Luận án tiến sĩ: Môđun nội xạ cốt yếu - Nghiên cứu các đặc trưng và mở rộng - ĐẠI HỌC HUẾ, 2020

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THU HÀ MÔĐUN NỘI XẠ CỐT YẾU: CÁC ĐẶC TRƯNG VÀ MỞ RỘNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC HUẾ - NĂM 2020 luan an ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ THU HÀ MÔĐUN NỘI XẠ CỐT YẾU: CÁC ĐẶC TRƯNG VÀ MỞ RỘNG Ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 9460104 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học 1: PGS. TRƯƠNG CÔNG QUỲNH Người hướng dẫn khoa học 2: GS. LÊ VĂN THUYẾT HUẾ - NĂM 2020 luan an LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi được viết riêng hoặc viết chung với các đồng tác giả. Các kết quả nghiên cứu nêu trong luận án là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

NGUYỄN THỊ THU HÀ 3 luan an LỜI CẢM ƠN Đầu tiên tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới hai người Thầy hướng dẫn trực tiếp của tôi là PGS. Trương Công Quỳnh, Trường Đại học Sư phạm-Đại học Đà Nẵng và GS. Lê Văn Thuyết, Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế. Trong suốt quá trình học tập và làm luận án, các thầy đã hết lòng động viên, hướng dẫn và giúp đỡ tôi.

Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo của Khoa Toán và Phòng Sau Đại học của Trường Đại học Sư phạm-Đại học Huế đã giúp đỡ tôi hết sức nhiệt tình và chu đáo. Tôi xin chân thành cảm ơn Khoa Toán, Viện Công nghệ Gebze, Thổ Nhĩ Kỳ và Khoa Đại số-Logic Toán thuộc Viện nghiên cứu Lobachevsky, Trường Đại học Liên bang Kazan, Liên bang Nga đã tạo điều kiện cho tôi được sang học tập và nghiên cứu trong thời gian từ 1/10/2014 đến 30/12/2014 (tại Gebze) và từ 15/5/2018 đến 15/7/2018 (tại Kazan). Tôi xin cảm ơn Viện nghiên cứu cao cấp về Toán (VIASM) đã tạo điều kiện cho tôi được đến tham gia các hội thảo, học tập và nghiên cứu. Tôi chân thành cảm ơn nhóm nghiên cứu của chúng tôi, TS.

Phan Dân, TS. Lê Đức Thoang, TS. Bành Đức Dũng, TS. Phan Thế Hải, TS.

Phan Hồng Tín và các anh chị em nghiên cứu sinh và học viên khác đã cùng tôi trao đổi, giúp tôi giải quyết vấn đề, chia sẻ cùng tôi mọi khó khăn cả trong quá trình nghiên cứu và ngoài cuộc sống. Tôi cảm thấy mình thật may mắn vì được tham gia vào một nhóm nghiên cứu đoàn kết và ấm áp như vậy. Tôi muốn tỏ lòng biết ơn vô hạn tới gia đình tôi, chồng và con gái tôi, bố mẹ, anh chị em tôi. Chính họ đã luôn bên cạnh tôi từ lúc tôi bắt đầu cho đến bây giờ, đây chính là nguồn động viên tinh thần tuyệt vời đã giúp tôi vượt qua những lúc khó khăn tưởng chừng như không thể nào tiếp tục được.

NGUYỄN THỊ THU HÀ 4 luan an DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU KÝ HIỆU NGHĨA CỦA KÝ HIỆU [1] Tài liệu số 1 ở mục "Tài liệu tham khảo" N Tập hợp các số tự nhiên Z Vành các số nguyên Q, R Trường các số hữu tỷ, số thực (tương ứng) |X| Bản số của tập hợp X E(M ) Bao nội xạ của môđun M EndR (M ) Vành các tự đồng cấu của R-môđun M Im(f ), Ker(f ) Ảnh, hạt nhân của đồng cấu f (tương ứng) Mn (R) Vành ma trận vuông cấp n với các hệ tử trên vành R MR (R M ) M là một R-môđun phải, trái (tương ứng) M (I) L M (tổng trực tiếp của |I| bản sao của môđun M ) i∈I MI Q M (tích trực tiếp của |I| bản sao của môđun M ) i∈I N ≤M N là môđun con của môđun M N <M N là môđun con thực sự của môđun M N ≤e M N là môđun con cốt yếu (hay lớn) của môđun M N M N là môđun con đối cốt yếu (hay bé) của môđun M N ≤⊕ M N là hạng tử trực tiếp của môđun M N∼=M N đẳng cấu với môđun M N ⊕M Tổng trực tiếp của môđun N và môđun M rR (X), lR (X) Linh hóa tử phải và trái của tập hợp X trong R R[x] Vành đa thức ẩn x lấy hệ tử trên vành R Rad(M ), J(R) Căn của môđun M , căn của vành R (tương ứng) Soc(M ) Đế của môđun M Sr , Sl Soc(RR ), Soc(R R) Z(M ) Môđun con suy biến của môđun M 5 luan an DANH MỤC CÁC THUẬT NGỮ THUẬT NGỮ TIẾNG ANH bao nội xạ injective hull bất biến hoàn toàn fully invariant bất biến đẳng cấu automorphism-invariant các lũy đẳng có thể nâng được modulo I idempotents modulo I can be lifted chính quy regular đều uniform đế socle địa phương local điều kiện dây chuyền giảm Descending Chain Condition điều kiện dây chuyền tăng Ascending Chain Condition đối nửa đơn co-semisimple đối bất biến đẳng cấu automorphism-coinvariant đơn simple tựa nội xạ self (quasi)-injective tựa nội xạ cốt yếu essentially self (quasi)-injective hạng tử trực tiếp direct summand hoàn chỉnh perfect iđêan ideal không phân tích được indecomposable liên tục continuous linh hóa tử annihilator lũy đẳng idempotent lũy linh nilpotent nguyên thủy primitive nguyên tố prime 6 luan an THUẬT NGỮ TIẾNG ANH nội xạ đơn simple injective nửa hoàn chỉnh semiperfect M -sinh M -generated môđun cốt yếu (lớn) (large) essential module môđun đối cốt yếu (bé) (small) superfluous module môđun mở rộng extending module môđun tựa nội xạ self (quasi)-injective module môđun tự sinh self-generator module mở rộng cốt yếu essential extension nội xạ injective nội xạ cốt yếu essentially injective nội xạ tương hỗ (relative) mutually injective N -nội xạ N -injective N -nội xạ cốt yếu essentially N -injective N -xạ ảnh N -projective N -xạ ảnh bé small N -projective nửa Artin semi Artinian nửa đơn semisimple phần bù giao complement rời rạc discrete suy biến singular thể (vành chia) skew field (division ring) tựa liên tục quasi-continuous trực giao orthogonal vành Artin nửa đơn semisimple Artinian ring xạ ảnh projective xiclic cyclic 7 luan an Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị 19 1.1 Một số ký hiệu và khái niệm cơ bản .2 Môđun nội xạ, xạ ảnh và một số mở rộng .3 Vành nửa đơn Artin, vành hoàn chỉnh, nửa hoàn chỉnh và các trường hợp tổng quát. 27 2 Môđun nội xạ cốt yếu và các mở rộng 31 2.1 Định nghĩa và ví dụ .2 Các kết quả liên quan đến môđun nội xạ cốt yếu và môđun bất biến đẳng cấu. 37 3 Môđun xạ ảnh bé và các vành liên quan 57 3.1 Môđun xạ ảnh bé và môđun đối bất biến đẳng cấu .2 Đặc trưng môđun nội xạ cốt yếu và xạ ảnh bé trên các vành liên quan .3 Vành mà mọi môđun xiclic trên nó là đối bất biến đẳng cấu 73 Tài liệu tham khảo 89 8 luan an MỞ ĐẦU Từ một tập hợp nào đó khác rỗng, người ta đưa vào một số phép toán cùng các quy tắc đã được xác định để tạo nên các cấu trúc đại số. Cùng với nhóm và trường, vành là một trong ba cấu trúc cơ bản nhất của đại số và có nhiều ứng dụng rộng rãi.

Lý thuyết vành đã xuất hiện khoảng 120 năm trước và ngày càng phát triển mạnh mẽ. Theo một cách cổ điển, người ta sẽ xét tính chất một vành bằng cách đi tìm hiểu các tính chất của cấu trúc con trên vành như iđêan, vành con, đồng cấu. Sau này người ta chứng minh được rằng tính chất của các R-môđun trên vành R cũng ảnh hưởng đến tính chất của chính vành đó. Ví dụ như khi mọi R-môđun phải (trái) là nội xạ (xạ ảnh) thì vành đó là vành nửa đơn.

Vì thế, trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu cấu trúc của vành thông qua việc xem xét các môđun trên chúng. Trong lý thuyết môđun thì hai lớp môđun nội xạ và xạ ảnh đóng vai trò chủ đạo. Ý tưởng về môđun nội xạ xuất hiện đầu tiên vào năm 1940 do Baer đưa ra cho nhóm Aben, nhưng thuật ngữ "nội xạ" được đưa ra bởi Eckman-Schopf năm 1953. Sau này khái niệm môđun nội xạ được mở rộng hơn qua định nghĩa: môđun M được gọi là N -nội xạ nếu với mọi môđun con A của N thì mọi đồng cấu f : A → M đều mở rộng được thành đồng cấu g : N → M.

Vì mỗi vành có đơn vị là một môđun phải và trái trên chính nó và mỗi iđêan phải (tương ứng, trái) của R là một R-môđun phải (tương ứng, trái) nên Baer cũng đồng thời đưa ra một tiêu chuẩn để kiểm tra tính nội xạ của một môđun M. "Tiêu chuẩn Baer" nổi tiếng đó được phát biểu như sau: Môđun NR là nội xạ nếu với mọi iđêan phải I của R, mọi đồng cấu f : I → N luôn tồn tại đồng cấu f¯ : RR → N sao cho f¯ là mở rộng của f. Trong quá trình nghiên cứu lớp môđun nội xạ, các nhà khoa học bắt đầu chú ý đến việc mở rộng lớp môđun này, mục đích là bổ sung một số tính chất vào một môđun nội xạ để có thể đặc trưng vành được dễ dàng 9 luan an hơn. Sau khi tiêu chuẩn Baer ra đời, xuất hiện hai hướng nghiên cứu chính về sự mở rộng của môđun nội xạ.

Đó là nghiên cứu sự mở rộng môđun nội xạ từ Tiêu chuẩn Baer và từ định nghĩa. Trong luận án này, vì mục đích riêng, nên chủ yếu chúng tôi đề cập đến sự mở rộng của môđun nội xạ từ định nghĩa. Mở rộng của môđun nội xạ là môđun tựa nội xạ được các tác giả Johnson và Wong đưa ra năm 1961 trong [24]. Một R-môđun phải M được gọi là tựa nội xạ (hay tự nội xạ) nếu M là M -nội xạ.

Môđun tựa nội xạ là một mở rộng thực sự của môđun nội xạ. Cũng trong bài báo này, các tác giả trên đã chứng minh được rằng một môđun là tựa nội xạ nếu nó bất biến hoàn toàn qua mọi tự đồng cấu của bao nội xạ của nó. Kết quả này đưa ra một xu thế mới khi nghiên cứu về lý thuyết môđun, đó là nghiên cứu các môđun bất biến (dưới các tự đồng cấu lũy đẳng của bao nội xạ, dưới các tự đẳng cấu của bao nội xạ,. Đã có rất nhiều tác giả nghiên cứu về lớp môđun tựa nội xạ và các mở rộng của nó và thu được nhiều kết quả, có thể kể đến là Dinh-Holston- Huynh ([14], 2012), Lee-Zhou ([32], 2013), Er-Singh-Srivastava ([15], 2013), Singh- Srivastava ([44], 2014), Guil Asensio-Tutuncu-Srivastava ([20], 2015), Quynh-Kosan ([41], 2015), Thuyet-Dan-Quynh ([47], 2016),.

Tiếp tục theo hướng mở rộng này, một mở rộng khác của môđun nội xạ, đó là môđun nội xạ cốt yếu đã được đưa ra trong sách chuyên khảo của Dung-Huynh-Smith-Wisbauer năm 1994 (xem [11]).