Luận án tiến sĩ - Sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THANH HIỀN SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGHỆ AN - 2020 luan an BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THANH HIỀN SỰ HỘI TỤ CỦA TỔNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê Toán học Mã số: 9.06 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. LÊ VĂN THÀNH NGHỆ AN - 2020 luan an i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của đồng tác giả trước khi đưa vào luận án. Các kết quả được trình bày trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trước đó.

Tác giả Nguyễn Thị Thanh Hiền luan an ii LỜI CẢM ƠN Luận án được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của PGS. Lời đầu tiên, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới PGS. Lê Văn Thành, người đã đặt bài toán, định hướng nghiên cứu, động viên, giúp đỡ tận tình và chu đáo trong suốt quá trình tác giả học tập và thực hiện luận án. Tác giả xin cảm ơn ThS.

Vũ Thị Ngọc Ánh và TS. Võ Thị Hồng Vân về những thảo luận và góp ý từ lúc viết bản thảo cho tới khi hoàn thiện luận án. Trong quá trình hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sự quan tâm và góp ý của GS. Nguyễn Văn Quảng, TS.

Nguyễn Thị Thế, TS. Nguyễn Trung Hòa, TS. Nguyễn Thanh Diệu, TS. Dương Xuân Giáp, PGS.

Phan Đức Thành, PGS. Trần Xuân Sinh cùng các nhà khoa học và các đồng nghiệp trong bộ môn Xác suất thống kê và Toán ứng dụng. Tác giả xin chân thành cảm ơn về những sự giúp đỡ quý báu đó. Tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới Viện Sư phạm Tự nhiên và Phòng Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh về sự hỗ trợ và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của một nghiên cứu sinh.

Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp, các nghiên cứu sinh, các thành viên trong nhóm seminar do PGS. Lê Văn Thành chủ trì về những góp ý, thảo luận bổ ích. Cuối cùng, tác giả xin gửi tới gia đình, người thân, bạn bè lời biết ơn chân thành và sâu sắc về sự động viên, chia sẻ đã dành cho tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và công tác. Nguyễn Thị Thanh Hiền luan an iii MỤC LỤC Một số ký hiệu thường dùng trong luận án 1 Mở đầu 3 Chương 1.

Kiến thức chuẩn bị 10 1. Biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm, biến ngẫu nhiên liên kết âm. Phần tử ngẫu nhiên liên kết âm, phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm 16 1. Hàm biến đổi chậm.

Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert 31 2. Luật mạnh số lớn và sự hội tụ đầy đủ. Luật yếu số lớn. Luật số lớn và sự hội tụ đầy đủ của dãy các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm theo tọa độ nhận giá trị trong không gian Hilbert 56 3.

Luật mạnh số lớn và sự hội tụ đầy đủ. Luật yếu số lớn. 71 Kết luận và kiến nghị 78 Danh mục các công trình liên quan trực tiếp đến luận án 80 Tài liệu tham khảo 81 luan an 1 MỘT SỐ KÝ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN N Tập hợp các số nguyên dương R Tập hợp các số thực (Ω, F, P) Không gian xác suất đầy đủ H Không gian Hilbert thực, khả ly B(H) σ - đại số Borel của H B Tập các chỉ số của hệ cơ sở trực chuẩn của H log x Logarit cơ số 2 của số thực dương x ln x Logarit tự nhiên của số thực dương x a+ max{a, 0}, trong đó a ∈ R a− max{−a, 0}, trong đó a ∈ R EX Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên hoặc phần tử ngẫu nhiên X Var(X) Phương sai của biến ngẫu nhiên X Cov(X, Y ) Covariance của các biến ngẫu nhiên X và Y I(A) Hàm chỉ tiêu của tập hợp A h. Hầu chắc chắn P Xn → X Xn hội tụ theo xác suất đến X L Xn →2 X Xn hội tụ theo trung bình cấp 2 đến X |A| Lực lượng của tập hợp A X (j) Tọa độ thứ j của phần tử ngẫu nhiên X h·, ·i Tích vô hướng trong H k.k Chuẩn sinh bởi tích vô hướng trong H kXk Chuẩn của phần tử ngẫu nhiên X [x] Phần nguyên của số thực x d X=Y Các phần tử ngẫu nhiên X và Y cùng phân phối lim inf An Giới hạn dưới của dãy các biến cố {An } lim sup An Giới hạn trên của dãy các biến cố {An } N (0, 1) Phân phối chuẩn tắc luan an 2 N (µ, σ 2 ) Phân phối chuẩn với các tham số µ, σ 2 f (n) f (n) ∼ g(n) lim = 1, trong đó f (n) và g(n) là các hàm số dương n→∞ g(n) tr.

i Trang thứ i trong tài liệu được trích dẫn tr. i-j Từ trang thứ i đến trang thứ j trong tài liệu được trích dẫn RV Họ các hàm biến đổi chính quy SV Họ các hàm biến đổi chậm K Hằng số dương và có thể không giống nhau ở mỗi lần xuất hiện an = o(1) lim an = 0 n→∞ 2 Kết thúc chứng minh luan an 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 1. Luật số lớn là một bài toán cổ điển của lý thuyết xác suất, nó khẳng định trung bình cộng của các biến ngẫu nhiên độc lập, cùng phân phối hội tụ hầu chắc chắn hoặc hội tụ theo xác suất về kỳ vọng của các biến ngẫu nhiên đó.

Tuy nhiên, nó vẫn luôn là vấn đề thời sự, được nhiều nhà toán học quan tâm, nghiên cứu và có nhiều ứng dụng trong thống kê, toán kinh tế, khoa học tự nhiên và một số lĩnh vực khác. Chính vì vậy, việc nghiên cứu luật số lớn không chỉ có ý nghĩa lý thuyết mà còn có ý nghĩa thực tiễn. Tính độc lập của các biến ngẫu nhiên đóng một vai trò quan trọng khi nghiên cứu về lý thuyết xác suất. Tuy nhiên, các hiện tượng ngẫu nhiên xảy ra trong thực tiễn thường phụ thuộc lẫn nhau.

Do đó, chúng ta phải tìm hiểu, nghiên cứu các kiểu phụ thuộc khác nhau của các biến ngẫu nhiên để phù hợp với những bài toán ứng dụng trong thực tế như: phụ thuộc martingale, phụ thuộc địa phương (local dependence), liên kết âm (negative association), phụ thuộc âm (negative dependence),. Những thông tin về phân phối, các đặc trưng, dáng điệu,.của tổng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc (khi số các biến ngẫu nhiên đủ lớn) có rất nhiều ứng dụng trong thống kê, khoa học máy tính, ma trận ngẫu nhiên, toán tài chính, điều khiển tối ưu,.Tùy vào từng cấu trúc phụ thuộc khác nhau mà chúng ta cần có những kỹ thuật, công cụ khác nhau để giải quyết các bài toán với các cấu trúc phụ thuộc tương ứng. Sự phát triển các định lý giới hạn trong lý thuyết xác suất đã dẫn đến nhiều kết quả tổng quát hơn các kết quả cổ điển. Một trong những hướng tổng quát đó là, từ những kết quả đã có đối với các biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng sang cho các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị luan an 4 trong các không gian trừu tượng khác nhau như: không gian metric, không gian Banach, không gian Hilbert,.

Khi nghiên cứu về luật số lớn và các định lý giới hạn, đã có rất nhiều tác giả thu được những kết quả tốt như: Gilles Pisier, Michel Talagrand, Andrew Rosalsky, Pedro Terán, Nguyễn Văn Quảng, Nguyễn Trần Thuận,. Sự hội tụ của tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên có nhiều ứng dụng trong điều khiển ngẫu nhiên và thống kê toán học, như các mô hình hồi quy phi tham số, phương pháp đánh giá bình phương tối thiểu,. Bài toán đánh giá bình phương tối thiểu của mô hình hồi quy bội ngẫu nhiên được khởi xướng trong bài báo năm 1978 bởi các tác giả Lai, Robbins và Wei [31]. Kể từ đó đến nay, mô hình này được kế thừa và tiếp tục phát triển trong các mô hình phụ thuộc khác nhau, chẳng hạn như Breton, Musiela xét cho quá trình nửa martingale [8] và gần đây là công trình của Arie Preminger và Giuseppe Storti xét cho quá trình nhiễu có xác suất đuôi rất lớn [2].

Bài toán mô hình hồi quy phi tham số cũng được đưa về tổng có trọng số các biến ngẫu nhiên. Với các lý do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: “Sự hội tụ của tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian Hilbert”. Mục đích nghiên cứu Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu điều kiện để dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian Hilbert thỏa mãn luật mạnh số lớn, luật yếu số lớn và sự hội tụ đầy đủ. Cụ thể, chúng tôi nghiên cứu các nội dung sau: - Nghiên cứu các bất đẳng thức và các tính chất liên quan đối với tổng các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian Hilbert; - Xây dựng khái niệm phụ thuộc âm theo tọa độ, phụ thuộc âm đôi một theo tọa độ đối với các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian luan an 5 Hilbert; - Thiết lập luật yếu số lớn đối với tổng ngẫu nhiên và tổng không ngẫu nhiên của các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm, liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert; - Thiết lập luật mạnh số lớn đối với dãy các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc âm, liên kết âm nhận giá trị trong không gian Hilbert; - Tìm các ví dụ và phản ví dụ để minh họa cho các kết quả lý thuyết; - Nghiên cứu và đề xuất các điều kiện để thu được sự hội tụ đầy đủ đối với tổng có trọng số các phần tử ngẫu nhiên phụ thuộc nhận giá trị trong không gian Hilbert.

Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu chính của luận án bao gồm: - Các phần tử ngẫu nhiên liên kết âm, phụ thuộc âm, phụ thuộc âm đôi một đối với các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Hilbert; - Các định lý giới hạn dạng luật yếu số lớn, luật mạnh số lớn, sự hội tụ đầy đủ.