Luận án tiến sĩ: Phương pháp chiếu mở rộng giải bài toán cân bằng hai cấp
Phương pháp chiếu mở rộng giải bài toán cân bằng hai cấp: Nghiên cứu thuật toán tối ưu hóa phân cấp, ứng dụng trong kinh tế và quản lý.
Toán Ứng Dụng
Luan An
Luận án tiến sĩ
Năm xuất bản
Số trang
135
Thời gian đọc
21 phút
Lượt xem
1
Lượt tải
0
Phí lưu trữ
40 Point
Mục lục chi tiết
Tóm tắt nội dung
I. Phương Pháp Chiếu Mở Rộng Giải Bài Toán Cân Bằng
Phương pháp chiếu mở rộng là công cụ toán học quan trọng để giải quyết bài toán cân bằng hai cấp. Bài toán cân bằng xuất hiện rộng rãi trong kinh tế, kỹ thuật và khoa học ứng dụng. Trạng thái cân bằng là điểm mà hệ thống đạt được sự ổn định. Các phương pháp chiếu truyền thống gặp khó khăn khi áp dụng cho bài toán hai cấp phức tạp. Thuật toán chiếu mở rộng khắc phục những hạn chế này bằng cách kết hợp nhiều kỹ thuật tiên tiến. Phương pháp này sử dụng toán tử đơn điệu và bất đẳng thức biến phân. Điểm bất động đóng vai trò then chốt trong việc chứng minh hội tụ. Các thuật toán đảm bảo hội tụ mạnh hoặc hội tụ yếu tùy điều kiện. Ứng dụng thực tế bao gồm mô hình Nash-Cournot và tối ưu hai cấp. Nghiên cứu tập trung vào ba hướng chính: phương pháp chiếu dưới đạo hàm, đạo hàm tăng cường và nguyên lý bài toán phụ DC. Mỗi phương pháp có ưu điểm riêng phù hợp với từng loại bài toán cụ thể.
1.1. Khái Niệm Bài Toán Cân Bằng Hai Cấp
Bài toán cân bằng hai cấp là dạng toán tối ưu đặc biệt với cấu trúc phân tầng. Cấp trên tối ưu hóa mục tiêu riêng với ràng buộc phụ thuộc cấp dưới. Cấp dưới giải bài toán cân bằng độc lập tạo tập nghiệm. Tập ràng buộc của cấp trên chính là tập nghiệm cấp dưới. Cấu trúc này phản ánh nhiều tình huống thực tế trong kinh tế và kỹ thuật. Bài toán bất đẳng thức biến phân hai cấp là trường hợp đặc biệt quan trọng. Song hàm cân bằng mô tả quan hệ giữa các biến quyết định.
1.2. Tầm Quan Trọng Của Phương Pháp Chiếu
Phương pháp chiếu là nền tảng để giải bài toán cân bằng. Phép chiếu ánh xạ điểm bất kỳ về tập ràng buộc gần nhất. Tính chất toán tử đơn điệu đảm bảo sự tồn tại nghiệm. Hội tụ mạnh cho phép xác định nghiệm chính xác qua các bước lặp. Thuật toán chiếu mở rộng cải thiện tốc độ hội tụ đáng kể. Kỹ thuật xấp xỉ giảm độ phức tạp tính toán trong mỗi bước lặp.
1.3. Ứng Dụng Trong Thực Tiễn
Mô hình cân bằng kinh tế Nash-Cournot mô tả cạnh tranh giữa các công ty. Bài toán tối ưu hai cấp xuất hiện trong thiết kế mạng viễn thông. Hệ thống CDMA sử dụng bài toán cân bằng để phân bổ tài nguyên. Các phương pháp chiếu giải quyết hiệu quả các bài toán quy mô lớn. Kết quả số minh họa cho thấy hiệu suất vượt trội so với phương pháp cổ điển.
II. Thuật Toán Chiếu Dưới Đạo Hàm Xấp Xỉ
Phương pháp chiếu dưới đạo hàm là đột phá quan trọng trong giải bài toán cân bằng hai cấp. Dưới đạo hàm mở rộng khái niệm đạo hàm cho hàm không khả vi. Dưới vi phân xấp xỉ cho phép tính toán hiệu quả hơn trong thực hành. Thuật toán kết hợp phép chiếu với kỹ thuật dưới đạo hàm tăng cường. Quán tính cải thiện tốc độ hội tụ bằng cách sử dụng thông tin bước lặp trước. Hình chiếu xấp xỉ giảm chi phí tính toán khi tập ràng buộc phức tạp. Điều kiện Lipschitz yếu đảm bảo tính ổn định của thuật toán. Tham số điều chỉnh linh hoạt theo đặc điểm bài toán cụ thể. Kết quả hội tụ được chứng minh nghiêm ngặt qua lý thuyết điểm bất động. Ứng dụng cho bài toán với ràng buộc là giao của nhiều tập hợp. Phương pháp này đặc biệt hiệu quả khi song hàm cân bằng có cấu trúc đặc biệt. Tính toán số minh họa trên nhiều bài toán kiểm tra khác nhau.
2.1. Nguyên Lý Dưới Đạo Hàm
Dưới vi phân là tập hợp các véc tơ tuyến tính xấp xỉ hàm từ dưới. Dưới đạo hàm xấp xỉ mở rộng khái niệm này với độ chính xác có kiểm soát. Tính toán dưới vi phân đơn giản hơn nhiều so với đạo hàm cổ điển. Khoảng cách Hausdorff đo độ gần giữa các tập dưới vi phân. Điều kiện tăng trưởng đảm bảo dưới đạo hàm bị chặn.
2.2. Kỹ Thuật Chiếu Xấp Xỉ
Hình chiếu chính xác lên tập ràng buộc thường tốn kém về tính toán. Chiếu xấp xỉ cho phép sai số nhỏ có kiểm soát trong mỗi bước. Nón pháp tuyến xấp xỉ ngoài mô tả tập ràng buộc cục bộ. Thuật toán điều chỉnh tham số xấp xỉ theo tiến trình hội tụ. Độ phức tạp tính toán giảm đáng kể với chiếu xấp xỉ.
2.3. Chứng Minh Hội Tụ Mạnh
Hội tụ mạnh đảm bảo dãy lặp tiến về nghiệm theo chuẩn. Điều kiện đơn điệu mạnh của toán tử là yếu tố then chốt. Bổ đề điểm bất động cung cấp công cụ chứng minh chính. Tham số bước lặp phải thỏa mãn điều kiện tổng vô hạn. Kết quả hội tụ áp dụng cho lớp rộng các bài toán cân bằng.
III. Phương Pháp Đạo Hàm Tăng Cường Quán Tính
Đạo hàm tăng cường là kỹ thuật mạnh mẽ kết hợp gradient với quán tính. Quán tính sử dụng động lượng từ các bước lặp trước để tăng tốc. Thuật toán này đặc biệt hiệu quả cho bài toán cân bằng hai cấp phức tạp. Tham số quán tính điều chỉnh mức độ ảnh hưởng của lịch sử lặp. Gradient tăng cường kết hợp thông tin cục bộ và toàn cục của hàm mục tiêu. Phương pháp áp dụng thành công cho mô hình Nash-Cournot trong kinh tế. Các công ty cạnh tranh tối ưu hóa lợi nhuận trong thị trường oligopoly. Hàm phản ứng tốt nhất mô tả chiến lược của mỗi người chơi. Điểm cân bằng Nash là nghiệm của bài toán cân bằng tương ứng. Thuật toán hội tụ nhanh đến điểm cân bằng với điều kiện Lipschitz. Tính toán số cho thấy hiệu suất vượt trội so với gradient thông thường. Số bước lặp giảm đáng kể nhờ hiệu ứng quán tính.
3.1. Nguyên Lý Quán Tính
Quán tính mượn ý tưởng từ cơ học cổ điển về động lượng. Mỗi bước lặp kết hợp vị trí hiện tại và xu hướng chuyển động. Tham số quán tính thường chọn trong khoảng từ 0 đến 1. Giá trị lớn tăng tốc độ nhưng có thể giảm ổn định. Điều chỉnh thích nghi tham số cải thiện hiệu suất tổng thể.
3.2. Gradient Tăng Cường
Gradient tăng cường kết hợp đạo hàm và thông tin bổ sung. Kỹ thuật này giảm dao động trong quá trình hội tụ. Bước lặp được tính toán dựa trên gradient hiệu chỉnh. Điều kiện Armijo đảm bảo giảm đủ giá trị hàm mục tiêu. Phương pháp này ổn định hơn gradient descent cổ điển.
3.3. Ứng Dụng Mô Hình Nash Cournot
Mô hình Nash-Cournot mô tả cạnh tranh về sản lượng giữa các công ty. Mỗi công ty chọn sản lượng tối đa hóa lợi nhuận riêng. Giá thị trường phụ thuộc vào tổng sản lượng của tất cả công ty. Điểm cân bằng Nash là trạng thái không công ty nào muốn thay đổi. Thuật toán đạo hàm tăng cường tìm cân bằng hiệu quả. Kết quả số cho thấy hội tụ nhanh với ít bước lặp.
IV. Nguyên Lý Bài Toán Phụ DC Cho Cân Bằng
Nguyên lý bài toán phụ DC là phương pháp sáng tạo cho bài toán cân bằng hai cấp. DC là viết tắt của hiệu hai hàm lồi trong tối ưu. Nhiều bài toán cân bằng có thể biểu diễn dưới dạng DC. Mỗi bước lặp giải một bài toán phụ đơn giản hơn bài toán gốc. Tuyến tính hóa hàm lồi thứ hai tạo bài toán phụ lồi. Nghiệm bài toán phụ cho điểm lặp tiếp theo trong thuật toán. Phương pháp này không yêu cầu tính đơn điệu của toán tử. Điều kiện Lipschitz yếu hơn đủ để đảm bảo hội tụ. Sai số thuật toán được phân tích chi tiết qua các bước lặp. Ước lượng sai số phụ thuộc vào tham số và hằng số Lipschitz. Tốc độ hội tụ tuyến tính được thiết lập dưới điều kiện thích hợp. Tính toán số minh họa trên nhiều bài toán kiểm tra chuẩn. Thời gian CPU cho thấy hiệu quả tính toán của phương pháp.
4.1. Lý Thuyết Hàm DC
Hàm DC là hiệu của hai hàm lồi trên không gian Hilbert. Mọi hàm khả vi liên tục đều biểu diễn được dưới dạng DC. Tập DC chứa nhiều lớp hàm quan trọng trong ứng dụng. Dưới vi phân DC kết hợp dưới vi phân của hai thành phần lồi. Tuyến tính hóa DC tại một điểm tạo xấp xỉ affine.
4.2. Xây Dựng Bài Toán Phụ
Bài toán phụ DC thu được bằng tuyến tính hóa thành phần lồi thứ hai. Nghiệm bài toán phụ tính toán dễ hơn nhiều so với bài toán gốc. Tham số chính quy hóa đảm bảo bài toán phụ có nghiệm duy nhất. Điều kiện tối ưu của bài toán phụ cho công thức lặp. Kỹ thuật này áp dụng rộng rãi trong tối ưu phi lồi.
4.3. Phân Tích Sai Số Và Hội Tụ
Sai số giữa điểm lặp và nghiệm giảm theo quy luật xác định. Tốc độ hội tụ tuyến tính với hằng số co phụ thuộc tham số. Ước lượng sai số tiên nghiệm giúp chọn tham số phù hợp. Điều kiện dừng dựa trên sai số giữa hai bước lặp liên tiếp. Kết quả số xác nhận các ước lượng lý thuyết về hội tụ. Số chiều bài toán ảnh hưởng đến thời gian tính toán nhưng không làm mất hội tụ.
V. Điều Kiện Tồn Tại Nghiệm Bài Toán Cân Bằng
Điều kiện tồn tại nghiệm là nền tảng lý thuyết cho mọi thuật toán giải. Tính đóng và lồi của tập ràng buộc là yêu cầu cơ bản. Song hàm cân bằng cần thỏa mãn các tính chất đặc biệt. Nửa liên tục dưới đảm bảo tập mức dưới là đóng. Giả lồi yếu của song hàm theo biến thứ hai là điều kiện quan trọng. Điều kiện coercive đảm bảo tập nghiệm không rỗng và compact. Định lý điểm bất động Kakutani là công cụ chứng minh chính. Ánh xạ KKM cung cấp phương pháp chứng minh thay thế. Điều kiện Minty đặc trưng nghiệm qua bất đẳng thức đảo. Tính đơn điệu giả của toán tử liên quan đến tính duy nhất nghiệm. Không gian Hilbert thực cung cấp cấu trúc hình học thuận lợi. Tích vô hướng cho phép định nghĩa góc và trực giao. Các điều kiện này được kiểm chứng qua nhiều ví dụ cụ thể.
5.1. Tính Chất Tập Ràng Buộc
Tập ràng buộc đóng đảm bảo giới hạn của dãy trong tập vẫn thuộc tập. Tính lồi cho phép áp dụng các kỹ thuật tối ưu lồi mạnh mẽ. Compact yếu trong không gian Hilbert vô hạn chiều rất quan trọng. Giao của các tập lồi đóng vẫn là tập lồi đóng. Phép chiếu lên tập lồi đóng luôn xác định duy nhất.
5.2. Tính Chất Song Hàm Cân Bằng
Song hàm cân bằng là hàm hai biến mô tả quan hệ giữa các lựa chọn. Điều kiện cân bằng yêu cầu hàm không âm tại điểm cân bằng. Nửa liên tục dưới theo biến thứ nhất đảm bảo tính đóng tập mức. Lồi theo biến thứ hai cho phép sử dụng công cụ giải tích lồi. Điều kiện Lipschitz kiểm soát tốc độ thay đổi của song hàm.
5.3. Định Lý Tồn Tại Nghiệm
Định lý Ky Fan là kết quả cơ bản cho bài toán cân bằng. Điều kiện coercive đảm bảo nghiệm nằm trong tập compact. Định lý điểm bất động Brouwer áp dụng cho ánh xạ liên tục. Nguyên lý Ekeland cho nghiệm xấp xỉ với sai số kiểm soát. Kết hợp các điều kiện trên cho sự tồn tại nghiệm chính xác.
VI. Kết Quả Tính Toán Số Và Thực Nghiệm
Tính toán số xác nhận hiệu quả của các thuật toán đề xuất. Các bài toán kiểm tra bao gồm nhiều chiều và cấu trúc khác nhau. Tham số thuật toán được điều chỉnh tối ưu cho từng bài toán. Số bước lặp đo lường tốc độ hội tụ của phương pháp. Thời gian CPU tính bằng giây phản ánh hiệu quả tính toán. So sánh với các phương pháp hiện có cho thấy ưu việt rõ rệt. Đồ thị hội tụ minh họa trực quan quá trình tiến đến nghiệm. Sai số giảm theo quy luật mũ hoặc tuyến tính tùy phương pháp. Bài toán Nash-Cournot với nhiều công ty được giải thành công. Kết quả ổn định khi thay đổi điểm khởi tạo ban đầu. Phương pháp chiếu xấp xỉ giảm thời gian tính toán đáng kể. Thuật toán quán tính cho tốc độ hội tụ nhanh nhất trong hầu hết trường hợp. Nguyên lý DC hiệu quả với bài toán có cấu trúc đặc biệt.
6.1. Thiết Kế Bài Toán Kiểm Tra
Bài toán kiểm tra được thiết kế với nghiệm biết trước để đánh giá chính xác. Số chiều thay đổi từ 2 đến 1000 để kiểm tra khả năng mở rộng. Song hàm cân bằng bao gồm dạng tuyến tính, bậc hai và phi tuyến. Tập ràng buộc có dạng hình hộp, simplex hoặc giao của nhiều tập. Tham số Lipschitz và đơn điệu thay đổi để kiểm tra độ bền vững.
6.2. Phân Tích Kết Quả Hội Tụ
Đồ thị sai số theo số bước lặp cho thấy xu hướng giảm rõ ràng. Tốc độ hội tụ tuyến tính được xác nhận qua độ dốc đường log. Thuật toán quán tính giảm số bước lặp trung bình 30-50 phần trăm. Phương pháp DC ổn định hơn khi song hàm không đơn điệu. Sai số cuối cùng đạt dưới ngưỡng cho phép trong tất cả thử nghiệm.
6.3. So Sánh Hiệu Suất Tính Toán
Thời gian CPU tăng tuyến tính hoặc bậc hai theo số chiều bài toán. Phương pháp chiếu xấp xỉ nhanh hơn chiếu chính xác 2-5 lần. Bộ nhớ sử dụng tối ưu nhờ cấu trúc dữ liệu hiệu quả. Thuật toán song song hóa được trên nhiều lõi xử lý. Kết quả cho thấy khả năng giải bài toán quy mô lớn trong thực tế.
Tải xuống file đầy đủ để xem toàn bộ nội dung
Tải đầy đủ (135 trang)Trích đoạn nội dung luận án
Tải xuống để đọc toàn bộĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Hồ Phi Tứ CÁC PHƯƠNG PHÁP CHIẾU MỞ RỘNG GIẢI LUẬN ÁN TIÊN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2023 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Chuyên ngành: Toán Ứng Dụng Mã số: 9460112. 01 LUẬN ÁN TIÊN SĨ TOÁN HỌC TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. Phạm Ngoc Anh 2. Vũ Tiền Dũng Hà Nội - 2023 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn của các thầy trong Tập thể hướng dẫn khoa học.
Các kết quả, số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trên bất kỳ công trình nào khác. Các dữ liệu tham khảo được trích dẫn đầy đủ. Tác giả Hồ Phi Tứ ii LOI CAM ON Luận án nay được hoàn thiện tại trường Dai hoc Khoa học Tu nhiên - Dai học Quốc gia Hà Nội dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS. Phạm Ngọc Anh (Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông) và TS.
Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến các thầy. Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban Chủ nhiệm khoa, các thầy/cô trong Khoa Toán - Cơ - Tin học, đặc biệt là các thầy/cô thuộc bộ môn Toán học Tính toán - Toán Ứng dụng, trường Dai học Khoa học Ty nhiên - Dai học Quốc gia Hà Nội đã truyền tải kiến thức và tạo mọi điều kiện tốt nhất cũng như giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình làm nghiên cứu sinh. Tác giả xin trân trọng cám ơn Ban Giám hiệu, các thầy/cô trong Khoa Toán và Khoa học Tự nhiên, trường Đại học Hải Phòng, nơi tác giả đang công tác đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận án. Xin chân thành cảm ơn các anh/chị/em trong nhóm nghiên cứu tại phòng Lab "Toán ứng dụng và Tính toán" của Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông và các bạn bè đồng nghiệp xa gần đã luôn động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tác giả xin được dành tặng món quà tỉnh thần này cho những người thân yêu trong gia đình của mình, đặc biệt là vợ và hai con gái. Những người luôn đứng sau động viên, chia sẻ và khích lệ tác giả để có thể hoàn thành công việc học tập và nghiên cứu của mình. Tác giả 11 MỤC LỤC Lời cam đoan i Lời cam ơn ii Muc luc iii Danh muc cac ky hiéu M Danh mục các chữ viết tắt vì Mở đầu 1 Chương 1. Bài toán cân bằng hai cấp 9 1.1 Một vài kiến thức co ban.1 Các khái niệm và một số kết quả cơ bản trong không gian Hilbert thực .2 Phép chiếu và song ham don điệu .4 Một vài kết quả bé6tro.2 Bài toán cân bang hai cap .21 Định nghĩa và các bai toán liên quan.2 Điều kiện tồn tại nghiệm.3 Một số thuật giải cho bài toán cân bằng hai cấp.
Phương pháp chiếu dưới đạo hàm 33 2.1 Thuật toán chiếu dưới đạo hàm xấp xỈ.3 Ứng dụng cho bài toán cân bằng với ràng buộc là giao của tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm điểm bất động 43 2.2 Thuật toán dưới dao hàm tăng cường quấn tinh .2 Kết quả hội tụ.3 Một số tính toán minh họa. Phương pháp đạo hàm tăng cường 72 3.2 Sự hội tụ của Thuật toán .3 Ứng dụng cho mô hình cân bằng kinh tế Nash-Cournot. Nguyên lý bài toán phụ DC 89 4.1 Nguyên lý bài toán phụ DC. 93 43 Sai số thuật toán.
104 44 Một số tính toán số minh hoa 108 Kết luận 116 Danh mục công trình khoa học 118 TÀI LIỆU THAM KHẢO 119 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU Ñ tập số tự nhiên R tập số thực Ry tập số thực không âm R" không gian Euclide thực n-chiéu HI không gian Hilbert thực ak + x dãy {z?} hội tu mạnh tới x ak — œ dãy {z?} hội tụ yếu tới x llz | chuẩn của véc td x (x,y) tích vô hướng của hai véc to x va y I ma tran don vi Id ánh xa đồng nhất AxB tích Đề-Các của hai tap hợp A va B argmin{ f(r): x € C} nghiệm của bài toán cực tiểu của hàm ƒ trên C Øg(z) dưới vi phân của ø tại z Ø*g(z) dưới vi phân xấp xỉ của ø tại z 02 f (x, 2) dưới vi phân của ham f(z,-) tại x OS f (x, x) dưới vi phân xấp xi của hàm f(z,-) tai x dc(-) ham chi của tập C Prc() hình chiếu của z lên tập Œ Prệ(z) hình chiếu xấp xỉ của z lên tập Œ Nc() nón pháp tuyến ngoài của C tại « Ne&() nón pháp tuyến xấp xi ngoài của C tại x dy(A, B) khoảng cách Hausdorff giữa hai tap A va B vì DANH MỤC CÁC CHỮ VIET TAT DC hiệu hai hàm lồi CDMA đa truy cập phân chia theo mã OP(C,h) bài toán tối ưu CP(Œ,F) bài toán bù MN(C,F) bài toán tim chuẩn nhỏ nhất VI(Œ,F) bài toán bất đẳng thức biến phân EP(C, ƒ) bài toán cân bằng với song hàm cân bằng ƒ và tập ràng buộc Œ EP(C, ƒ.®) bài toán cân bằng hỗn hợp BVI(C,G, F) bài toán bất dang thức biến phan hai cấp BEP(C,g, f) bài toán cân bằng hai cấp BEP(C,g, ƒ,®) bài toán cân bằng trên tập nghiệm bài toán cân bằng hỗn hợp BMEP bài toán cân bằng hai cấp hỗn hợp Fiz(T) tập điểm bat động của ánh xa 7 FP(C,F) bài toán điểm bất dong của ánh xạ đơn trị Sol(C, F) tập nghiệm của bài toán VI(C, F) Sol(C, ƒ) tập nghiệm của bài toán EP(C, f) Sol(C, 9, f) tập nghiệm của bài toán BEP(C, 4g, f) CPU — times/s thời gian thực hiện thuật toán tính bằng giây Test Prob. các bai toán chạy thực nghiệm Dim.No Số chiều No. số bước lặp trong thuật toán MO DAU 1. Lich sử van dé và ly do chọn đề tài Cân bằng là một trạng thái mà vạn vật trong tự nhiên luôn hướng tới, bởi lẽ khi đạt được trạng thái cân bằng thì mọi sự vật sẽ có được sự tồn tại lâu dài và bền vững nhất.
Trong vật lý, một hệ các vật có được trạng thái cân bằng khi hợp lực tác dụng lên chúng bị triệt tiêu. Trong sinh học, trạng thái cân bằng của một hệ sinh thái đạt được khi lượng thú săn mồi và lượng thú mdi có tỷ lệ tương đồng nhau. Trong kinh tế, một thị trường mua bán đạt trạng thái cân bằng khi lượng cung bằng lượng cầu. Ngoài ra thuật ngữ cân bằng còn được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như hóa học, sinh học, kỹ thuật, v.
Trong toán học, mô hình cân bằng được xem là một sự phát triển tiếp theo của bài toán bất đẳng thức biến phân và lý thuyết tối ưu với nhiều chủ thể tham gia. Trong đó, mỗi chủ thể có những mục tiêu khác nhau thậm chí là đối lập nhau. Do đó, để tìm một phương án tối ưu cho tất cả các chủ thể là điều không thể. Trong tình huống này một khái niệm cân bằng, đặc biệt là khái niệm điểm cân bằng Nash, dễ được chấp nhận hơn.
Do vậy, mô hình cân bằng rất hữu ích trong việc phân tích kết quả các tình huống cạnh tranh, việc giải các mô hình cân bằng có thể giúp chúng ta tìm ra giải pháp giải quyết các mâu thuẫn về quyền lợi của các chủ thể tham gia. Mô hình bài toán cân bang, viết tắt, EP(C, ƒ) có dang: Tìm x* € C sao cho ƒ(z”,)>0, Wy eC, ở đây, C là một tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert thực H, ƒ là một song hàm từ C x C vào R thỏa mãn điều kiện cân bằng ƒ(z,z) = 0, với mọi LEC. Bài toán EP(C, f) được giới thiệu dau tiên bởi H. Isoda [70] vào năm 1955 trong bài báo: "Note on non-cooperative convex game".
Tới năm 1972, nó tiếp tục được Ky Fan [40] nghiên cứu dưới tên gọi bat dang thức Ky Fan. Tuy nhiên hơn 20 năm sau, khi các kết quả nghiên cứu của L. Oettli [69] được công bố vào năm 1992 và E. Oettli [28] được công bố vào năm 1994, thì bài toán này mới thực sự thu hút được sự chú ý của nhiều nhà nghiên cứu.
Trong kết quả [69], các tác giả cũng đã chỉ ra rằng bài toán EP(C, ƒ) chính là một mô hình tổng quát cho nhiều lớp bài toán quan trọng như bài toán tối ưu OP(C,h), bài toán bù, bài toán bất dang thức biến phân đa trị MVI(C, F), bài toán tối ưu véc tơ, bài toán điểm yên ngựa, bài toán cân bằng Nash trong trò chơi không hợp tác,. Do vậy, bài toán cân bằng #P(Œ, ƒ) không những có ý nghĩa về mặt lý thuyết mà nó còn mang nhiều ý nghĩa trong ứng dụng. Một ứng dụng nổi bật va tạo được tiếng vang lớn là cân bằng kinh tế Nash-Cournot được nhà toán học J. Nash đưa ra dưới dạng mở rộng của mô hình trò chơi bất hợp tác.
Kết quả nghiên cứu này được trao giải Nobel về kinh tế năm 1994. Ngày nay, bài toán cân bằng EP(C, ƒ) đã được tổng quát hóa và phát triển theo nhiều hướng như bài toán cân bằng véc tơ [20, 27, 41], cân bằng da trị [21], bài toán cân bằng trên tập nghiệm của bài toán tối ưu, tìm điểm chung của bài toán cân bằng và bài toán điểm bat động [8], bài toán cân bằng trên tập nghiệm bài toán bất dang thức biến phan [17], bài toán bất dang thức biến phân trên tập nghiệm bài toán cân bằng [11]. Đặc biệt, thời gian gần đây bài toán cân bằng hai cấp BEP(C,g, ƒ) nhận được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu [10, 12, 13, 25, 35] bởi tính mới trong lý thuyết va các ứng dụng trong thực tiễn. Thực tế chỉ ra rằng, mỗi sản phẩm trong thị trường được sản xuất bởi nhiều công ty khác nhau trong cả nước.
Mỗi điểm cân bằng Nash là một phương ấn tối ưu nhất để lợi nhuận các công ty được cao nhất. Tuy nhiên, nhà nước cần một hàm cân bằng kinh tế vĩ mô để điều tiết nền kinh tế của cả nước. Như vậy, một mô hình cân bằng trên tập các điểm cân bằng (điểm cân bằng Nash) là một ứng dụng quản lý kinh tế thực tiễn của bài toán cung-cầu trong nền kinh tế thị trường.
Nội dung được bảo vệ bản quyền — Tải xuống đầy đủ
Từ khóa và chủ đề nghiên cứu
Câu hỏi thường gặp
Luận án "Phương pháp chiếu mở rộng giải bài toán cân bằng hai cấp" nghiên cứu về vấn đề gì?
Phương pháp chiếu mở rộng giải bài toán cân bằng hai cấp: Nghiên cứu thuật toán tối ưu hóa phân cấp, ứng dụng trong kinh tế và quản lý.
Luận án "Phương pháp chiếu mở rộng giải bài toán cân bằng hai cấp" được bảo vệ tại trường nào?
Luận án này được bảo vệ tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. Năm bảo vệ: 2023.
Luận án "Phương pháp chiếu mở rộng giải bài toán cân bằng hai cấp" thuộc chuyên ngành gì?
Luận án "Phương pháp chiếu mở rộng giải bài toán cân bằng hai cấp" thuộc chuyên ngành Toán Ứng Dụng. Danh mục: Toán Ứng Dụng.
Luận án "Phương pháp chiếu mở rộng giải bài toán cân bằng hai cấp" có bao nhiêu trang?
Luận án "Phương pháp chiếu mở rộng giải bài toán cân bằng hai cấp" có 135 trang. Bạn có thể xem trước một phần tài liệu ngay trên trang web trước khi tải về.
Cách tải luận án "Phương pháp chiếu mở rộng giải bài toán cân bằng hai cấp" về máy như thế nào?
Để tải luận án về máy, bạn nhấn nút "Tải xuống ngay" trên trang này, sau đó hoàn tất thanh toán phí lưu trữ. File sẽ được tải xuống ngay sau khi thanh toán thành công. Hỗ trợ qua Zalo: 0559 297 239.