạm Kỳ Anh và các thành viên trong nhóm Xêmina liên cơ quan Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, Trường Đại học Thăng Long, Viện Toán học, Viện nghiên cứu cao cấp về Toán đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong thời gian tác giả tham dự Xêmina. Cuối cùng, tác giả xin cảm ơn sự động viên và hỗ trợ của gia đình và bạn bè trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu.

3 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỤC LỤC Trang Lời cam đoan 2 Lời cảm ơn 3 Mục lục 4 Bảng kí hiệu 6 Bảng các chữ viết tắt 8 Mở đầu 9 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 20 1.1 Hàm lồi và dưới vi phân của hàm lồi .2 Toán tử chiếu trong không gian Hilbert .3 Bài toán điểm bất động .4 Bài toán bất đẳng thức biến phân .5 Bài toán cân bằng. Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán điểm bất động tách 39 2.1 Định lý hội tụ .2 Một số hệ quả .3 Thử nghiệm số. Phương pháp giải bất đẳng thức biến phân trên tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân tách và bài toán chấp nhận tách đa tập hợp 57 3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp .1 Thuật toán và định lý hội tụ .2 Một số hệ quả .3 Thử nghiệm số .2 Bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp .1 Thuật toán và định lý hội tụ.

75 4 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.2 Một số hệ quả .3 Bài toán bất đẳng thức biến phân với ràng buộc chấp nhận tách đa tập hợp .1 Thuật toán và định lý hội tụ .2 Một số hệ quả .3 Thử nghiệm số. Phương pháp tìm nghiệm có chuẩn nhỏ nhất của bài toán cân bằng tách 104 4.1 Thuật toán và định lý hội tụ .2 Một số hệ quả .3 Thử nghiệm số. 118 Kết luận và kiến nghị 124 Danh mục công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 126 Tài liệu tham khảo 127 5 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com BẢNG KÍ HIỆU R tập số thực Rn không gian Euclide n−chiều H không gian Hilbert thực N tập số tự nhiên N∗ tập số nguyên dương ∃x tồn tại x ∀x với mọi x kxk chuẩn của vectơ x hx, yi tích vô hướng của hai vectơ x và y ∅ tập rỗng A⊂B A là tập con của B A×B tích Descartes của hai tập A và B x∈A phần tử x thuộc tập A x∈ /A phần tử x không thuộc tập A int C phần trong của tập C dom f miền hữu hiệu của hàm số f argmin{f (x) : x ∈ C} phần tử cực tiểu hàm f trên C argmax{f (x) : x ∈ C} phần tử cực đại hàm f trên C δC hàm chỉ của C NC (x) nón pháp tuyến ngoài của C tại x ∂f (x) dưới vi phân của hàm f tại x Fix(T ) tập điểm bất động của ánh xạ T PC (x) hình chiếu của x trên C {xn } dãy vectơ xn xn −→ x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn * x dãy {xn } hội tụ yếu tới x lim sup giới hạn trên lim inf giới hạn dưới A∗ toán tử liên hợp của A 6 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com V IP (C, F ) bài toán bất đẳng thức biến phân Sol(C, F ) tập nghiệm của bài toán V IP (C, F ) EP (C, f ) bài toán cân bằng Sol(C, f ) tập nghiệm của bài toán cân bằng EP (C, f ) 2 kết thúc chứng minh 7 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT SFPP bài toán điểm bất động tách SFP bài toán chấp nhận tách VIP bài toán bất đẳng thức biến phân BVIP bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp SVIP bài toán bất đẳng thức biến phân tách BSVIP bài toán bất đẳng thức biến phân tách hai cấp EP bài toán cân bằng SEP bài toán cân bằng tách MSSFP bài toán chấp nhận tách đa tập hợp 8 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề và lý do chọn đề tài Cho H là không gian Hilbert thực với tích vô hướng h·, ·i và chuẩn tương ứng k · k, C là một tập lồi đóng khác rỗng trong H, F là ánh xạ đi từ một tập trong H chứa C vào H. Bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP - Variational Inequality Problem) V IP (C, F ) được phát biểu như sau: Tìm x∗ ∈ C sao cho hF (x∗ ), x − x∗ i ≥ 0 ∀x ∈ C.

Bài toán bất đẳng thức biến phân được giới thiệu lần đầu tiên vào năm 1966 khi Philip Hartman và Guido Stampacchia công bố những nghiên cứu đầu tiên của mình về bất đẳng thức biến phân liên quan tới việc giải các bài toán biến phân, bài toán điều khiển tối ưu và các bài toán biên trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng. Bài toán bất đẳng thức biến phân trong không gian vô hạn chiều và các ứng dụng của nó được giới thiệu trong cuốn sách "An Introduction to Variational Inequalities and Their Applications" của David Kinderlehrer và Guido Stampacchia xuất bản năm 1980 và trong cuốn sách "Variational and Quasivariational Inequalities: Applications to Free Boundary Problems" của Claudio Baiocchi và Antonio Capelo xuất bản năm 1984. Hiện nay, bài toán bất đẳng thức biến phân đã phát triển thành nhiều dạng khác nhau, ví dụ như bất đẳng thức biến phân tách, bất đẳng thức biến phân vectơ, bất đẳng thức biến phân ẩn,.Bài toán bất đẳng thức biến phân đã thu hút được rất nhiều sự quan tâm của các nhà toán học vì các mô hình của nó chứa nhiều bài toán quan trọng của một số lĩnh vực khác nhau trong toán học ứng dụng như tối ưu hóa, bài toán bù, bài toán điểm bất động Brouwer, lý thuyết trò chơi, cân bằng mạng lưới giao thông,. Một trong các hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán bất đẳng thức biến 9 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com phân là xây dựng các phương pháp giải.

Một trong các phương pháp giải đó là dựa vào cách tiếp cận điểm bất động. Ý tưởng chính của phương pháp này là chuyển bài toán bất đẳng thức biến phân về bài toán tìm điểm bất động của một ánh xạ thích hợp. Cách tiếp cận điểm bất động không chỉ được sử dụng trong không gian hữu hạn chiều mà còn được sử dụng trong không gian Hilbert. Phương pháp điểm gần kề được đề xuất bởi B.

Martinet cho bài toán bất đẳng thức biến phân. Ý tưởng chính của phương pháp điểm gần kề là xây dựng các bài toán hiệu chỉnh bằng cách cộng thêm vào toán tử của bài toán gốc một toán tử đơn điệu mạnh phụ thuộc vào tham số sao cho bài toán hiệu chỉnh có nghiệm duy nhất. Từ đó, với các điều kiện phù hợp, dãy lặp nhận được bằng cách giải bài toán hiệu chỉnh, có giới hạn là một nghiệm nào đó của bài toán gốc khi cho tham số dần tới một giới hạn thích hợp. Phương pháp dựa vào hàm đánh giá cũng là một phương pháp quan trọng trong việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân.

Ý tưởng của phương pháp là dùng hàm đánh giá để đưa bài toán bất đẳng thức biến phân về một bài toán tối ưu. Hai hàm đánh giá cơ bản được sử dụng là hàm đánh giá Auslender và hàm đánh giá Fukushima. Trong các phương pháp giải bài toán bất đẳng thức biến phân thì phương pháp chiếu đóng một vai trò quan trọng vì sự đơn giản và thuận lợi trong quá trình tính toán. Phương pháp chiếu đơn giản nhất cho bài toán bất đẳng thức biến phân là phương pháp đạo hàm (Gradient Method), là một sự mở rộng tự nhiên của phương pháp chiếu đạo hàm cho các bài toán tối ưu được đề xuất bởi Alan A.

Levitin và Boris T. Polyak (xem [37]), trong đó chỉ thực hiện một phép chiếu duy nhất lên tập ràng buộc C trong mỗi bước lặp xk+1 = PC (xk − λF (xk )) k ≥ 0, ở đây x0 ∈ C bất kỳ cho trước. Dưới các giả thiết F là đơn điệu mạnh, liên tục Lipschitz trên C hoặc đơn điệu mạnh ngược trên C và với giá trị λ thích hợp, dãy {xk } hội tụ đến nghiệm duy nhất V IP (C, F ).