Luận án tiến sĩ toán học: Đa tạp tích phân và dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình tiến hóa - Trịnh Viết Dược

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Trịnh Viết Dược ĐA TẠP TÍCH PHÂN VÀ DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH TIẾN HOÁ Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 62460103 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: 1. Nguyễn Thiệu Huy 2. Đặng Đình Châu Hà Nội - 2014 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả, số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận án Trịnh Viết Dược i LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục lục DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 2 MỞ ĐẦU 3 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 7 1.1 Không gian hàm Banach chấp nhận được trên nửa đường thẳng .2 Không gian hàm Banach chấp nhận được trên đường thẳng .3 Nhị phân mũ của họ tiến hoá .1 Bài toán Cauchy đặt chỉnh và họ tiến hoá .2 Nhị phân mũ của họ tiến hoá .4 Phương trình vi phân nửa tuyến tính và đa tạp ổn định. 19 2 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NỬA TUYẾN TÍNH 22 2.1 Đa tạp tâm ổn định .2 Đa tạp không ổn định. 26 3 ĐA TẠP TÍCH PHÂN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN HÀM ĐẠO HÀM RIÊNG 40 3.1 Đa tạp ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng .2 Đa tạp tâm ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng .3 Đa tạp không ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng. 54 KẾT LUẬN 72 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 73 TÀI LIỆU THAM KHẢO 74 1 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU N = {1, 2,.

} là tập các số tự nhiên, R là tập các số thực, R+ là tập các số thực không âm. Với mỗi số thực 1 ≤ p ≤ ∞ ký hiệu  {u : I → R : kukp = ( |u(x)|p dx)1/p < +∞ R nếu 1 ≤ p < ∞}.  L1,loc (I) = {u : I → R | u ∈ L1 (ω) với mọi tập con đo được ω ⊂⊂ I}, trong đó ω ⊂⊂ I nghĩa là bao đóng ω là tập compact trong I. X là không gian Banach.

E là không gian hàm Banach chấp nhận được trên R+. ER là không gian hàm Banach chấp nhận được trên R. 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com MỞ ĐẦU Xét phương trình vi phân nửa tuyến tính du = A(t)u + f (t, u), t ∈ I, dt trong đó I = R+ hoặc R, A(t) là toán tử tuyến tính có thể không giới nội trong không gian Banach X với mỗi t ∈ I và f : I × X → X là toán tử phi tuyến. Một trong những vấn đề trọng điểm trong nghiên cứu lý thuyết định tính của nghiệm các phương trình vi phân trên là tìm hiểu sự tồn tại của các đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định và đa tạp tâm (ổn định, không ổn định).

Việc nghiên cứu sự tồn tại của các đa tạp tích phân luôn thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học vì một mặt nó mang lại bức tranh hình học về dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình vi phân với nhiễu phi tuyến xung quanh một điểm cân bằng hay xung quanh một quỹ đạo xác định, mặt khác nó còn cho phép thu gọn việc nghiên cứu tính chất nghiệm của những phương trình đạo hàm riêng phức tạp về những phương trình đơn giản hơn trên các đa tạp đó do tính hút của các đa tạp này đối với các nghiệm của phương trình đang xét. Để các đa tạp tích phân tồn tại, điều kiện phổ biến là phần tuyến tính (tức là họ các toán tử (A(t))t∈I ) sinh ra một họ tiến hoá có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ và toán tử phi tuyến f là Lipschitz theo nghĩa nào đó. Những kết quả nền tảng đầu tiên về sự tồn tại các đa tạp tích phân thuộc về các nhà toán học Hadamard [52], Perron [50, 51], Bogoliubov và Mitropolsky [12]. Đó là những kết quả về sự tồn tại các đa tạp tích phân đối với phương trình vi phân thường (tức là trường hợp X = Rn và A(t) là các ma trận).

Sau đó, Daleckii và Krein [18] đã mở rộng các kết quả đó sang trường hợp A(t) là các toán tử giới nội trong không gian Banach bất kỳ X. Tiếp theo, Henry [21] đã phát triển các kết quả về sự tồn tại đa tạp tích phân cho trường hợp A(t) là các toán tử đạo hàm riêng không giới nội. Về sau, nhờ sự phát triển mạnh mẽ của giải tích hàm hiện đại và lý thuyết nửa nhóm một tham số, các kết quả về sự tồn tại của các đa tạp tích phân đã được chuyển sang những nấc thang mới cho các lớp phương trình rất tổng quát bao gồm cả phương trình đạo hàm riêng có trễ và trung tính (xem [1, 15, 40, 48, 47, 23, 24] và các tài liệu tham khảo trong đó). Có hai phương pháp 3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com chính để chứng minh sự tồn tại của các đa tạp tích phân là phương pháp Hadamard và phương pháp Perron.

Phương pháp Hadamard đã được tổng quát hoá thành phương pháp biến đổi đồ thị (graph transform) và đã được sử dụng chẳng hạn trong [22, 40, 52] để chứng minh sự tồn tại của các đa tạp tích phân. Phương pháp này liên quan đến việc lựa chọn các phép biến đổi phức hợp giữa các đồ thị biểu diễn đa tạp tích phân. Trong khi đó, phương pháp Perron được mở rộng thành phương pháp Lyapunov-Perron do nó liên quan quan đến các phương pháp của Lyapunov. Phương pháp Lyapunov-Perron tập trung vào việc xây dựng phương trình (hoặc toán tử) Lyapunov-Perron có mối liên hệ với phương trình tiến hoá, để từ đó chỉ ra sự tồn tại của các đa tạp tích phân.

Phương pháp Lyapunov-Perron có vẻ thích hợp hơn trong việc xử lý các dòng hoặc nửa dòng sinh ra bởi phương trình tiến hoá nửa tuyến tính, bởi vì trong trường hợp này việc xây dựng phương trình Lyapunov-Perron khá thuận lợi và được gắn kết với các kỹ thuật tiêu chuẩn của phương trình vi phân thường (ODE), thậm chí ngay cả khi dòng chỉ xác định trên một tập con nào đó của không gian pha. Chúng ta có thể xem các công trình [9, 14, 18, 23, 24, 25, 26, 47] và tài liệu tham khảo trong đó về vấn đề này. Điều kiện phổ biến nhất của phần phi tuyến f khi xét bài toán tồn tại đa tạp tích phân của phương trình tiến hoá nửa tuyến tính là f thoả mãn điều kiện Lipschitz với hằng số Lipschitz đủ bé, tức là kf (t, φ) − f (t, ψ)k ≤ qkφ − ψkC với q là hằng số đủ nhỏ (xem [9, 14, 18, 1, 40, 47, 48]). Tuy nhiên, với các phương trình nảy sinh từ các quá trình tương tác-khuyếch tán, trong đó f đại diện cho nguồn vật chất thì hằng số Lipschitz có thể phụ thuộc vào thời gian và có thể không nhỏ theo nghĩa cổ điển (xem [41, 42, 49]).

Do đó, chúng ta cố gắng mở rộng các điều kiện của phần phi tuyến để chúng có thể mô tả được các quá trình tương tác-khuyếch tán như vậy. Năm 2009, sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron và không gian hàm Banach chấp nhận được, Nguyễn Thiệu Huy đã đưa ra điều kiện tổng quát hơn của phần phi tuyến khi xét sự tồn tại của đa tạp ổn định bất biến (xem [25]), ở đó hệ số Lipschitz của phần phi tuyến phụ thuộc thời gian và thuộc một không gian hàm Banach chấp nhận được. Đồng thời, sử dụng không gian hàm Banach chấp nhận được đã có một số kết quả về lý thuyết dáng điệu tiệm cận nghiệm được công bố trong thời gian gần đây là [2, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 32]. Trên cơ sở đó, chúng tôi đã nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tích phân cho phương trình đạo hàm riêng nửa tuyến tính và phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng.

Đó là nội dung chính của luận án này. Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục công trình và tài liệu tham khảo, luận án bao gồm 3 chương • Chương 1 là phần kiến thức chuẩn bị. Ở đây, chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của không gian hàm Banach chấp nhận được (xem [25, 36]). 4 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sau đó, chúng tôi trình bày nhị phân mũ của họ tiến hoá và đa tạp ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính trong [25, 27].

• Chương 2 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định, đa tạp không ổn định của phương trình vi phân nửa tuyến tính du = A(t)u + f (t, u), t ∈ I, dt trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cố định và f : I × X → X là toán tử phi tuyến. Khi họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 sinh bởi họ toán tử A(t), t ∈ R+ có nhị phân mũ và hàm phi tuyến f thoả mãn điều kiện ϕ-Lipschitz, tức là kf (t, x) − f (t, y)k ≤ ϕ(t)kx − yk với ϕ là hàm không âm thuộc không gian hàm Banach chấp nhận được. Với các giả thiết này, Nguyễn Thiệu Huy đã chứng minh sự tồn tại của đa tạp ổn định (xem [25]). Khi mở rộng họ tiến hoá (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ chúng tôi đã chỉ ra sự tồn tại của đa tạp tâm ổn định.

Sau đó, thay vì xét phương trình trên nửa đường thẳng, chúng tôi xét phương trình trên toàn đường thẳng để từ đó chỉ ra sự tồn tại của đa tạp không ổn định và đa tạp này có tính chất hút các quỹ đạo nghiệm. Các kết quả trong Chương 2 được lấy ở bài báo [3] trong Danh mục công trình khoa học của tác giả. • Chương 3 nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp ổn định, đa tạp tâm ổn định, đa tạp không ổn định của phương trình vi phân hàm đạo hàm riêng du = A(t)u(t) + f (t, ut ), t ∈ I, dt trong đó A(t) là toán tử tuyến tính trong không gian Banach X với mỗi t cố định. f : I × C → X là toán tử phi tuyến liên tục.

Với r > 0 cố định, chúng ta ký hiệu C := C([−r, 0], X) là không gian các hàm liên tục trên [−r, 0] được trang bị chuẩn sup.