Luận án tiến sĩ - Đạo hàm trung bình và các phương pháp phối hợp để giải một số bài toán biên

TRUONG DAI HQC TONG HOP HA NOl Khoa Toan - Co - Tin hoc " ' • • ' ' ' ' ' ^ \ DAO HAM TRÜNG BÍNH VA CÁC PHÜONG PHÁP PHOI HCÍP • • DE GIÁI MÓT SO BÁI TOAN BIEN Chuyén ngánh: Toan hoc tính toan Más6 1-01-07 LUÁN AN PHO TIEN SI TOAN LY •^•'^ irifí !\¡Ü>^^, : THAY HUONG DAN: PHÁN VAN HAP HA NOI - 1993 AN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agm MUC LUC Chijdng 1 : M¿ dáu $1. Dao hám trxmE binh tích phan $2- Mót so khái niém bo trO w 6 2. Phiidng pháp can bang sai so 7 2. Các phép bien doi toan t\l 8 g ¿: Cae bal toan bien co nghiem khong trun 12 $1_ Bái toan bien d^ng phúc tap có nghiém gián cJoan 12 $2- Bái toan bien dang phúc ta.p có nghiém khóng trdn 17 $3.

Bái toan bien dang don gian có nghiém khóng trdn 19 OJlUOn^ ü - Cae bai toan bien co he so khong tron 20 $1. Bái toan bien mot chiéu d^ng don gian 20 $2_ Bái toan bien mot chiéu dang tóng quát 26 ChllÓn^ 4' Cae bai toan bien eo bien ky di 30 $1. Bái toan bien vói phuong trinh laplaxd 30 $2. Bái toan bien vói phildng trinh poatxóng 42 ChliÓnS d- Mot so philong phap phoi hop giai Bái toan bien khóng dúng tren mién có bien ky di 46 $1- PhUdng pháp bien doi Laplaxd 46 $2.

Phildng pháp duóng thang 50 $3- PhUdng pháp láp tích phán 52 Phu luC 64 AN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.c - 4 A^ CHÜQNGl MO DAU Trong ehudng md dáu, tac giá trinh báy khái niém deo hám trung binh tích phán, mgt so tính chát quan trgng cüa nó vá mgt vái khái niém bó trd. can thiét cho viéc nghién cúu d các chiidng sau. Bao hám trung binh tích phán: 1. Sinh nghia [13]: i) Xét F:X —••• Y (X,Y - B khóng gian)' , Xo ^ X.

néu V h "íi X , ton t^ii: 1 ( F(xo+th)-F(xo) lim dt - SFCxo,h) S-i-O 2Í /g- t thif F(xo,h) ggi lá bien phán trung binh (theo tích phán) thú 1 cüa hám F tai xo. iij Néu tai Xo ta cc5'F(xo,h) ~ Ah trong dó A - Toan tü tuyen tính giói ngi, thi F dUdc ggi la khá vi trung binh, co dao ham trung binh theo tích phán t§.i Xo, vá viét F'(xo, h)= Ah. Nhán xét: De muc dinh nghién cúu cüa luán án nén ó dáy chi sü dung d&o ham trung binh tích phán theo dinh nghia tren. Ta có thé md róng dinh nghia tren báng cách thay thé biéu thúc tronfe i) bói biéu thúc: 1 F(xo+th)-F(xo) 1 im dt = §F(xo.

i) Hién nhién ta có: (FTG)- (xo) - F'(xo) -^ G'^(XO) (<JF)^ ( X O ) = a. iii) Ton tai ^ hám F có dao hám trung binh tai xo, nhUng D kbóng có dao hám Gateaux tai dó. Vi du: F(x) - Ixl khóng có dao hám Gateaux tai xo - O nhUng: F'(o) = lim 1hlsigntdt = O S -i-0 2J - j .^o iv) Hám F có diém góe tai Xo (hinh 1 ). Nhung có thé^dao hám trung binh tai dó fi(x) •2(x) v) Hám F khóng lien "cuc t^i xo, nhUng có thé co GQ^O ham trung binh t5LÍ dó (hinh 2 ).

fiCx) X2(X) Xo fíirih 9. vi) Hám F có dao hám húu han hai phía tai Xo thi co aao hám rrung binh tai dó vá "ca có: _ F^(Xo-rO) + F'(xo-O) F'(xo) = VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agma - 6 - Nhan xet: Các t m h chat i i ) , iii), i v ) , v) suy tú tính chat vi) báy gió ta chúng minh tính chat v i ). Thát váy do gia thiét F có dao hám hai phía tai xo nén de dáng suy ra hám: F(xo+th) - F(xo) f(t): t lien tuc trong lan can t=0^ 5" ---> lim f(t)dt = im [f(5) - f(-Q)] ^'-^O 2ó 2 S-^0 -5 F(Xo-i-5h) - F (Xo) F (Xo-5h) t. Mót s6 Jdiái niém b6 tro 2-1- Nghiém xáp xi [1] iriá sü can tim nghiém :<áp xi cüa phUdng trinh: L(U) = b trong mién o (2.1) Vói các dieu kién: 3(U) - 3 Tren phán bién •'^; (2.2) (u) Tren phán bién " Trong dó o lá mién dude giai vói VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agm L , S, G lá các toan tü vi phán, b, s, g lá các hám da cho.

Giá sü U lá nghiém dúng cüa bái toan (2.3) má ta khóng thg tim dUde báng phUóng pháp giái tích. Ta tim nghiém xáp xi U cüa U dtlói dang: n U* = i: «1 'f>i + «o. ii) V£> O, Vu,3n sao cho: [u- (ZtXiíí?i-HXo)] d x ^ i ¿ Dat (2.8) Trong viee tim nghiem xap xi U sao cho các ham sai se R, Ri, Ra dude xác dinh bdi (2.8) có giá tri bé túy y tren Q + r, da xuát hién nhieu phucng pháp khá ly thú. Dé phuc vu cho viéc nghién cúu d các chüdng sau, chúng tói trích dan phiidng pháp can báng sai só dUdc trinh báy trong [1].

2-2- PhUdng pháp can bang sai so - Giá thiét rang VW déu viét dUde duói dang: Z Bifi (2.2- j i=l "trong dó {^^i} la hé hám dáy du ; {3 i} các hé so. Thé thi moi ham u thoa man dieu kién bien ~inh dúngtúc lá: Ri = Rs - O .2) AN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. 3 ) ; con W dUdc g o l l á hám t r o n g lUdng.4) an ^n Q 3u 3w Trong 36 V toan tü Laplaxó ; ^ ^ ___ lá các Bao hám an 3n theo pháp tuyen cua cae hám u^ w túóng úng. 2-3- các phép bién doi toan tU: 2.

Phép bién doi LapIaxO mót chiéu: i) Dinh nghia: Phép bien Bol Laplaxó mot chleu lá phép bien 361 Bat túóng úng mol hám f(t) mot hám F(s) Búóc xác Binh bol Báng thúc: F(s): = ^ C f ( t ) , s] f(t) e ^"^ dt ii) Dieu kién dü dé ton tai phép bién dói Laplaxd mgt chiéu: Phép bién dói Laplaxd mót chiéu cua hám f(t) ton tai theo nghia hgi tu tuyét dói néu: + 0O a) Ton tai J if(t)[e f(t)(e dt o b) Ton tai ^ [f(t), s] AN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.c - 9 - iii) Phép bién dói ngUdc Laplaxd mót chiéu: - Phép bién dói dat tUdng úng moi hám^F(s) mgt hám f(t) má y. iv) S\t ton tai cüa phép bién dói ngU0c Laplaxd a) Néu F(S) lá hám giái tích vá có cap nhó non (-1) thi ton tai^^[F(s)]., Fn(s)] Trong dó ^(zi, zs, ., Zn) lá hám thoa man dieu kién: '^(Z1,Z2,. = Zn = O ; Fic(s) = ¿' [fi^(t),s] Vk = l,n. thi ot CF(s)] ton tai vá phép bién dói Laplaiíd tUdng úng hgi tu tuyét dói.

v) Tính chát cua phép bién dói Laplaxd: a) Gia thiét Fi(s), F2(s) lá các bién dói Laplaxd cüa các hám fi(t), f2(t) tUdng úng. Thé thi V «, B ik các háng so ta có; ^ [ocfi(t) + tif2(t),s] = ocFi(s) + BF2(S) b) Gia thiét F(s) lá phép bién dói Laplaxd cüa hám f(t), vá ton tai f (t) Vt > O khi dó: ^ [f'(t),s] = sF(s) - f(0+0) c) Gia thiét F(s) lá phép bién dói Laplaxd cüa f(t) vá ton tai dao hám cap r cüa hám f(t) Vt > O the thi; ^ ífit), s] = s F(s) - s f(0+0). - f (0+0) d) Neu^f(ü) lá hám giói ngi Vt >0 vá ton tai f'(t) Vt>0 "crú các diém t=ti, ta,. má tai dó f''t) có cae giói han hai phía húu han, thi ^ [f'Ct),s] = 3F(o)-F(0+0)-Zexp(-t±s) [f(ti+O )-x(-i-O ) ] e) Giá sü F(s) lá phép bién doi Laplaxd cüa hám f(t) khi dó vói moi háng só a ta có: AN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.F( ) f) Giá thiet F(s,íx) lá phép bién dói Laplaxd cüa hám f(t,'-x) trong dó « lá tham so khóng phu thuge váo t vá s.

Tú các tính chát b, vá d, ta có dinh ly thiét láp mói quan hé cüa phép bién dói Laplaxó vá dao hám trung binh nhu sau: Gla thiét f(t) glól nól Vt>0, ton tal Bao hám trung binh f'(t) Vt>0; F(s) lá phép bien Bol Laplaxó cua f(t): + Néu f(t) lien tuc thi-ta có: 3^ [ f - t ) , s] = sF(s) - f(0+0) + Neu f(t) có giói han hai phía hüu han tai tx, t2 .FJPlaxd hai chiéu: i) Dinh nghia: Phép bién dói Laplaxd hai chiéu lá phép bién dói dat tUdng ung moi ham í.) mgt ham Fís) co dang: AN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail. =oCo[f(t),s)] = f(t)e ^ dt ii) Quan hé giüa bién dói Laplaxd hai chiéu vá mgt chiéu: Giá thiét ton tai các phép bién dói Laplaxd mgt chiéu vá hai chiéu cho hám f(t) thé thi: ^ [ f ( t ) , s ] = ^[f(t),s] + ^[f(-t),s] iii) Tính chát cüa phép bién dói Laplaxd hai chiéu: Nhiéu tính chát cüa phép bién dói Laplaxd hai chiéu ¿xií^c suy tú tính chát cüa phép bién dói Laplaxd mgt chiéu. Trong trUÓng hOp riéng ta có; a) ^B'[f(t),s] = ^ [f(t),s] néu f(t) = O khi t ^ 0. 5 AN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.c - 12 - CHÜQNG I I : CAC BAI TOAN BIEN CO NGHIEM KHONG TEON Trong chuong náy trinh báy các bái toan bién có nghiém khóng "crdn da dugc Mactruc [3] dua ra khi mó hinh hóa bái toan ó nhiem mói trudng gáy nén boi mgt nguon nhiem bán có kích thuóc khóng lón so vói pham vi anh hUdng.

$1: Bái toan bién dang phÚc tao có nghiém gián doan •7 ^ Xet qua t r m h khuyech tan va di chuyen cua thUe the eo van toe cüa .khói khóng khi khác khóng, dude mó ta bdi phUdng trinh [3]: 2 d(P(x) d <í>(x) a + B [tp(x) - xu (X-Xo)] = n + Q 5"tx-Xo) dx dx (1.1) dieu kién bién: lim íP(x) - O (1.2) lim (p(x) = X (X > 0) vói eáe giá thiét "Pfx) - giói ngi Vx ^ (-*», - * - ' " ) , '-x , B, u , Q lá các háng só da biét, a > O, u"" (x-Xo) - hám don vi, ¿T (x-Xo) - Dirác Nghiém giái tích cüa (1. j J 1 4B u -ra 1 X < Xo AN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.c 13 do thi nghiém (1.3) có dang Hinh 4 Nhán xe-fc: tai x = Xo nghiém ^(x) gián doan leal 1, nén khóng có dao hám Gateaux; nhüng có dao hám trung binh tích phán. Váy e á ^ dao hám có mat trong bái toan (1.2 có thé hiéu lá dao hám trung binh. Báy gid ta giái bái toáin (1.2) vói giá thiét cae dao hám d dó lá các dao hám trung binh bang phUdng pháp phói hdp phép bién dói laplaxd vá dao hám triing binh.

Dinh lv2: Nghiém^ cua bái toan (1.2) Búóc tim theo phúóng pháp phói hOp Bao hám trung binh vá phép bién Bói Laplaxó trung vói nghiém giái tich (1.