Luận án Tiến sĩ Toán ứng dụng: Ước lượng tốc độ hội tụ & mật độ nghiệm PTVP ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYÊN VĂN TÂN LUAN AN TIEN SI TOAN UNG DUNG HA NOI - 2023 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYEN VAN TAN Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán hoc Mã số: 9460112.02 LUẬN ÁN TIEN SĨ TOÁN UNG DỤNG NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. Nguyễn Tiến Dũng 2. Trần Mạnh Cường XÁC NHẬN CỦA NGƯỜI T/M XÁC NHẬN CỦA CHỦ TỊCH TẬP THE HƯỚNG DAN HỘI ĐÔNG PGS. Nguyễn Tiến Dũng GS.

Đặng Hùng Thang HA NOI - 2023 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi, dưới sự hướng dẫn của PGS. Nguyễn Tiến Dũng và TS. Trần Mạnh Cường. Các số liệu, kết quả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác.

Đồng thời, tôi xin cam đoan các đồng tác giả trong các công trình công bố chung đã đồng ý cho tôi sử dung các kết quả để đưa vào luận ấn. Nghiên cứu sinh Nguyễn Văn Tân Lời cảm ơn Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS. Nguyễn Tiến Dũng, TS. Trần Mạnh Cường - những người Thầy đã và đang nhiệt tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi nghiên cứu khoa học, tạo động lực cho tôi niềm đa mê nghiên cứu khoa học.

Đồng thời tạo nhiều điều kiện thuận lợi và cho phép tôi tham gia các buổi seminar ở bộ môn trong suốt thời gian học tập, giúp tôi hoàn thành luận án này. Tôi cũng muốn gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong Bộ môn Xác suất Thống kê đã thường xuyên giúp tôi trong việc nghiên cứu học tập. Đồng thời, tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám đốc Dai học Quốc gia Hà Nội, Ban giám hiệu Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Ban chủ nhiệm Khoa Toán-Cơ-Tin học, Phòng Dao tao đã tạo điều kiện để tôi nghiên cứu tốt hơn và giúp tôi hoàn thành các thủ tục bảo vệ luận án. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Ban lãnh đạo Ban Co yếu Chính phủ, Ban giám đốc Học viện Kỹ thuật Mật mã, Ban chủ nhiệm và các đồng nghiệp trong Khoa Cơ bản đã cho phép và tạo điều kiện tốt nhất để tôi hoàn thành luận án này.

Cuối cùng, tôi xin gửi lòng biết ơn của mình đến vợ tôi, gia đình, bạn bè thân thiết của tôi, những người luôn hiểu và ủng hộ tôi. Tôi xin chân thành cảm on! Hà Nội, tháng 6 năm 2023 NCS: Nguyễn Văn Tần. 1 Mục lục i cam đoan i EG=ce)oy ® ADs 5 2E ii ục lục iv Cac Ky hiéu Vv i nói đầu 1 1 Giải tích Malliavin 4 11 Khai triển Wiener-Itd).1 Tích phân Ito lặp|.2 Khaitriển Wiener-ltôl.3 Đạo hàm Malliavin}. Dao ham Malliavin và tinh chat] .1 Ước lượng Berry-Esseen trong xap xi Smoluchowskl-Kramersl.1 Giới thiệu về xấp xi Smoluchowski-Kramers 16 2.2 Sự hội tụ yếu của nghiệm các phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ và áp dung cho xấp xỉ Carathéodory|.221 Giới thiệu bài toán|.2 Phương trình với nhiễu cộng tính|.3 Phương trình với nhiễu nhân tính|.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm 3.2 Sự tồn tại và ước lượng Gauss cho mật độ 3.

Tính trơn của mat độ|. A _ Bổ dé Gronwall. B Bất đăng thức Hölder 1V Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt hầu khắp nơi. hầu chắc chắn.

Không gian Euclidean d—chiéu. Không gian các hàm do được g : R > R sao cho ||g||« := sup |g(a)| < 1. zecR Ham chỉ tiêu của tập A: I(z) = Lnếuz € 4 và L(x) = 0 nếu z ¢Z A. Không gian xác suất.

Không gian các hàm thực đối xứng Borel, bình phương khả tích trên |0; 7]”. Họ các biến ngẫu nhiên X nhận giá trị trong IR“ thỏa mãn E(|X|?) < co. Không gian các hàm liên tục ƒ xác định trên [a,b], nhận giá trị trong R@ với chuẩn ||ƒ|| = sup„<„<;Lƒ(2)l: Không gian các hàm bị chặn f : [0,7] x R > R với các dao hàm riêng cấp một bị chặn. T ð(u) = J+0)8W0) Tích phân Skorohod của uw.

Quá trình ngẫu nhiên u khả tích Skorohod. Không gian các biến ngẫu nhiên có đạo hàm Malliavin cấp k, với trung bình cấp p hữu hạn. Phương trình vi phân ngẫu nhiên. Chuyển động Brown phân thứ.

` Lời nói đầu Trong lý thuyết xác suất và các lĩnh vực liên quan, giải tích Malliavin là một tập hợp các ý tưởng và kỹ thuật mang tính toán học, mở rộng lĩnh vực toán học của giải tích về các biến phân từ các hàm tất định đến các quá trình ngẫu nhiên. Phép tính Malliavin còn được gọi là phép tính ngẫu nhiên của các biến phân. Đặc biệt, nó cho phép tính các đạo hàm của các biến ngẫu nhiên. No được hình thành từ những năm 70 của thé ki XX va đầu những năm 80, 90, có rất nhiều nhà Toán học dành thời gian nghiên cứu.

Giải tích Malliavin chủ yếu được xây dựng trên tính toán ngẫu nhiên Ito nhằm mục đích nghiên cứu cấu trúc cũng như phân bố của không gian các hàm Wiener. Malliavin lần đầu tiên khởi xướng phép tính trên không gian vô hạn chiều. Ông sử dụng tiêu chuẩn liên tục tuyệt đối chỉ ra rằng nếu điều kiện Hörmander được thỏa mãn thì phân bố của quá trình khuếch tán có mật độ trơn. Bằng cách này, ông đã chứng minh định lý Hörmander theo phương pháp xác suất.

Các lý thuyết này tiếp tục được nghiên cứu trong những năm gần đây, được áp dụng vào nhiều lĩnh vực khác nhau như trong Toán tài chính , các bài toán lọc ngẫu nhiên, phương pháp số ngẫu nhiên, cơ học thống kê và thủy động lực học thống kê. Có thể kể đến các nhà khoa học như Malliavin (1978a, b, c), Shigekawa (1980), Bismut (1981), Stroock (19§1a, b), Ikeda & Watanabe (1984), Bichteler va cộng sự (1987), Malliavin (1991), T Sanz-Sol’e (2005), Malliavin & Thalmaier (2005), Nualart (2006), Di Nunno và cộng sự (2009), Nourdin & Peccati (2012), Ishikawa (2016). Hơn nữa, những năm gần đây có nhiều ứng dụng trực tiếp của giải tích Malliavin, bao gồm công thức mật độ, định lý giới hạn trung tâm cho các hàm của quá trình Gauss, định lý về sự hội tụ của mật độ, định lý giới hạn không trung tâm và phép tính Malliavin cho các quá trình nhảy. Trong đó, phải kế đến hai hướng nghiên cứu sử dụng kỹ thuật của giải tích Malliavin vào một số lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên, đó là 1.

Chứng minh tính trơn và sự tồn tại mật độ của nghiệm, đồng thời đưa ra ước lượng Gauss cho mật độ nghiệm, xác suất đuôi: D. Định lý giới hạn trung tâm, tốc độ hội tụ của nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên: D. Việc sử dụng kỹ thuật giải tích Malliavin ở đây thu được nhiều thông tin về mặt xác suất đối với tốc độ hội tụ yếu của nghiệm so với các kỹ thuật trước đây. Phương pháp này tiếp tục được nghiên cứu áp dụng cho một số lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên khác.

Luận án, dưới sự hướng dan của PGS. Nguyễn Tiến Dũng và TS. Tran Mạnh Cường, tiếp tục nghiên cứu theo hai hướng trên. Cụ thể là chúng tôi tập trung vào nghiên cứu tốc độ hội tụ của nghiệm một số phương trình vi phân ngẫu nhiên; chỉ ra tính trơn và thiết lập ước lượng Gauss cho mật độ của nghiệm.

Các kết quả chính của luận án đạt được như sau: Dua ra một ước lượng Berry-Esseen hiển cho tốc độ hội tụ theo khoảng cách Kolmogorov của xấp xỉ Smoluchowski-Kramers cho phương trình vi phân ngẫu nhiên. Nghiên cứu về sự hội tụ yếu của nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ và áp dụng cho xấp xỉ Carathéodory. Nghiên cứu tinh trơn và thiết lập ước lượng Gauss cận trên, cận dưới cho mật độ của nghiệm phương trình vi phân hàm ngẫu nhiên phân thứ trong trường hợp các dạng nhiễu cộng tính và nhân tính. Bồ cục luận án: Chương [1] trinh bay tóm tắt một số kiến thức cơ ban về giải tích Malliavin: Định nghĩa, liên hệ với tích phân Skorohod, các công thức về đạo hàm Malliavin cùng với các định lý liên quan về đạo hàm và mật độ của biến ngẫu nhiên khả vi Malliavin.

Chương |2| trình bày hai kết quả chính của luận án. Trong đó, mục đưa ra ước lượng hiển Berry-Esseen cho tốc độ hội tụ theo khoảng cách Kolmogorov đối với xấp xỉ Smoluchowski-Kramers của dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên mô tả chuyển động của hạt có khối lượng rất nhỏ. Mục đưa ra ước lượng hiển cho tốc độ hội tụ yếu giữa các nghiệm của hai hệ phương trình vi phân với các trễ khác nhau. Từ đó, như một hệ quả, áp dụng trực tiếp vào hệ xấp xỉ Carathéodory.

Thực tế thì chúng tôi thấy, phương pháp được trình bày trong Mục có thể được áp dụng cho hệ 2 xấp xỉ Carathéodory của một số hệ với dạng trễ khác như dạng đa trễ hay dạng biến trễ. e Trong Chương | luận án xem xét về phương trình vi phân hàm ngẫu nhiên phân thứ. Mục nhắc lại về tích phân ngẫu nhiên phan thứ (H > 3). Mục đưa ra ước lượng Gauss cho mật độ nghiệm với dạng nhiễu cộng tính.

Mục nghiên cứu về mật độ của nghiệm trong trường hợp dạng nhiễu nhân tính, chứng tỏ tính trơn và thiết lập ước lượng Gauss cận trên, cận dưới cho mật độ của nghiệm. Khó khăn ở đây là độ phức tạp của tích phân ngẫu nhiên với fBm và số hạng tích phân. Do đó, đòi hỏi các tính toán phân tích tốt để chứng minh các kết quả này. e Cuối cùng, ở phần phụ lục, luận án trình bay lại một vài dạng của Bo đề Gronwall, bất dang thức Hölder.

Chương 1 Giải tích Malliavin Giải tích Malliavin bản chất là một phép tính vi phân vô hạn chiều trên không gian Wiener. Đã có nhiều nhà khoa học nghiên cứu và tìm ra các ứng dụng của giải tích Malliavin trong nhiều lĩnh vực như Toán tài chính, các bài toán lọc ngẫu nhiên, phương pháp số ngẫu nhiên. Trong chương này giới thiệu tóm tắt một số khái niệm về tích phân Itô, tích phân Skorohod, đạo hàm Malliavin. Đồng thời cũng nhắc lại một số tính chất và định lý quan trọng về giải tích Malliavin liên quan đến các kết quả chính của luận án.

Các chứng minh của các định lý có thể được tìm thấy trong |43.1 Khai triển Wiener-It6 1.1 Tích phân Itô lặp Cho B = Ö, = B(t,w), t € [0,7], w € Ó (7 > 0) là quá trình Wiener một chiều, hoặc một cách tương đương là chuyển động Brown trên không gian xác suất đầy đủ (Q,F, P) sao cho B(0) = 0 (h. Ký hiệu bộ loc tương ứng F = {F,,t € [0,T]} (1.1) là lọc tự nhiên sinh bởi B.