Phương pháp không lưới RBF-FD trong Giải toán Dirichlet - Ngô Mạnh Tưởng (2023)
Phương pháp RBF-FD tối ưu giải Dirichlet cho phương trình elliptic không sử dụng lưới.
Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên
Toán ứng dụng
Luan An
Luận án
Năm xuất bản
Số trang
154
Thời gian đọc
24 phút
Lượt xem
0
Lượt tải
0
Phí lưu trữ
50 Point
Mục lục chi tiết
Tóm tắt nội dung
I.Giới thiệu Phương pháp không lưới RBF FD hiện đại
Phương pháp không lưới RBF-FD (Radial Basis Function - Finite Difference) đại diện cho một tiến bộ quan trọng trong giải các bài toán toán học phức tạp. Phương pháp này kết hợp ưu điểm của hàm cơ sở xuyên tâm (Radial Basis Function) với cấu trúc của phương pháp sai phân hữu hạn. RBF-FD tránh được các hạn chế của việc tạo lưới phức tạp. Sự linh hoạt của phương pháp này giúp xử lý hiệu quả các miền tính toán có hình dạng bất kỳ. RBF-FD được ứng dụng rộng rãi trong mô hình hóa các hiện tượng vật lý và kỹ thuật, đặc biệt là khi các phương pháp truyền thống gặp khó khăn.
1.1. Nền tảng hàm cơ sở xuyên tâm Radial Basis Function
Hàm cơ sở xuyên tâm (RBF) là các hàm chỉ phụ thuộc vào khoảng cách từ một điểm tâm. Các hàm này được sử dụng để xây dựng các xấp xỉ chức năng trên một tập hợp các điểm rời rạc. Radial Basis Function tạo ra khả năng nội suy mượt mà, chính xác. Hàm cơ sở xuyên tâm có khả năng thích ứng cao với dữ liệu phân tán. Chúng là nền tảng cho nhiều phương pháp không lưới, đảm bảo độ chính xác và ổn định số học trong các tính toán phức tạp.
1.2. Lịch sử và phát triển của RBF FD
Phương pháp RBF-FD là sự kết hợp giữa hàm cơ sở xuyên tâm và cấu trúc sai phân hữu hạn. RBF-FD xuất hiện như một giải pháp thay thế cho phương pháp lưới truyền thống. Phương pháp không lưới này khắc phục hạn chế về việc tạo lưới cho các miền phức tạp. Sự phát triển của RBF-FD đã mở ra nhiều hướng nghiên cứu mới. RBF-FD cung cấp một cách tiếp cận linh hoạt, hiệu quả hơn trong việc giải các phương trình vi phân riêng phần. Lịch sử của phương pháp này gắn liền với nhu cầu giải quyết các bài toán biên khó.
II.Ưu điểm vượt trội của phương pháp RBF FD
Phương pháp RBF-FD nổi bật với nhiều ưu điểm so với các phương pháp số truyền thống. RBF-FD không yêu cầu lưới, giúp đơn giản hóa quá trình chuẩn bị dữ liệu cho các bài toán phức tạp. Phương pháp này có khả năng xử lý tốt các miền hình học phức tạp, bao gồm cả các miền có góc nhọn hoặc biến đổi nhanh. RBF-FD cũng cung cấp độ chính xác cao. Nó đặc biệt hiệu quả khi giải quyết các vấn đề với độ biến thiên lớn hoặc điểm kỳ dị. Những ưu điểm này làm cho RBF-FD trở thành một công cụ mạnh mẽ trong giải tích số.
2.1. Khả năng xử lý miền hình học phức tạp
Một trong những lợi thế lớn nhất của RBF-FD là khả năng giải quyết bài toán trên các miền hình học phức tạp. Phương pháp không lưới này loại bỏ hoàn toàn nhu cầu tạo lưới. Tạo lưới là một thách thức lớn đối với các phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) hoặc phương pháp sai phân hữu hạn (FDM). RBF-FD chỉ yêu cầu một tập hợp các điểm rời rạc. Điều này giúp tiết kiệm thời gian, công sức trong giai đoạn tiền xử lý. RBF-FD phù hợp cho các ứng dụng kỹ thuật và khoa học có hình dạng vật thể phức tạp.
2.2. Độ chính xác cao và hiệu quả tính toán
RBF-FD cung cấp độ chính xác cao cho các nghiệm của phương trình vi phân riêng phần. Đặc biệt, phương pháp này rất hiệu quả đối với các bài toán có nghiệm không trơn tru. Điều này bao gồm các trường hợp có điểm kỳ dị hoặc độ dao động mạnh. RBF-FD có thể tự động điều chỉnh phân bố điểm để đạt được độ chính xác mong muốn. Hiệu quả tính toán được cải thiện do không cần xây dựng ma trận lưới phức tạp. Sự linh hoạt này giúp phương pháp đạt được kết quả đáng tin cậy.
III.Giải quyết Bài toán Dirichlet bằng RBF FD thích nghi
Tài liệu này tập trung vào việc áp dụng phương pháp không lưới RBF-FD để giải bài toán Dirichlet. Bài toán Dirichlet là một loại phương trình vi phân riêng phần với điều kiện biên Dirichlet xác định. RBF-FD thích nghi cho phép điều chỉnh sự phân bố các điểm nội suy để cải thiện độ chính xác ở những vùng có sự biến đổi lớn. Cách tiếp cận này giúp tối ưu hóa việc sử dụng tài nguyên tính toán. RBF-FD đã chứng tỏ hiệu quả cao trong việc mô phỏng các vấn đề vật lý có điều kiện biên Dirichlet phức tạp.
3.1. Rời rạc hóa bài toán Dirichlet
Việc rời rạc hóa bài toán Dirichlet bằng RBF-FD đòi hỏi việc đặt các điểm nội suy trong miền và trên biên. Điều kiện biên Dirichlet được áp dụng trực tiếp tại các điểm trên biên. Các đạo hàm của hàm nghiệm tại các điểm nội bộ được xấp xỉ bằng tổ hợp tuyến tính của các giá trị hàm tại các điểm lân cận. Phương pháp này chuyển phương trình vi phân riêng phần thành một hệ phương trình đại số tuyến tính. Hệ phương trình sau đó được giải để tìm nghiệm xấp xỉ.
3.2. Nội suy RBF tính toán trọng số
Trong phương pháp RBF-FD, các trọng số cho phép xấp xỉ đạo hàm được xác định thông qua nội suy hàm cơ sở xuyên tâm. Véc tơ trọng số được tính toán từ các hàm cơ sở xuyên tâm (Radial Basis Function) địa phương. Các hàm này được đặt tại các điểm lân cận của mỗi điểm nội suy. Quá trình này đảm bảo tính trơn tru và chính xác của các xấp xỉ đạo hàm. Việc sử dụng thành phần đa thức trong nội suy cũng giúp cải thiện độ chính xác và ổn định của phương pháp.
IV.Các kỹ thuật chọn tâm trong phương pháp không lưới RBF FD
Việc chọn vị trí các tâm (points) có ảnh hưởng lớn đến độ chính xác và hiệu quả của phương pháp không lưới RBF-FD. Tài liệu này khám phá nhiều thuật toán chọn tâm khác nhau, từ các phương pháp phổ biến đến các kỹ thuật thích nghi tiên tiến. Các thuật toán này được thiết kế để phân bố các tâm một cách tối ưu, đặc biệt ở những vùng có gradient cao hoặc điểm kỳ dị. Các kỹ thuật chọn tâm đóng vai trò then chốt trong việc tối ưu hóa hiệu suất của RBF-FD khi giải phương trình vi phân riêng phần.
4.1. Thuật toán chọn tâm cho không gian 2D và 3D
Nhiều thuật toán chọn tâm đã được phát triển cho phương pháp không lưới RBF-FD. Đối với không gian 2D, các thuật toán như k-near hoặc dựa trên tối ưu hóa đã được nghiên cứu. Trong không gian 3D, các phương pháp phức tạp hơn được áp dụng. Các thuật toán như dựa trên tứ diện (tet), octant hoặc oct-dist giúp phân bố điểm hiệu quả. Việc chọn thuật toán phù hợp phụ thuộc vào đặc điểm của bài toán và hình dạng miền tính toán. Thuật toán pQR cũng là một lựa chọn quan trọng.
4.2. Thuật toán làm mịn thích nghi hiệu quả
Để đạt được độ chính xác cao và hiệu quả tính toán, các thuật toán làm mịn thích nghi được áp dụng. Các thuật toán này tự động thêm hoặc di chuyển các tâm để tập trung vào các khu vực cần độ chi tiết cao hơn. Ví dụ, thuật toán sinh tâm trung điểm DO2, thuật toán sinh 5 tâm ODP2, và thuật toán cải tiến OT2 được đề xuất. Các thuật toán này giúp RBF-FD thích nghi linh hoạt với các đặc điểm của nghiệm, cải thiện đáng kể chất lượng giải pháp mà không cần tăng quá nhiều số lượng điểm.
V.Kết quả thử nghiệm số RBF FD cho bài toán phức tạp
Tài liệu trình bày các thử nghiệm số toàn diện để đánh giá hiệu suất của phương pháp không lưới RBF-FD. Các thử nghiệm được thực hiện trên nhiều loại bài toán khác nhau. Điều này bao gồm các bài toán có miền hình học phức tạp và các bài toán với nghiệm có kỳ dị hoặc độ dao động mạnh. Kết quả chứng minh RBF-FD cung cấp độ chính xác cao. Phương pháp này cũng cho thấy sự ổn định trong các điều kiện thử nghiệm khác nhau. Các thử nghiệm số khẳng định khả năng ứng dụng thực tế của RBF-FD trong giải phương trình vi phân riêng phần.
5.1. Đánh giá hiệu suất trong không gian 2 chiều
Thử nghiệm số trong không gian 2 chiều bao gồm các bài toán với miền hình học phức tạp. Các bài toán có hình dạng bất thường, góc nhọn, hoặc lỗ hổng được kiểm tra. RBF-FD cũng được áp dụng cho các bài toán có nghiệm với điểm kỳ dị hoặc biến thiên nhanh. Sai số trung bình bình phương (rms) và sai số tương đối (RRMS) được sử dụng để đánh giá độ chính xác. Kết quả cho thấy RBF-FD xử lý hiệu quả các thách thức này. Phương pháp này duy trì độ chính xác cao ngay cả trong các trường hợp khó khăn.
5.2. Thử nghiệm số trong không gian 3 chiều thực tế
Các thử nghiệm được mở rộng sang không gian 3 chiều, bao gồm các bài toán có miền hình học lồi và các bài toán thực tế phức tạp. Việc áp dụng RBF-FD cho các mô hình 3D thực tế chứng minh tính khả thi và hiệu quả của phương pháp. Các kết quả số cho thấy RBF-FD duy trì độ chính xác và ổn định. Phương pháp này là một công cụ đáng tin cậy cho các ứng dụng kỹ thuật và khoa học. Nó giúp giải quyết các bài toán biên phức tạp trong nhiều lĩnh vực.
VI.So sánh RBF FD với phương pháp phần tử hữu hạn
RBF-FD được đánh giá thông qua việc so sánh với các phương pháp số truyền thống như phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và phương pháp sai phân hữu hạn (FDM). Các phương pháp này đã được sử dụng rộng rãi nhưng có những hạn chế nhất định. RBF-FD, với bản chất không lưới, cung cấp một cách tiếp cận khác. So sánh này làm nổi bật những ưu điểm riêng biệt của RBF-FD. Nó khẳng định giá trị của RBF-FD trong việc giải quyết các bài toán mà FEM và FDM gặp khó khăn. Đặc biệt là các bài toán liên quan đến điều kiện biên Dirichlet.
6.1. Khác biệt cơ bản về nguyên lý
Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) và phương pháp sai phân hữu hạn (FDM) đều dựa vào việc phân chia miền thành các phần tử lưới hoặc ô lưới. FEM sử dụng các hàm cơ sở địa phương trên mỗi phần tử. FDM xấp xỉ đạo hàm bằng các sai phân trên lưới. Ngược lại, RBF-FD là một phương pháp không lưới. RBF-FD sử dụng các hàm cơ sở xuyên tâm để nội suy và xấp xỉ đạo hàm trên một tập hợp các điểm phân tán. Sự khác biệt này là cơ bản trong cách xử lý hình học và điều kiện biên của phương trình vi phân riêng phần.
6.2. Lợi ích của phương pháp không lưới
Lợi ích chính của phương pháp không lưới RBF-FD là khả năng bỏ qua việc tạo lưới phức tạp. Tạo lưới thường tiêu tốn nhiều thời gian và dễ gây lỗi, đặc biệt cho các miền 3D phức tạp. Phương pháp meshless RBF-FD cho phép linh hoạt hơn trong việc đặt các điểm tính toán. Điều này giúp dễ dàng thích ứng với sự thay đổi của miền hoặc các điều kiện biên. Nó cải thiện hiệu quả khi giải các bài toán Dirichlet trên các miền có hình dạng bất thường. RBF-FD trở thành lựa chọn ưu tiên cho nhiều ứng dụng tiên tiến.
Tải xuống file đầy đủ để xem toàn bộ nội dung
Tải đầy đủ (154 trang)Trích đoạn nội dung luận án
Tải xuống để đọc toàn bộĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGÔ MẠNH TƯỞNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI THÍCH NGHI RBF-FD GIẢI SỐ BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN- NĂM 2023 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGÔ MẠNH TƯỞNG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI THÍCH NGHI RBF-FD GIẢI SỐ BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 9 46 01 12 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Tập thể hướng dẫn: 1. Đặng Thị Oanh THÁI NGUYÊN - 2023 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi dưới sự hướng dẫn khoa học của GS. Oleg Davydov và TS. Đặng Thị Oanh.
Kết quả viết chung với các tác giả khác đã được sự nhất trí của các đồng tác giả trước khi đưa vào luận án. Các kết quả được nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Tác giả luận án Ngô Mạnh Tưởng ii LỜI CẢM ƠN Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án, nghiên cứu sinh đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ, đóng góp ý kiến quý báu và những lời động viên của các nhà khoa học, các thầy, cô, đồng nghiệp và gia đình. Lời đầu tiên, cho phép em được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc nhất tới GS.
Oleg Davydov - Khoa Toán - Trường Đại học Giessen - Cộng hòa Liên Bang Đức, TS. Đặng Thị Oanh - Cục Công nghệ thông tin - Bộ Giáo dục và Đào tạo, đã tận tình hướng dẫn, định hướng và giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận án. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến GS. Hoàng Xuân Phú và các thành viên seminar của phòng Giải tích số và tính toán khoa học - Viện Toán học - Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam, đã đóng góp những ý kiến quý báu để em hoàn thành luận án.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong bộ môn Toán ứng dụng và Tin học, Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã dạy dỗ, động viên và giúp đỡ em rất nhiều trong thời gian là nghiên cứu sinh của Trường. Tôi xin chân thành cảm ơn đến cơ quan chủ quản - Ban Giám hiệu Trường Đại học Công nghệ thông tin và Truyền thông - Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm khoa Khoa học cơ bản, Lãnh đạo Phòng Đào tạo và Bộ môn Khoa học tự nhiên, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu. Cuối cùng Nghiên cứu sinh bày tỏ lời cảm ơn tới các đồng nghiệp, gia đình, bạn bè đã luôn động viên, chia sẻ, ủng hộ và giúp đỡ Nghiên cứu sinh vượt qua khó khăn để đạt được những kết quả nghiên cứu và hoàn thành luận án. Tác giả luận án iii Mục lục DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT.
v Danh sách bảng. vii Danh sách hình vẽ. ix PHẦN MỞ ĐẦU. 1 Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ .1 Nội suy dữ liệu phân tán .2 Hàm cơ sở bán kính .3 Ma trận xác định dương, hàm xác định dương .1 Ma trận xác định dương .2 Hàm xác định dương .4 Nội suy hàm cơ sở bán kính .5 Sai số và số điều kiện của nội suy RBF .2 Số điều kiện và sự ổn định của nội suy RBF .6 Phương pháp lưới giải phương trình đạo hàm riêng .1 Phương pháp sai phân hữu hạn .2 Phương pháp phần tử hữu hạn .7 Giải phương trình đạo hàm riêng bằng nội suy RBF.
28 Chương 2 PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI THÍCH NGHI RBF-FD GIẢI BÀI TOÁN DIRICHLET CHO PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC .1 Rời rạc bài toán .2 Nội suy RBF tính véc tơ trọng số .1 Véc tơ trọng số.2 Véc tơ trọng số với thành phần hằng số .3 Véc tơ trọng số với thành phần đa thức .3 Một số thuật toán chọn tâm trong không gian 2 chiều .1 Một số thuật toán chọn tâm phổ biến .2 Các thuật toán chọn tâm cho phương pháp không lưới RBF-FD .4 Một số thuật toán chọn tâm trong không gian 3 chiều .1 Thuật toán k-near .2 Thuật toán dựa trên các tứ diện tet .3 Thuật toán dựa trên các Octant .4 Thuật toán oct-dist .5 Thuận toán pQR .5 Thuật toán làm mịn thích nghi không lưới .1 Thuật toán sinh tâm trung điểm DO2 .2 Thuật toán sinh 5 tâm ODP2 .3 Thuật toán cải tiến sinh 5 tâm OT2. 79 Chương 3 THỬ NGHIỆM SỐ .1 Thử nghiệm số trong không gian 2 chiều .1 Bài toán có miền hình học phức tạp .2 Bài toán nghiệm có kỳ dị hoặc có độ dao động mạnh .2 Thử nghiệm số trong không gian 3 chiều .1 Bài toán có miền hình học lồi .2 Bài toán thực tế có miền hình học phức tạp. 133 CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC ĐÃ CÔNG BỐ. 134 Tài liệu tham khảo.
136 v DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT MQ Hàm Multiquadric. IMQ Hàm Inverse multiquadric. Gauss Hàm Gaussian. RBF Hàm cơ sở bán kính (Radial Basis Function).
FD Phương pháp sai phân hữu hạn (Finite Difference). Ξ Tập hữu hạn các tâm rời rạc. Ξint Tập hữu hạn các tâm rời rạc trong miền. ∂Ξ Tập hữu hạn các tâm rời rạc trên biên.
Ξζ Tập giá véc tơ trọng số. #Ξint Số tâm của tập Ξint. ε(ζ , ξ ) Độ lệch của cạnh ζ ξ. ε̄ Độ lệch lớn nhất.
τ Ngưỡng độ lệch. sepξ ′ (Ξ′ ) Khoảng cách tách biệt của tâm ξ ′ và tập Ξ′. FEM Phương pháp phần tử hữu hạn (Finite element method). RBF-FD Phương pháp không lưới RBF-FD (Radial Basis Function-Finite Difference).
RBF-FD 17 Kết quả của RBF-FD sử dụng các thuật toán ODP1, ODP2. rms Sai số trung bình bình phương (root mean square error). RRMS Sai số trung bình bình phương tương đối (relative root mean square error). Erc Sai số rms trên các tâm thích nghi.
Emc Sai số rms lớn nhất trên các tâm thích nghi. Erg Sai số rms trên lưới đều. Emg Sai số rms lớn nhất trên lưới đều. Eref Sai số RRMS so với nghiệm tham chiếu.
rms FEM Sai số rms của phương pháp phần tử hữu hạn. rms RBF-FD 17 Sai số rms của RBF-FD sử dụng các thuật toán ODP1, ODP2. vi rms RBF-FD Sai số rms của RBF-FD sử dụng các thuật toán OT1, OT2. max FEM Sai số lớn nhất của phương pháp phần tử hữu hạn.
max RBF-FD 17 Sai số lớn nhất của RBF-FD sử dụng các thuật toán ODP1, ODP2. max RBF-FD Sai số lớn nhất của RBF-FD sử dụng các thuật toán OT1, OT2. RBF-FD Kết quả của RBF-FD sử dụng các thuật toán OT1, OT2. fem1 Kết quả của phương pháp phần tử hữu hạn bậc 1.
fem2 Kết quả của phương pháp phần tử hữu hạn bậc 2. knear Kết quả của RBF-FD sử dụng Thuật toán k-near. tet Kết quả của RBF-FD sử dụng Thuật toán tet. Oct Kết quả của RBF-FD sử dụng Thuật toán 16-Octants.
oct-dist Kết quả của RBF-FD sử dụng Thuật toán oct-dist. pQR4sel Kết quả của RBF-FD sử dụng Thuật toán pQR chọn tâm và tính trọng số bằng nội suy RBF. pQR3 Kết quả của phương pháp pQR sử dụng Thuật toán pQR bậc 3. pQR4 Kết quả của phương pháp pQR sử dụng Thuật toán pQR bậc 4.
vii Danh sách bảng 1.1 Một số hàm bán kính .2 Một số hàm bán kính với tham số hình dạng ε > 0.1 Bảng chia 8 Octant .2 Bảng chia 16 Octant .1 Giá trị của các tham số sử dụng trong Thuật toán OT2 .2 Kết quả thử nghiệm số của các phương pháp FEM, RBF-FD 17, RBF-FD ứng với các bài toán .3 Các giá trị α Aver , δaver , iaver , cmax , caver , kaver , p1 của RBF-FD 17 và RBF-FD .4 Sai số Eref trên đỉnh của các tứ diện tối ưu với H0 = 0.25 và mật độ ma trận hệ số của Bài toán 7 .5 Sai số Eref của fem2 trên đỉnh của các tứ diện tối ưu với H0 = 0.25 và mật độ ma trận hệ số của Bài toán 7 .6 Sai số Eref trên nút lưới đều và các điểm biên của Bài toán 7 .7 Sai số Eref trên điểm trong miền là điểm Halton và điểm biên là phép chiếu vuông góc của Bài toán 7 .8 Thống kê hệ số tỷ lệ khung hình γT với 3 cách tạo lưới tứ diện cho fem1 của Bài toán 7 .9 Sai số Eref trên đỉnh của các tứ diện tối ưu của Bài toán 8 với H0 = 8.10 Sai số Eref của fem2 trên đỉnh của các tứ diện tối ưu của Bài toán 8 với H0 = 17 .11 Thống kê hệ số tỷ lệ khung hình γT với 2 cách tạo lưới tứ diện cho fem1 của Bài toán 8 .12 Sai số Eref trên đỉnh của các tứ diện không tối ưu của Bài toán 8 .13 Hệ số ổn định σ trên đỉnh của các tứ diện không tối ưu của Bài toán 8 .14 Sai số Eref trên các điểm trong miền là lưới đều và điểm biên là phép chiếu vuông góc của Bài toán 8 .15 Sai số Eref trên các điểm trong miền là nút lưới đều và điểm biên là đỉnh của các tứ diện tối ưu của Bài toán 8 .16 Sai số Eref trên điểm trong miền là điểm Halton và điểm biên là phép chiếu vuông góc của Bài toán 8 .17 Sai số Eref trên đỉnh của các tứ diện tối ưu của Bài toán 9 với H0 = 6.18 Sai số Eref của fem2 trên đỉnh của các tứ diện tối ưu của Bài toán 9 với H0 = 7.19 Sai số Eref trên đỉnh của các tứ diện không tối ưu của Bài toán 9 .20 Thống kê hệ số tỷ lệ khung hình γT với 2 cách tạo tứ diện cho fem1 của Bài toán 9 .21 Sai số Eref trên các điểm trong là nút lưới đều và điểm biên là đỉnh của các tứ diện tối ưu của Bài toán 9 .22 Sai số Eref trên điểm trong miền là điểm Halton và điểm biên là phép chiếu vuông góc của Bài toán 9 .23 Sai số Eref trên đỉnh của các tứ diện tối ưu của Bài toán 10 với H0 = 3 .24 Sai số Eref của fem2 trên đỉnh của các tứ diện tối ưu của Bài toán 10 với H0 = 3 .25 Sai số Eref trên đỉnh của các tứ diện không tối ưu của Bài toán 10 .26 Thống kê hệ số tỷ lệ khung hình γT với 2 cách tạo tứ diện cho fem1 của Bài toán 10 .27 Sai số Eref trên các điểm trong là nút lưới đều đỉnh và điểm biên là đỉnh của các tứ diện tối ưu của Bài toán 10 .28 Sai số Eref trên điểm trong miền là điểm Halton và điểm biên là phép chiếu vuông góc của Bài toán 10. 129 ix Danh sách hình vẽ 1.
Nội dung được bảo vệ bản quyền — Tải xuống đầy đủ
Câu hỏi thường gặp
Luận án "Phương pháp không lưới RBF-FD giải toán Dirichlet" nghiên cứu về vấn đề gì?
Phương pháp RBF-FD tối ưu giải Dirichlet cho phương trình elliptic không sử dụng lưới.
Luận án "Phương pháp không lưới RBF-FD giải toán Dirichlet" được bảo vệ tại trường nào?
Luận án này được bảo vệ tại Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên. Năm bảo vệ: 2023.
Luận án "Phương pháp không lưới RBF-FD giải toán Dirichlet" thuộc chuyên ngành gì?
Luận án "Phương pháp không lưới RBF-FD giải toán Dirichlet" thuộc chuyên ngành Toán ứng dụng. Danh mục: Toán Học.
Luận án "Phương pháp không lưới RBF-FD giải toán Dirichlet" có bao nhiêu trang?
Luận án "Phương pháp không lưới RBF-FD giải toán Dirichlet" có 154 trang. Bạn có thể xem trước một phần tài liệu ngay trên trang web trước khi tải về.
Cách tải luận án "Phương pháp không lưới RBF-FD giải toán Dirichlet" về máy như thế nào?
Để tải luận án về máy, bạn nhấn nút "Tải xuống ngay" trên trang này, sau đó hoàn tất thanh toán phí lưu trữ. File sẽ được tải xuống ngay sau khi thanh toán thành công. Hỗ trợ qua Zalo: 0559 297 239.