Luận án tiến sĩ dưới thác triển các hàm đa điều hòa dưới - Tác giả Triệu Văn Dũng, ĐH Sư phạm Hà Nội

1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận án này do chính tác giả thực hiện tại Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH Lê Mậu Hải. Các kết quả của Luận án là mới, đề tài của Luận án không trùng lặp và chưa được công bố trong bất cứ công trình của ai khác. Tác giả Triệu Văn Dũng 2 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, bằng tất cả sự kính trọng của mình, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới GS.

TSKH Lê Mậu Hải, người thầy đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn khoa học giúp tôi hoàn thành Luận án này tại Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Tôi đã thường xuyên nhận được sự chỉ dẫn khoa học cùng với sự chia sẻ, động viên khích lệ để có được sự tự tin và lòng đam mê ngay từ chặng đường đầu tiên của sự nghiệp nghiên cứu khoa học của mình. Được sinh hoạt và làm việc cùng một tập thể khoa học nghiêm túc, tôi cảm ơn các thầy cô, các bạn đồng nghiệp và toàn thể các thành viên của tổ Lý thuyết hàm Trường Đại học Sư phạm Hà Nội. Chính tại đây, ngoài sự chỉ dẫn, góp ý trực tiếp của các thành viên trong seminar của bộ môn Lý thuyết hàm đối với đề tài nghiên cứu, tôi còn có cơ hội trang bị cho mình về phương pháp nghiên cứu và những hiểu biết sâu sắc hơn về nhiều vấn đề Toán học.

Nhân dịp này, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn tới các thầy cô trong tổ Lý thuyết hàm đã cho tôi những góp ý rất có ý nghĩa trong quá trình làm Luận án của mình. Tôi xin cảm ơn Lãnh đạo trường THPT Chuyên Hùng Vương, Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội và các đơn vị chức năng đã tạo cho tôi mọi điều kiện thuận lợi về mặt quản lý nhà nước trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Cuối cùng, tôi xin tỏ lòng tri ân đối với những đồng nghiệp, gia đình và bạn bè là những điểm tựa tinh thần vững chắc, đã giúp đỡ, động viên, chia sẻ những khó khăn và luôn đồng hành cùng tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả Mục lục Lời cam đoan 1 Lời cảm ơn 2 Kí hiệu 5 Mở đầu 6 Tổng quan về dưới thác triển của các hàm đa điều hòa dưới và phương trình kiểu Monge–Ampère 12 1 Dưới thác triển các hàm đa điều hòa dưới với giá trị biên trong lớp năng lượng phức có trọng 24 1.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ .2 Dưới thác triển của hàm đa điều hòa trong lớp Eχ (Ω, f ).

30 2 Dưới thác triển các hàm đa điều hoà dưới trong miền siêu lồi không bị chặn và ứng dụng 40 2.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ .2 Dưới thác triển trên miền siêu lồi không bị chặn. 56 3 Dưới thác triển của hàm m-điều hòa dưới 61 3 4 3.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ .2 Dưới thác triển trong lớp Fm (Ω). 66 4 Phương trình kiểu Monge–Ampère cho một độ đo bất kỳ 80 4.2 Phương trình kiểu Monge–Ampère cho một độ đo bất kỳ. 82 Kết luận và kiến nghị 91 Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án 93 Tài liệu tham khảo 95 5 KÍ HIỆU • P SH(Ω) - Tập các hàm đa điều hòa dưới trên Ω.

• P SH − (Ω) - Tập các hàm đa điều hòa dưới âm trên Ω. • PSHs (Ω) - Tập các hàm đa điều hòa dưới chặt trên Ω • SH(Ω) - Tập các hàm điều hòa dưới trên Ω. • SH − (Ω) - Tập các hàm điều hòa dưới âm trên Ω. • SHm (Ω) - Tập các hàm m-điều hòa dưới trên Ω.

− • SHm (Ω) - Tập các hàm m-điều hòa dưới âm trên Ω. • M P SH(Ω) - Tập các hàm đa điều hòa dưới cực đại trên Ω. • M P SH − (Ω) - Tập các hàm đa điều hòa dưới cực đại âm trên Ω. • L∞ loc (Ω) - Không gian các hàm bị chặn địa phương trên Ω.

• L∞ (Ω) - Không gian các hàm bị chặn trên Ω. • d = ∂ + ∂ và dc = 4i (∂ − ∂), ddc = 2i ∂∂ là các toán tử vi phân phức. • (ddc u)n = ddc u ∧ · · · ∧ ddc u - toán tử Monge-Ampère phức của u. • Hm (u) = (ddc u)m ∧ β n−m - toán tử Hessian phức của u.

β n = ( 2i )n dz1 ∧ dz 1 ∧ · · · ∧ dzn ∧ dz n = dV2n P • β = dd kzk = 2 j=1 là dạng thể tích của Cn ∼ = R2n. • C(Ω)- Tập các hàm liên tục trên Ω. • C ∞ (Ω)- Tập các hàm trơn vô hạn trên Ω. • uj % u - Kí hiệu dãy {uj } hội tụ tăng tới u.

• uj & u - Kí hiệu dãy {uj } hội tụ giảm tới u. • 1A = χA - Kí hiệu hàm đặc trưng của tập A. Lý do chọn đề tài Việc thác triển các đối tượng của giải tích phức như thác triển hàm chỉnh hình, hàm phân hình, bó giải tích coherent, dòng, v. luôn được quan tâm nhiều trong giải tích phức cũng như trong lý thuyết đa thế vị phức.

Một trong các đối tượng được quan tâm nghiên cứu và có thể coi là đối tượng trung tâm của lý thuyết đa thế vị là hàm đa điều hòa dưới. Do đó cũng như các đối tượng đã nói ở trên, việc xét bài toán thác triển của hàm đa điều hòa dưới là việc cần lưu tâm tới khi nghiên cứu các bài toán của lý thuyết đa thế vị. Nhưng do các hàm đa điều hòa dưới, từ định nghĩa của nó, lại được xác định nhờ bất đẳng thức tích phân, nên khi xét vấn đề này, người ta quan tâm tới bài toán dưới thác triển. Trong luận án này, chúng tôi dành phần lớn nội dung trình bày vấn đề dưới thác triển cho lớp hàm đa điều hòa dưới không bị chặn cũng như các hàm m-điều hòa dưới không bị chặn.

Các vấn đề được đề cập mới được quan tâm nghiên cứu trong khoảng 10 năm trở lại đây. Từ năm 1998 đến 2004, Cegrell, một trong các chuyên gia hàng đầu thế giới về lý thuyết đa thế vị, đã xây dựng toán tử Monge-Ampère cho một số lớp hàm đa điều hòa dưới không bị chặn địa phương. Ông đã đưa ra các lớp Ep (Ω), Fp (Ω), F(Ω), N (Ω) và E(Ω). Đó là các lớp hàm đa điều hòa dưới không bị chặn khác nhau trên miền siêu lồi Ω ⊂ Cn mà trên đó toán tử (ddc .)n có thể xác định được và liên tục trên các dãy giảm.

Trong đó lớp E(Ω) là lớp lớn nhất trên đó toán tử Monge–Ampère được xác định như là một độ đo Radon. 6 7 Kể từ đó, người ta bắt đầu hướng sự quan tâm của bài toán dưới thác triển tới các lớp này. Năm 2003, Cegrell và Zeriahi trong [27] đã nghiên cứu bài toán dưới thác triển cho lớp F(Ω) một lớp con của lớp E(Ω). Các tác giả đã chứng minh được rằng: Nếu Ω b Ωe là những miền siêu lồi bị chặn trong Cn và u ∈ F(Ω), e ∈ F(Ω) sao cho u thì tồn tại u e ≤ u trên Ω, u e sau này gọi là dưới thác triển của u từ Ω lên Ω.

e Điều đáng quan tâm ở đây là các tác giả cho một đánh giá về mass toàn thể của độ đo (ddc u e)n và (ddc u)n qua bất đẳng thức (ddc u e)n ≤ (ddc u)n. Kết quả trên có thể được xem là kết quả đầu tiên cho R R Ω e Ω việc nghiên cứu vấn đề dưới thác triển các hàm đa điều hòa dưới không bị chặn. Việc xét bài toán dưới thác triển trong các lớp Cegrell có giá trị biên được bắt đầu từ Czyż, Hed năm 2008 trong [34]. Chúng tôi sẽ trình bày kỹ hơn các kết quả của Czyż và Hed ở đầu phần tổng quan trong luận án này.

Điều đáng nói và là chủ đề xuyên suốt trong luận án này là quan hệ thế nào giữa độ đo (ddc u e)n và 1Ω (ddc u)n với u e là dưới thác triển của u. Phần lớn các kết quả của các tác giả như Cegrell - Zeriahi, P.Hiep, Benelkourchi hay Czyż và Hed chỉ dừng lại ở đánh giá được quan hệ giữa mass toàn thể của (ddc u e)n và mass của (ddc u)n. Do vậy, việc nghiên cứu vấn đề dưới thác triển các hàm đa điều hòa dưới mà có thể kiểm soát được độ đo Monge-Ampère của hàm dưới thác triển và hàm đã cho là một câu hỏi mở. Năm 2014, trong [41] hai tác giả L.

Hồng đã nghiên cứu bài toán dưới thác triển cho lớp F(Ω, f ). Điều đáng nói ở đây là họ đã chứng minh được đẳng thức về độ đo Monge-Ampère của hàm dưới thác triển và hàm đã cho. Do vậy một vấn đề cần nghiên cứu là liệu có thể mở rộng kết quả trong [41] cho lớp hàm rộng hơn, lớp Eχ (Ω, f )? Vấn đề tiếp theo được quan tâm nghiên cứu trong luận án này là thiết lập dưới thác triển của các hàm đa điều hòa dưới trên các miền không bị chặn. Chúng ta biết rằng để có thể xác định được dưới thác triển u e của u 8 thì nói chung ta phải giải phương trình Monge-Ampère.

Tuy nhiên việc giải phương trình Monge-Ampère trên miền không bị chặn trong Cn không phải là việc đơn giản. Năm 2014, một kết quả quan trọng trong giải phương trình Monge-Ampère cho miền siêu lồi không bị chặn trong Cn được ba tác giả L. Hồng đề xuất trong [44]. Từ đó đưa ra phương hướng cho chúng tôi xét bài toán dưới thác triển các hàm đa điều hòa dưới trong lớp F(Ω, f ) với Ω là miền siêu lồi không bị chặn.

Từ kết quả này như một ứng dụng, chúng tôi nghiên cứu bài toán xấp xỉ các hàm đa điều hòa dưới bằng dãy tăng các hàm đa điều hòa dưới trên các miền rộng hơn. Tiếp theo đó, ở chương 3 của luận án này chúng tôi xem xét dưới thác triển cho lớp hàm m-điều hòa dưới. Như đã biết, việc mở rộng lớp hàm đa điều hòa dưới trong thời gian gần đây đã được một số tác giả nghiên cứu như Z. Blocki đã đưa ra khái niệm hàm m-điều hòa dưới (SHm (Ω)) và nghiên cứu lời giải cho nghiệm của phương trình Hessian thuần nhất đối với lớp này.

Theo đó, năm 2012 trong công trình [31], L.