Luận án tiến sĩ toán học một số lược đồ xấp xỉ cho phương trình vi phân ngẫu nhi

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ LƯƠNG ĐỨC TRỌNG MỘT SỐ LƯỢC ĐỒ XẤP XỈ CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI HỆ SỐ KHÔNG CHÍNH QUI LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI – 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ QUỐC PHÒNG VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ QUÂN SỰ LƯƠNG ĐỨC TRỌNG MỘT SỐ LƯỢC ĐỒ XẤP XỈ CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI HỆ SỐ KHÔNG CHÍNH QUI Ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 9 46 01 06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. Ngô Hoàng Long 2. Nguyễn Hồng Hải HÀ NỘI – 2022 i L I CAM ĐOAN Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cáu của riêng tôi. Các ket quả trình bày trong lu n án là trung thực và chưa tàng được công bo trong bat kỳ công trình khoa hoc nào khác, các dǎ li u tham khảo được trích dan đay đủ.

Tháng 11 Năm 2022 Nghiên cáu sinh Lương Đfíc Trong i L I CẢM ƠN Lu n án này được hoàn thành tại Vi n Công ngh thông tin-Vi n Khoa hoc và Công ngh quân sự dưới sự hướng dan của PGS. Ngô Hoàng Long và NCVCC. TS Nguyen Hong Hải. Nghiên cáu sinh bày tỏ lòng biet ơn sâu sac tới TS.

Nguyen Hong Hải, người đã dìu dat tôi vào con đường nghiên cáu khoa hoc. Nghiên cáu sinh cũng xin cảm ơn PGS. Ngô Hoàng Long, người đã t n tình chỉ bảo, hướng dan nghiên cáu và truyen cho nghiên cáu sinh sự say mê nghiên cáu khoa hoc. Không chỉ là m®t người thay hướng dan khoa hoc t n tâm, đoi với nghiên cáu sinh, PGS.

Ngô Hoàng Long còn là m®t người thay mau mực đe noi theo, người có the chia sẻ nhieu vui buon, người luôn khích l nghiên cáu sinh vǎng vàng hơn trong cu®c song. Nghiên cáu sinh trân trong cảm ơn Ban Giám đoc Vi n Khoa hoc và Công ngh Quân sự, Thủ trưởng Vi n Công ngh thông tin, Thủ trưởng và các cán b® nhân viên Phòng Đào tạo, Vi n chuyên ngành, đã tạo đieu ki n cho nghiên cáu sinh ve nơi làm vi c, môi trường hoc thu t đe hoc t p và nghiên cáu. Xin cảm ơn Trường Đại hoc Sư phạm Hà n®i, Ban Chủ nhi m khoa Toán- Tin đã tạo moi đieu ki n thu n lợi cho NCS trong quá trình hoc t p và công tác. Nghiên cáu sinh xin chân thành cảm ơn TS.

Nguyen Thu Thủy, ThS. Kieu Trung Thủy đã đong hành và cùng c®ng tác trong khoa hoc. Nguyen Ngoc Luân, người anh đã giúp đơ, cho lời khuyên, lời đ®ng viên bő ích đe nghiên cáu sinh có the hoàn thành Lu n án. Cuoi cùng, nghiên cáu sinh xin tỏ lòng biet ơn tới gia đình, nhǎng người luôn bên cạnh và yêu thương vô đieu ki n, luôn đ®ng viên và chia sẻ nhǎng khó khăn trong thời gian nghiên cáu sinh nghiên cáu khoa hoc và hoàn thành Lu n án.

Tác giả lu n án iii MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÍ HI U, CHữ VIET TAT.vi DANH MỤC CÁC BẢNG.viii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ. SƠ LƯ C VE GIẢI SO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGȀU NHIÊN.1 Phương trình vi phân ngau nhiên Itô.1 Tích phân ngau nhiên Itô.2 Phương trình vi phân ngau nhiên.3 Tính bị ch n và liên tục của mô men nghi m phương trình vi phân ngau nhiên 11 1.4 Tính őn định của nghi m phương trình vi phân ngau nhiên 12 1.2 Xap xỉ nghi m phương trình vi phân ngau nhiên.1 Phương pháp Monte-Carlo đa cap.2 Định lý cơ bản của sự h®i tụ theo trung bình.3 M®t so ket quả cơ bản ve giải so nghi m của phương trình vi phân ngau nhiên.1 Sự ton tại và duy nhat nghi m của phương trình vi phân ngau nhiên với h so không chính qui.2 Tính őn định của nghi m đúng và nghi m xap xỉ.4 Ket lu n Chương 1. LƯ C ĐO EULER-MARUYAMA KHONG CHE CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGȀU NHIÊN.1 Giới thi u bài toán.2 M®t so đieu ki n.3 Xap xỉ Yamada-Watanabe.4 Sự ton tại và duy nhat nghi m phương trình vi phân ngau nhiên với h so không chính qui 30 2.5 Toc đ® h®i tụ mạnh cho phương trình vi phân ngau nhiên có h so dịch chuyen tăng trên tuyen tính và h so khuyech tán liên tục Holder.6 Toc đ® h®i tụ mạnh cho phương trình vi phân ngau nhiên có h so dịch chuyen tăng trên tuyen tính và h so khuyech tán liên tục Holder địa phương.7 Ket lu n Chương 2. SỰ H I TỤ, TÍNH KHÔNG ÂM VÀ ON бNH CỦA LƯ C ĐO EULER-MARUYAMA CẢI TIEN.1 Giới thi u bài toán.2 M®t so đieu ki n.3 Mở r®ng xap xỉ của Yamada và Watanabe.4 Lược đo Euler-Maruyama cải tien.6 Tính őn định mũ theo chuȁn trong Lp.7 Xap xỉ không âm.8 Thực nghi m giải so.9 Ket lu n Chương 3.

LƯ C ĐO MILSTEIN NỬA AN CHO H ĐIEM KHÔNG VA CHẠM.1 Giới thi u bài toán.2 M®t so đieu ki n.3 Lược đo Euler-Maruyama nảa ȁn.4 Lược đo xap xỉ Milstein nảa ȁn.1 Bieu dien sai so.2 M®t so ước lượng.3 Toc đ® h®i tụ của lược đo.4 Ví dụ và mô phỏng.5 Ket lu n Chương 4. 101 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HOC ĐÃ CÔNG BO.103 TÀI LI U THAM KHẢO. 104 vi DANH MỤC CÁC KÍ HI U, CHữ VIET TAT h.c Hau chac chan R T p các so thực R+ T p các so thực dương Rd Không gian Euclid d-chieu Rd×m Không gian các ma tr n thực d × m x(i) Thành phan thá i của vectơ x ǁ·ǁ Chuȁn Euclid AT Ma tr n chuyen vị của ma tr n A trace(A) Vet của ma tr n A |A| Chuȁn theo vet của ma tr n A, |A| = √trace(AT A) (Ω, F, P) Không gian xác suat có loc {Ft}t≥0 E[X] Kỳ vong của bien ngau nhiên X sup C n trên nhỏ nhat inf C n dưới lớn nhat limsup Giới hạn trên supp f Giá của hàm f Mp (D; R) Không gian c ác quá trình Ft -tương thích f = {f (t)}t∈D h∫ T i thỏa mãn |f (t)| < Mp (D; Rd×m ) Không gian các 0 quá trình Ft -tương t hích f = p ∞h i dt ∫ { (t))i d× } thỏa mãn T < Lp (R+; R) Không (f gian các quá trình nh n∫ giá 0 |ftrị (t)|thực, ∞ Ft-tương t∈ thích f = {f (t)}t≥0 thỏa mãn p T |f (t)|p dt < ∞ h.c dt Lp (R+; Rd) Không gian các quá trình nh n∫giá trongp Rd, Ft-tương thích f = {f (t)}t≥0 thỏa mãn T |f (t)| dt < ∞ h.c d×m }t≥0 thỏa mãn 0 Lp(Ω; Rd) Không gian các bien ngau nhiên ξ nh n giá trị trong Rd sao cho E[|ξ|p ] < ∞ vi C[a; b] Không gian các hàm liên tục trên [a; b] C1,2 (R+ × R; R) Không gian các hàm thực V (t, x) xác định trên R+ ×R, khả vi liên tục đoi với t và khả vi liên tục cap hai đoi với x ∂ Đạo hàm riêng theo bien x ∂ Vt(t, x) Đạo hàm của hàm V theo bien so t Vx(t, x) Đạo hàm của hàm V theo bien so x Vxx(t, x) Đạo hàm cap hai của hàm V theo bien so x PTVPNN Phương trình vi phân ngau nhiên PEM Lược đo Euler-Maruyama goc BEM Lược đo Euler-Maruyama nghịch TEM Lược đo Euler-Maruyama khong che SIEM Lược đo Euler-Maruyama nảa ȁn SIM Lược đo Milstein nảa ȁn vi DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1 M®t so hàm so thỏa mãn các đieu ki n A1-A5.2 Sai so của lược đo khi h so chỉ thỏa mãn A3’.3 Sai so của lược đo khong che khi h so chỉ thỏa mãn A4” 41 Bảng 2.4 Sai so của xap xỉ khi h so chỉ thỏa mãn A3’ .5 Sai so của lược đo khong che khi h so chỉ thỏa mãn A4” 55 Bảng 4.1 Toc đ® h®i tụ của moi lược đo giải so. 99 ix DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 2.1 Toc đ® h®i tụ của lược đo khi h so chỉ thỏa mãn A3’ .2 Toc đ® h®i tụ của lược đo khi h so chỉ thỏa mãn A3’ .3 Toc đ® h®i tụ của lược đo khi h so chỉ thỏa mãn A3’ .4 Toc đ® h®i tụ của lược đo khi h so chỉ thỏa mãn A3’ .1 Sai so theo nghĩa mạnh theo thang đo log2 − log2 tương áng với các lược đo EM goc (PEM), lược đo EM nghịch (BEM) và lược đo EM không âm, khong che (TEM) .05 (trái) và Xap xỉ quĩ đạo của (Xt 0≤t≤5 α = 0.1 Giá trị của mseE (k) (đánh dau bởi ⬦) và mseM (k) (đánh dau bởi •) trong trường hợp thang đo log2 với k = 1,.

Tính cap thiet của đe tài lu n án Giải tích ngau nhiên và phương trình vi phân ngau nhiên được đưa ra bởi Kiyosi Itô [36] và được sả dụng r®ng rãi trong nhieu lĩnh vực áng dụng như toán tài chính, v t lý, sinh hoc, toi ưu hóa đieu khien, lý thuyet loc. Các phương trình ngày càng được cải tien cho phù hợp với thực te. Ví dụ trong lý thuyet định giá cő phieu trong toán tài chính của Black - Scholes [5] và Merton [51], ban đau giá của cő phieu được mô hình bởi m®t phương trình vi phân ngau nhiên tuyen tính. Nhưng sau đó, người ta thay phương trình này không phản ánh sát với thực te và do đó đã đưa ra mô hình đ® bien đ®ng ngau nhiên [14].

Mô hình mới này mô tả giá cő phieu bởi các phương trình phác tạp hơn với h so không thoả mãn đieu ki n Lipschitz toàn cục. Các phương trình với h so không thoả mãn đieu ki n Lipschitz toàn cục cũng xuat hi n trong rat nhieu lĩnh vực khác. Khi giải quyet các bài toán thực te liên quan đen phương trình vi phân ngau nhiên, người ta thường phải tính các đại lượng có dạng E[f (X)] trong đó X là nghi m của phương trình, mô hình đại lượng ngau nhiên ta quan tâm, và f là m®t hàm nào đó. Vi c tính chính xác đại lượng trên chỉ thực hi n được với m®t so rat ít các phương trình cũng như các hàm f.

Do đó ta thường phải xây dựng m®t lược đo kieu Monte Carlo phù hợp đe tính gan đúng. Cụ the, ta xap xỉ X bởi m®t đại lượng X(n) có the mô phỏng trên máy tính, ở đây n tỉ l với so phép tính can thiet đe xác định được X(n). Sau đó ta ước lượng như sau N 1 Σ E[f (X)] ≈ E[f (X )] ≈ (n) f (X(n,i)), N i=1 trong đó X(n,i), với i = 1,. , N , là N bản sao đ®c l p của X(n) được sinh ra trên máy tính.