Luận án tiến sĩ: Tính ổn định hầu chắc chắn của PTVP ngẫu nhiên nhiễu Brown phân thứ và hỗn hợp

ĐẠI HOO QUỐO GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HOO TỰ NHIÊN Cao Tan Bình TÍNH ỐN ĐỊNH HẦU CHẮO CHẮN l CUA PHUGNG TRINH VI PHAN NGAU NHIEN VỚI NHIÊU BROWN PHAN THỨ VA NHIÊU HON HỢP LUẬN ÁN LIÊN SĨ LOAN UNG DỤNG Hà Nội - 2022 DAL HOO QUOO GIA HÀ NOL TRƯỜNG DAL HOO KHOA HOO TỰ NHIÊN Cao Tan Binh TINH ON ĐỊNH HẦU CHẮC CHAN ; CUA PHƯƠNG TRÌNH VI PHAN NGAU NHIÊN VỚI NHIÊU BROWN PHAN THU VÀ NHIÊU HON HGP Ohuyéu ngành; Li thuyết xáo suat và thông kê toán học Mã số: 9460112.02 LUẬN ÁN TIEN SĨ POAN UNG DỤNG NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HỌC; 1. Luu Hoàng Dức 2. Đặng Hùng Thắng Hà Nội - 2022 LOL CAM DOAN 4ồi xin cam đoạn đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Oác kết qua nêu trong luận án là trung thực va chưa.

từng được ai công bỗ trong bat kì ông trình nào khác, Oáo đồng táo giả trong cdc công trình công bô chung đồng ý cho NOS sử dụng kết qua vào mụo đích viết và báo cáo luận Au tiên sĩ cia minh ở cáo cấp. Táo gia Oao ‘Van Hình LỜI CÁM ƠN Luận án hoàn thành nhờ được sự hướng dẫn khoa học day, tận tình của. Lưu Hoàng Đức - Phòng Xác suất va hông kê, Viện bán học Việt Nam và NGND. Đặng Hùng Thắng - Irướng Bộ môn Xác suất và Thông kê, Khoa Loan - Oo - Lin học, Irường Đại học Khoa học Lu nhiên, Đại học Quốo gia Hà Nội.

Nhân dịp này, tác giả xin bày to lòng biệt ou chân thành và sự kính trọng sâu sắc đối với hai Lhay, những người đã truyền đạt nhiều kiên thức quý báu, định hướng, gợi mở vẫn đề cing như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong suốt thời gian báo gia theo hoo và nghiên cứu đề tài. Xin chân thành cam ơn Ban Giam hiệu, Phòng Sau đại học, Ban Ohu nhiệm Khoa ‘Loan - Oo - ‘Lin học của. Irường Đại học Khoa học Lu nhiên, Đại hoc Quốo gia Hà Nội - nơi táo giá đã, học tập và nghiên cứu. Xin trân trọng cam ơn Ban Giám hiệu, Ban Chu nhiệm Khoa Kính té và Kê toán, BO môn Loan kinh tê cla Lrudug Dai học Quy Nhơn da tạo điều kiện thuận lợi nhất để tac giá hoàn thành luận án này.

áo giá xin gửi lời cắm ơn tới quý Phầy, Oô của Bộ môn Xấo suất và, Thông kê, Khoa Loan - Oo - Lin hoo đã. giúp đỡ tác giả rất nhiều trong qué trình học tập và hoàn thành luận án. Đặc biệt, tac giả vô cùng biết ou khi nhận được sự quan tâm góp ý về luận án của GS. Nguyễn Hữu Dư, GS.

Oung Phê Anh, PGS. Nguyễn Thanh Diệu, PGS. Đỗ Đức Phuan, PGS. Lạ Cong Sơn, PGS.

Nguyễn Liên Dũng, PGS. Ngô Hoàng Long, PGS. Lê Vi, VS. Lạ Ngọc Ánh, TS.

lrần Mạnh Qường, 19. Linh Quốc Anh và LS. Phạm Dinh tùng. Táo giá xin chân thành cam ơn đên quý Phầy, Oo đã đọc và.

viết lời nhận xét bóm tắt luận án. Luận ấn là mou qua tinh thần quý giá của tao giá dành tang người Ba quá cô kính yêu, Mẹ, Vợ và Oon trai - những người đã. luôn ở bên cạnh động viên táo gia trong những lúc khó khan. Oao Van Binh MỤC LUO Những kí hiệu và viết tắt dùng trong luận án 1.2 tuyên tính có trễ với nhiễu phan thứ: Irường hợp 1 chiều có trễ ở phần nhiễu phân thứ và hệ số phụ thuộc vào thời TA) ——.

70 NHUNG Ki HIỆU VA VIET TAT THƯỜNG DUNG TRONG LUAN AN Rd Tập các vécbơ thực d chiều Rdxd Tập cáo ma trận thực cấp d x d C({a, b], R“) Lap các hàm liên tục tit [ø, b] vào IR° C°({a, b], R®) Tập các ham liên tục bị chặn tit fa, b] vào R4 C*({a, b], R®) Tap cáo hàm liên tuo Holder tit [a,b] vào R4 với nửa chuẩn Illa fa,5) = SUPa<s<t<o ïx.= và chuẩn Illlo0,0,[a,8] := lÍ#||<. C?~*⁄"([ø,b|,IR) Tập cáo hàm liên tuo từ [a,b] vào R* có p-biên phân hữu hạn với nứa chuẩn 1/p Hel, .,,äj = (StP Me Di le. — 7a”) CP([a, b|, R2) lập các hàm liện tục x tit [a,b] vào R4 với p-biên phân hữu hạn và được trang bi bởi chuẩn |Ì#|Ì;- »a.u C}([a, b], R“) lập các bién ngẫu nhiên C({a, bj, R“)-giá trị, bi chan và Z;-đo được LP"({a, b|, R®) lập cáo hàm đo được Borel f từ [a,b] vào R4 sao cho f | f(t) /Pdt < œ Ø?([a, bj, R“) Tập cáo qua trình { ƒ(f)} với tính chat F;,-thich nghĩ, IR“-giá. tri và f | f(t) |?dt < co hầu chắc chắn Mo([a, b],IR®) Lap cao qua trình đơn gian gia trị thực trên đoạn [ø, b|.

trị, F,-do được và. /||£||” < œ 1 (Q, BR") lập các biéu ngẫu nhiên € với tính chất IR“-giá trị, F,-do được và #||£€||? < œ MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Phương trình vi phan ngẫu nhiên có vai trò quan trọng trong việc m6 phóng các hệ dưới tac động của nhiều [2|. Bên cạnh đó, các táo động của, trễ cing góp phần giải thích dáng điệu động hoe của hệ trong thé giới thực như thị trường tài chính lỗ], sự lan truyền dịch bệnh ||, mô hình sinh vật học |6] và khoa.

Khi mô hình thực tê được xét dưới tác động của. trễ kết hợp với cáo yêu tô ngẫu nhiên sẽ nảy sinh ra phương trình vi phần ngẫu nhiên có trễ. OO mot vài dạng phương trình vi phan ngau nhiên có trễ tổng quát như sau #(f) = f(Ow, x) (0.3) với B(t), BY’ (t) tương ứng là chuyển động Brown thông thường, và chuyển động Brown phân thứ. Về bắn chat, hệ (0.1) chính là hệ phương trình vi phan thường, 6 đó ta 06 thể xem xét theo từng quỹ đạo ngẫu nhiên w.

Hệ được nghiên cứu thông qua cáo công cu của, giải tích ltô 65]. uy, nhiên, hệ chí có thé được nghiên cứu và chứng minh định lý tồn tai duy nhất nghiệm (xem {71 (20) [2Z3|) bằng cách sử dụng các công cu của lý thuyết rough path [25j [29| 47] hoặc lý thuyết giải tích phân thứ [54] (57) l67]. Như trình bày ở muo 7, tính on định tiệm cận về nghiệm của hệ (0.3) cũng mới chi được nghiên cứu trong wot vài trường hợp don giản như với dạng tuyên tính thuần nhất (26]. Oáo trường hợp phức tạp hơn nhìu chung vẫn chưa.

được giải quyết. Với lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: Tinh On định hầu chắc chắn của phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu Brown phân thứ và nhiễu hỗn hợp. Mục đích nghiên cứu Mụo đích của luận ấn này là nghiên cứu một số bài toán mở liên quan đến tính ou định hầu chắc chắn của một số phương trình vi phân ngẫu nhiên dạng tuyên tính, gồm 3 bài toán sau đây. Bài toán 1: Phương trình vi phân ngẫu nhiện có trễ nhiều chiều nhưng không có yêu tô trễ ở phần nhiễu dy(t) = [Ay(t) + ƒ((t — +))|d + Cy(0)4”0).5) Bai toán 3: Hệ điều khiển hỗn hợp với 2 loại nhiễu độc lập là Bernoulli và Brown thông thường ax(t) = fi(z(0,e(9))đt + b((1),e(9)4B), t€ (te, thar) de(t) = gi(x(t), e(t) dt + go(a(t), e(t))dB(t), + € (tk, te+1) (0.

Đỗi tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận ấn là tính Ou định tiệm cận về nghiệm của phương trình vi phan ngẫu nhiện có trễ trong cac không gian vô han chiều. Pham vi nghiên cứu Luận án nghiên ottu các vẫn đề về tinh On định mũ hầu chắc chắn theo chiều hội tụ tiên hoặc lùi theo thời gian trong không gian Banach vô hạn chiều C([—r, 0], R2) hoặc không gian Hölder Œ*([—z, 0], R*). Phương pháp nghiên cứu Oác vẫn dé được nghiên dứu trong luận ấn có sử dụng kỹ thuật của lý 8 thuyết xáo suất và giải tích ngẫu nhiên. Một số kết qua quan trọng được dùng đến như: bat đẳng thức Gronwall - Bellman, bổ dé Borel - Oantolli, định lý ergodic của Birkhoff.

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Y nghĩa khoa học; Luận án góp phan lam phong phú thêm cáo kết qua và sự hiểu biết về tích phân Young, phương trình vi phan ngẫu nhiên có trễ với nhiễu phân thứ và tính chất On định nghiệm cửa phương trình loại nay, Ý nghĩa thực tiễn: Luận ấn mong muôn góp phan phat triéu lý thuyết mạng lưới truyền thông tin thông qua các hệ hỗn hợp có nhiễu ngẫu nhiên; va lý thuyết mô ta giá tài san tài chính của Samuelson va Black - Scholes cố điển được ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vựo tài chính, nhưng có yếu tố trễ và dưới tac động của. nhiều Brown phần thứ. 7, Tong quan và cầu trúc luận ấn 7. Tong quan luận án.

Lý thuyết on định giữ vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu tính chat nghiệm của phương trình vi phân. Ohính vì vậy, bên cạnh việc nghiên cứu sự tou tại và duy nhất nghiệm, tính chất nghiệm sinh hệ động lực, lý thuyết ổn định đã thu hút nhiều nhà toán học tham gia nghiên cứu và ứng dụng vào thực tiễn cuộc sông. heo 42) (49) [56], Lyapunov là người đầu tiên giới thiệu về khái niệm On định ctia hệ động lực vào năm 1892 |46], và phát triển một phương pháp để xác định tính on định nghiệm wa không nhất thiết phải tim ra nghiệm cụ thể của phương trình vi phân, được gọi là phương phấp trực tiếp Lyapunov hay phương pháp thứ hai. Sau đó, Hahu [85] và Lakshmikautham [4| tiếp tục nghiên cứu và mở rộng lý thuyết Ou định cho phương trình vi phân thường.

Đối với tính Ou định nghiệm theo nghĩa xáo suất hoặc theo nghĩa moment, Bucy. da đưa ra điều kiện đủ vào năm: 1965 [LO]. Déu năm 1967, Has minskil da nghiên ottu một cách có hệ thống tinh On định nghiệm cho các hệ ngẫu nhiên 41]. Kế từ đó, oó nhiều nhà toán hoo tên tuổi như Arnold, Ohow, Ourtain, Eriedinan, Kolmmanovskii, Lakshmikantham, Mohammed, Pardoux và Mao đã quan tâm nghiên cứu về tính ổn định nghiệm của phương trình vi phan ngẫu nhiêu.

Trong thời kỳ này, lý thuyết về phương trình vi phân có trễ cing được quan tâm nghiên ottu và phát triển mạnh mẽ. Volterra được xem là người tiên phong nghiên cứu các tính chất cu thé cho phương trình vi phan có trễ cu thé vào năm 1928, đó là mô hình môi - thú [6T|. Sau đó, Minorksy nghiện cứu tính Ou định cho hệ điều khiển tự động có trễ [ST]. Nam 1963, Krasovskii đã sử dụng lý thuyết phiém hàm Lyapunov.

để nghiên cứu tinh ou định nghiệm của phương trình vi phan có trễ trong không gian hữu hạn chiều [43]. Về sau, nhiều nhà toán hoo đã nhận thay tầm quan trong cũng như tính ứng dung cla phương trình vi phan có trễ, và da nghiên gứu md rộng bằng cách dua vào yêu tô ngẫu nhiên.