Luận án Tiến sĩ: Phân tích bất khả quy và nghiên cứu hệ số Hilbert tại Đại học Khoa học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THANH TÂM PHÂN TÍCH BẤT KHẢ QUY TRONG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ NGHIÊN CỨU HỆ SỐ HILBERT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2022 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ THANH TÂM PHÂN TÍCH BẤT KHẢ QUY TRONG LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ VÀ NGHIÊN CỨU HỆ SỐ HILBERT Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 9 46 01 04 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN: PGS. Hoàng Lê Trường GS. Lê Thị Thanh Nhàn THÁI NGUYÊN - NĂM 2022 Tóm tắt Cho R là vành giao hoán Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d. Khi R là vành địa phương, ta ký hiệu m là iđêan cực đại duy nhất.

Khi R là vành đa thức với hệ số trên một trường, ta vẫn dùng ký hiệu m cho iđêan cực đại thuần nhất duy nhất của R. Luận án tập trung nghiên cứu về chỉ số khả quy của môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương và phân tích bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh của đồ thị đơn hữu hạn. Về chỉ số khả quy, trước hết chúng tôi đặc trưng tính Cohen-Macaulay của môđun hữu hạn sinh M trên vành Noether địa phương (R, m) thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy irM (qM ) và số bội bất khả quy f0 (q; M ) với q là iđêan tham số của M. Sau đó, chúng tôi đặc trưng tính Cohen-Macaulay cho vành Noether địa phương (R, m) thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy irR (q) và các hệ số Hilbert e1 (q), e1 (q : m) với q là iđêan tham số của R.

Về phân tích bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh, chúng tôi đưa ra một đặc trưng để iđêan đơn thức là thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh IGs thông qua các bất biến tổ hợp của đồ thị G. Sau đó, chúng tôi xác định được một số thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh thông qua sự tồn tại của tập cặp trội tới hạn của đồ thị G. Hơn nữa, chúng tôi đưa ra một đặc trưng đại số đầu tiên của đồ thị nhân tử tới hạn thông qua tập iđêan đơn thức bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh của đồ thị G. Luận án được chia thành 3 chương.

Chương 1 dành để nhắc lại những kiến thức cơ bản của Đại số giao hoán làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính của luận án ở những chương sau, gồm: môđun đối đồng điều địa phương, môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng, 2 hệ số Hilbert và một số khái niệm liên quan trong lý thuyết đồ thị. Trong Chương 2, chúng tôi nhắc lại một số kết quả về lọc chiều và khái niệm hệ g -tham số, đồng thời thông qua hệ g -tham số để đưa ra một điều kiện cần cho M/UM (0) là Cohen-Macaulay, trong đó UM (0) là môđun con lớn nhất của M có chiều nhỏ hơn dimR (M ). Sau đó, chúng tôi nhắc lại một số kết quả đã biết về chỉ số khả quy và số bội bất khả quy, đồng thời chứng minh hai tính chất mới của chỉ số khả quy và số bội bất khả quy ứng với iđêan g -tham số. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra hai đặc trưng cho tính Cohen-Macaulay của các vành Noether địa phương (R, m) và các R-môđun hữu hạn sinh M thông qua mối quan hệ giữa chỉ số khả quy, số bội bất khả quy và hệ số Hilbert (đặc biệt là hệ số Chern) ứng với iđêan tham số và iđêan m-nguyên sơ.

Trong Chương 3, chúng tôi đưa ra một đặc trưng để iđêan đơn thức ma là thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh IGs thông qua các bất biến tổ hợp của đồ thị G, trong đó ma là iđêan (xai i | ai > 0)R của R với a = {1, 2}n. Áp dụng kết quả trên với s = 2, chúng tôi thu được Định lý chính trong bài báo của J. Sau đó, chúng tôi xác định được một số thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh thông qua sự tồn tại của tập cặp trội tới hạn của G. Cuối cùng, chúng tôi đưa ra một đặc trưng đại số đầu tiên của đồ thị nhân tử tới hạn thông qua tập iđêan đơn thức bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh của G.

Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả trước khi đưa vào luận án. Các kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Tác giả Nguyễn Thị Thanh Tâm Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn thứ nhất của tôi - PGS.

Hoàng Lê Trường. Thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi từ những ngày đầu tiên tập làm nghiên cứu khoa học. Thầy đã dạy tôi từ cách phát hiện vấn đề đến cách giải quyết vấn đề nghiên cứu trong Toán học. Mặc dù phần lớn thời gian Thầy ở nước ngoài, nhưng Thầy đã luôn quan tâm, động viên, khích lệ và đồng hành cùng tôi trong suốt quá trình tôi học nghiên cứu sinh.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới cô giáo hướng dẫn thứ hai của tôi - GS. Lê Thị Thanh Nhàn. Cô đã dành nhiều tâm sức để truyền thụ cho tôi không chỉ về tri thức toán học mà còn về phương pháp nghiên cứu và cách trình bày một đề tài nghiên cứu khoa học. Cô đã tổ chức nhiều hội nghị, khóa học ngắn hạn để bồi dưỡng năng lực Toán học (đặc biệt là Đại số giao hoán) cũng như tạo điều kiện để nghiên cứu sinh chúng tôi được gặp gỡ, giao lưu với nhiều nhà Toán học trong nước và trên thế giới.

Cô là tấm gương sáng cho lớp học trò chúng tôi phấn đấu noi theo về lòng say mê nghiên cứu khoa học cũng như sự nỗ lực vượt qua khó khăn để đạt tới thành công. Tôi thực sự là người may mắn vì đã nhận được sự hướng dẫn tận tình của hai người Thầy: PGS. Hoàng Lê Trường và GS. Lê Thị Thanh Nhàn.

Thầy Cô không những hết lòng dạy bảo, hướng dẫn tôi hoàn thành khóa học nghiên cứu sinh mà còn trao cho tôi nhiều cơ hội để được làm việc với các nhà khoa học uy tín trong nước và trên thế giới. Một lần nữa, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Cô và sẽ cố gắng hơn nữa để xứng đáng với công lao, niềm tin của Thầy Cô đã dành cho tôi. 5 Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo, Khoa Toán Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện cho tôi học tập. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Hùng Vương đã cho tôi cơ hội được đi học tập và nghiên cứu.

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến Lãnh đạo khoa Khoa học Tự nhiên, các thầy cô giáo và đồng nghiệp trong Bộ môn Toán, Khoa Khoa học tự nhiên, Trường Đại học Hùng Vương đã quan tâm động viên và giúp đỡ nhiều mặt trong thời gian tôi học nghiên cứu sinh. Tôi xin trân trọng cảm ơn Quỹ đổi mới sáng tạo Vingroup đã tài trợ cho tôi học bổng Tiến số - mã số 2020.82 với số tiền là 150 triệu đồng. Tôi xin cảm ơn GS. Nguyễn Tự Cường, GS.

Marcel Morales, PGS. Nguyễn Thị Dung, PGS. Đoàn Trung Cường, PGS. Phạm Hùng Quý cùng các anh chị em trong nhóm seminar Đại số giao hoán của Đại học Thái Nguyên và Viện Toán học đã luôn đồng hành cùng tôi, động viên, chia sẻ với tôi trong học tập cũng như trong cuộc sống.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới những người thân trong gia đình của mình, đặc biệt là Bố Mẹ hai bên, Chồng và hai con yêu quý, đã luôn khích lệ, hỗ trợ, chia sẻ khó khăn và luôn mong mỏi tôi thành công. Đó là nguồn động viên rất lớn, giúp tôi vượt qua khó khăn để tôi có thể hoàn thành luận án này. Tác giả Nguyễn Thị Thanh Tâm 6 Mục lục Mở đầu. Kiến thức chuẩn bị.

Môđun đối đồng điều địa phương. Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng 20 1. Hệ số Hilbert. Một số khái niệm về đồ thị.

Chỉ số khả quy, hệ số Hilbert và môđun Cohen - Macaulay. Lọc chiều và hệ g -tham số. Chỉ số khả quy và số bội bất khả quy. Chỉ số khả quy, hệ số Hilbert và môđun Cohen-Macaulay.

Phân tích bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh 59 3. Phân tích bất khả quy của iđêan đơn thức. Phân tích bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh. Mối quan hệ giữa tập cặp trội tới hạn và thành phần bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh.

82 Tài liệu tham khảo. 84 Mở đầu Trong suốt luận án, luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh chiều d. Trong trường hợp R là vành địa phương, ta ký hiệu m là iđêan cực đại duy nhất của R. Trong trường hợp R là vành đa thức với hệ số trên một trường, ta vẫn dùng ký hiệu m cho iđêan cực đại thuần nhất duy nhất của R.

Một môđun con thực sự N của M là bất khả quy nếu nó không thể viết thành giao của hai môđun con thực sự chứa N. Định lý nổi tiếng trong lý thuyết vành và môđun (chứng minh bởi E. Noether [66] năm 1921 cho trường hợp M = R) phát biểu rằng mọi môđun con thực sự N của M đều phân tích được thành giao của hữu hạn môđun con bất khả quy và số môđun con bất khả quy xuất hiện trong phân tích bất khả quy thu gọn của N là một bất biến không phụ thuộc vào phân tích mà chỉ phụ thuộc vào N và M. Bất biến này được gọi là chỉ số khả quy của N trong M và được ký hiệu là irM (N ).

Trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến chỉ số khả quy của môđun hữu hạn sinh trên vành Noether địa phương và phân tích bất khả quy của lũy thừa iđêan cạnh của đồ thị đơn hữu hạn. Khi vành cơ sở (R, m) là địa phương với trường thặng dư R/m, chỉ số khả quy cung cấp nhiều thông tin quan trọng về cấu trúc của R và M. Rees [46] đã chứng minh rằng R là vành Gorenstein nếu và chỉ nếu irR (q) = 1 với mọi iđêan tham số q của R.