Luận án tiến sĩ hệ động lực ngẫu nhiên ẩn rời rạc - Vũ Tiến Việt - Đại học Khoa học Tự nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ TIẾN VIỆT HỆ ĐỘNG LỰC NGẪU NHIÊN ẨN RỜI RẠC VÀ ÁP DỤNG LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2013 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ TIẾN VIỆT HỆ ĐỘNG LỰC NGẪU NHIÊN ẨN RỜI RẠC VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học Mã số: 62 46 15 01 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn khoa học: 1. GS-TS Nguyễn Hữu Dư 2. TS Nguyễn Hồng Hải Hà Nội - 2013 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Luận án này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.

Nguyễn Hữu Dư và TS. Nguyễn Hồng Hải. Các số liệu, kết quả nêu trong Luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả Vũ Tiến Việt LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới GS-TS Nguyễn Hữu Dư và NCVCC-TS Nguyễn Hồng Hải.

Các thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi vượt qua nhiều khó khăn trong học tập, nghiên cứu khoa học cũng như trong cuộc sống. Tôi xin trân trọng cảm ơn toàn thể các Thầy, Cô và cán bộ trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. Những người đã dạy dỗ, giúp đỡ tôi trong suốt nhiều năm qua, từ khi tôi là một học sinh A0, đến khi là sinh viên đại học, sau là một học viên cao học rồi là một nghiên cứu sinh. Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã động viên giúp đỡ tôi trong cuộc sống để tôi có thể hoàn thành luận án này.

Tôi cũng xin trân trọng cảm ơn riêng GS-TSKH Nguyễn Duy Tiến và GS-TS Nguyễn Quý Hỷ đã động viên và tạo những điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án này. Tác giả Vũ Tiến Việt LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục Danh mục các ký hiệu sử dụng trong luận án iii Mở đầu 1 Chu.ng 1 Một số kiến thức chuẩn bị 11 1.1 Một số kiến thức đại số tuyến tính .1 Chỉ số của ma trận và của chùm hai ma trận .2 Khai triển Jordan và khai triển Kronecker .3 Một vài tính chất của bộ ba các ma trận .4 Nghịch đảo suy rộng Moore-Penrose của một ma trận 16 1.2 Số mũ Lyapunov và Định lý ergodic nhân tính (MET) .2 Định lý ergodic nhân tính (MET) .ng 2 Đồng chu trình suy biến với chỉ số 1 và số mũ Lyapunov 22 2.2 Tính giải được của phương trình sai phân ẩn chỉ số 1 .1 Phương trình sai phân ẩn thuần nhất với hệ số hằng 23 2.2 Phương trình sai phân không Autonom có chỉ số 1 .3 Phép chiếu chuẩn tắc .4 Toán tử Cauchy .3 Phương trình sai phân ẩn với hệ số ngẫu nhiên. 30 i LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.1 Sự tồn tại nghiệm của phương trình (2.2 Nghiệm của phương trình sai phân ẩn lùi .4 Tính chất động lực .5 Số mũ Lyapunov và Định lý ergodic nhân tính .ng 3 Phương trình sai phân ẩn chỉ số 2 50 3.2 Phương trình sai phân ẩn với chỉ số 2 mềm .3 Tính giải được của phương trình sai phân ngẫu nhiên ẩn tuyến tính chỉ số 2 .4 Định lý ergodic nhân tính đối với phương trình sai phân ngẫu nhiên ẩn tuyến tính chỉ số 2 .1 Nghiệm của bài toán Cauchy với phương trình tiến 68 3.2 Nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình lùi .3 Tính chất đồng chu trình của nghiệm .4 Định lý ergodic nhân tính .5 Các ví dụ minh hoạ. 81 Áp dụng 83 Kết luận và các hướng nghiên cứu tiếp theo 91 Các công trình khoa học của tác giả liên quan đến luận án 93 Tài liệu tham khảo 94 ii LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU SỬ DỤNG TRONG LUẬN ÁN (A, B) : cặp ma trận (A, A, B) : bộ ba ma trận det A : định thức của ma trận A dim W , dim(W ) : số chiều của không gian W GL(Rd ): nhóm các ma trận khả nghịch cấp d × d Ik , I : ma trận đơn vị kích thước k × k, d × d im A : ảnh của ma trận A ker A : nhân của ma trận A ind A : chỉ số của ma trận A ind(A, B) : chỉ số của cặp ma trận (A, B) Jf : không gian các điều kiện ban đầu cho bài toán với n > 0 Jb : không gian các điều kiện ban đầu cho bài toán với n < 0 M† : Nghịch đảo suy rộng Moore-Penrose của ma trận M Nn : nhân của toán tử tuyến tính An N1,n : nhân của toán tử tuyến tính ker Gn N: tập hợp số tự nhiên N0 = N ∪ {0} : tập hợp các số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 0 Nk : tập hợp các số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng k Z: tập hợp số nguyên R, C : trường số thực, trường số phức Rd , (Cd ) : không gian véctơ thực (phức) d chiều Re(z): phần thực của số phức z Rr×s , (Cr×s ) : không gian các ma trận thực (phức) kích thước r × s Or×s , Ok , O : ma trận không kích thước r × s, k × k, d × d iii LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Pe : phép chiếu chính tắc từ Rd lên Rr song song với Rd−r Qe: phép chiếu chính tắc từ Rd lên Rd−r song song với Rr Qn : phép chiếu từ Rd lên Nn Q1,n : toán tử chiếu lên ker Gn rankA : hạng của A Sn : không gian chứa nghiệm của phương trình sai phân chỉ số 1: An xn+1 = Bn xn + qn = {ξ | Bn ξ ∈ im An } S1,n : không gian chứa nghiệm của phương trình chỉ số 2 = {z ∈ Rd , : Bn Pn−1 z ∈ im Gn } X >: ma trận (véctơ) chuyển vị của ma trận (vector) X Φ(n, m) : Ma trận Cauchy của phương trình sai phân ẩn λ[f ]: số mũ Lyapunov của hàm f λ[x]: số mũ Lyapunov của nghiệm xuất phát từ X(t, x) 0: véctơ không trong không gian tương ứng đang xét.

L : tổng trực tiếp. span(S) : Bao tuyến tính của tập hợp S gồm các véctơ. Các chữ viết tắt: h.c: Hầu chắc chắn h.d: Độc lập, cùng phân phối PTSPÂTT: Phương trình sai phân ẩn tuyến tính SVD: Khai triển theo giá trị kì dị iv LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mở đầu Phương trình sai phân là công cụ mạnh để mô tả sự phát triển của hệ đang nghiên cứu được quan sát trên những khoảng thời gian cách đều nhau và giá trị tại thời điểm thứ n được biểu diễn truy hồi qua các giá trị trong quá khứ trước n. Vì thế, lý thuyết phương trình sai phân là đối tượng được nhiều nhà nghiên cứu và ứng dụng quan tâm vì nó xuất hiện ở nhiều lĩnh vực khác nhau trong toán học cũng như trong ứng dụng thực tế và các khoa học khác, chẳng hạn trong giải tích số, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, lý thuyết số, lý thuyết xác suất, giải tích tổ hợp, khoa học máy tính, lý thuyết mạch, lý thuyết lượng tử, di truyền học, kinh tế học, tâm lý học và xã hội học.

Thí dụ, xét quá trình phát triển của quần thể có cấu trúc tuổi trong một hệ sinh thái nào đó. Nếu gọi xn+1 là véctơ cấu trúc của quần thể tại thời điểm năm n + 1 (tức số lượng cá thể ở từng lứa tuổi của quần thể tại năm n + 1) thì xn+1 là một hàm của véctơ cấu trúc quần thể xn tại thời điểm năm trước đó. Sự liên hệ này được mô tả bởi hệ thức xn+1 = f (xn , n), n ∈ N0. Trong trường hợp mối liên hệ này là tuyến tính thì phương trình có dạng xn+1 = An xn , n ∈ N0 , (0.1) với An là ma trận Leslie có dạng   f0 f1.

sd−2 0 1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com trong đó d là tuổi cao nhất đạt được của quần thể; fi là tỷ lệ sinh cá thể mới của một cá thể có tuổi i; si là tỷ lệ sống sót của tuổi i với i = 1, 2,. Phương trình sai phân cũng được gặp khi áp dụng phương pháp sai phân hữu hạn, phương pháp Euler hiện để tìm nghiệm xấp xỉ bằng số của phương trình đạo hàm riêng hoặc phương trình vi phân khi ta không thể tìm được nghiệm giải tích của hệ dx = f (x(t), t), t ∈ [0, T ]. dt Dạng tổng quát của phương trình sai phân được cho như sau F (xn+1 , xn , xn−1 , .2) trong đó F là một hàm nào đó. Trong trường hợp k hữu hạn, phương trình sai phân (0.2) được gọi là phương trình sai phân cấp k + 1.

Một trường hợp đặc biệt (dạng tường minh) nhưng quan trọng của phương trình sai phân (0.2) là xn+1 = f (xn , xn−1 , xn−2 , .3) trong đó f là một hàm nào đó. Nghiệm của phương trình sai phân (0.3) có thể tính dễ dàng nhờ phương pháp truy hồi, tức tính lần lượt với n = 1, 2, 3,. Các kết quả về phương trình sai phân liên quan đến các bài toán giải nghiệm, tính ổn định, điều khiển được, điều khiển tối ưu, số mũ Lia- punov. cùng các ứng dụng là rất phong phú và được trình bày rất nhiều trong các sách cũng như tạp chí (xem các tài liệu [6, 7, 26, 36, 27, 28,.

Đối với phương trình (0.2), nếu ta có thể giải số hạng có chỉ số cao nhất xn+1 như là một hàm của các biến còn lại (ít nhất là về mặt địa phương) thì phương trình (0.2) có thể chuyển về phương trình (0.3) và ta dễ dàng giải được nghiệm của nó. Trong trường hợp 1 chiều (tức xn lấy 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com giá trị vô hướng) thì theo định lý hàm ẩn, điều kiện đủ để giải được như vậy là ∂x∂F n+1 6= 0. Trong trường hợp tổng quát hơn ta giả thiết ker ∂x∂F n+1 = {0}. Tuy nhiên tình hình sẽ trở nên phức tạp nếu ker ∂x∂F n+1 6= {0}.

Khi đó chúng ta có thể không thể giải được xn+1 từ phương trình (0.2) theo các biến còn lại để nhận được phương trình sai phân dạng tường minh (0. Tương tự nếu trong phương trình (0.