Luận án tiến sĩ Toán học: Phân bố giá trị ánh xạ phân hình từ đa tạp Kähler vào đa tạp xạ ảnh - Nguyễn Thị Nhung, ĐH Sư Phạm Hà Nội

B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ NG ĐẠI HOC SƯ PHẠM HÀ N I Nguyen Thị Nhung PHÂN BO GIÁ TR± CỦA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TỪ ĐA TẠP KÄHLER VÀO ĐA TẠP XẠ ẢNH VÀ ỨNG DỤNG LU N ÁN TIEN SĨ TOÁN HOC Hà N i, 2019 B® GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯ NG ĐẠI HOC SƯ PHẠM HÀ N I Nguyen Thị Nhung PHÂN BO GIÁ TR± CỦA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH TỪ ĐA TẠP KÄHLER VÀO ĐA TẠP XẠ ẢNH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Hình hoc và Tôpô Mã so: 9.05 LU N ÁN TIEN SĨ TOÁN HOC NGƯ I HƯ NG DȀN KHOA HOC: PGS.TS Sĩ Đfíc Quang Hà N i, 2019 L I CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan các ket quả được trình bày trong lu n án là mới, đã được công bo trên các tạp chí Toán hoc có uy tín trên the giới. Các ket quả nêu trong lu n án là trung thực, được các đong tác giả cho phép sả dụng và chưa tàng được công bo trong bat kỳ công trình nào khác. Nghiên cáu sinh Nguyen Thị Nhung ii L I CẢM ƠN Lu n án đã được hoàn thành dưới sự quan tâm và hướng dan t n tình của PGS. Tôi xin được gải lời cảm ơn chân thành và sâu sac nhat đen Thay, cảm ơn Thay đã luôn chỉ bảo, sẻ chia và tạo moi đieu ki n thu n lợi cho tôi trong suot quá trình hoc t p và nghiên cáu.

Tôi xin được gải lời cảm ơn đen GS.TSKH Hà Huy Khoái, người đã định hướng và khuyen khích tôi trong nghiên cáu khoa hoc, tạo nhieu cơ h®i đe tôi có the hoc t p và giao lưu với nhǎng nhà khoa hoc cùng hướng nghiên cáu. Tôi xin được gải lời cảm ơn đen Trường Đại hoc Sư Phạm Hà N®i, Phòng Sau đại hoc, Ban Chủ nhi m Khoa Toán-Tin ve sự giúp đơ cũng như tạo đieu ki n thu n lợi dành cho tôi. Tôi xin được gải lời cảm ơn đen các thay cô và anh chị em trong seminar Hình hoc phác của B® môn Hình hoc và Tô pô, đ c bi t là TS Phạm Đác Thoan và TS Lê Ngoc Quỳnh, ve sự đ®ng viên, trợ giúp và nhǎng trao đői khoa hoc hǎu ích trong quá trình tôi hoc t p và nghiên cáu. Tôi xin được gải lời cảm ơn sâu sac đen Trường Đại hoc Thăng Long, Ban Chủ nhi m Khoa Toán-Tin, anh chị em đong nghi p trong B® môn Toán đã giúp đơ, quan tâm và chia sẻ đe tôi luôn có nhǎng đieu ki n thu n lợi nhat trong suot quá trình hoc nghiên cáu sinh.

Cuoi cùng, tôi xin được bày tỏ lòng biet ơn tà t n đáy lòng đen gia đình và người thân đã luôn bên tôi, khích l và đ®ng viên tôi, chia sẻ khó khăn đe tôi có the hoàn thành được lu n án của mình. Tác giả iii MỤC LỤC L i cam đoan ii L i cảm ơn iii Danh mnc các quy ư c và kí hi u vi M ĐAU 1 1 TONG QUAN 6 2 QUAN H SO KHUYET KHÔNG LAY TÍCH PHÂN CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH GIAO V I HO SIÊU M T DƯ I TONG QUÁT 18 2.1 M®t so kien thác chuȁn bị .2 Định lý ve quan h so khuyet không lay tích phân cho ánh xạ phân hình 27 3 VAN ĐE DUY NHAT CHO ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CÓ CÙNG ẢNH NGƯ C CỦA M T SO SIÊU PHANG 53 3.1 Định lý cơ bản thá hai cho ánh xạ phân hình tà hình cau và ho siêu phȁng ở vị trí tőng quát .2 Định lý duy nhat cho ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của m®t so siêu phȁng. 57 4 SỰ PHỤ THU C ĐẠI SO CỦA BA ÁNH XẠ PHÂN HÌNH CÓ CÙNG ẢNH NGƯ C CỦA M T SO SIÊU PHANG 67 4.1 Định lý cơ bản thá hai cho ánh xạ phân hình tà hình cau và ho siêu phȁng ở vị trí dưới tőng quát .2 Định lý ve sự phụ thu®c đại so của ba ánh xạ phân hình có cùng ảnh ngược của m®t so siêu phȁng. 73 iv Ket lu n và kien nghị 92 Danh mnc các công trình đã công bo liên quan đen lu n án 94 TÀI LI U THAM KHẢO 95 v DANH MỤC CÁC QUY Ư C VÀ KÍ HI U Trong toàn b® lu n án, chúng ta thong nhat m®t so kí hi u như sau.

• Pn(C): không gian xạ ảnh phác n− chieu. 1 m • B(r) := {z ∈ Cm : ǁzǁ < r} là hình cau mở bán kính r trong Cm. • S(r) := {z ∈ Cm : ǁzǁ = r} là m t cau bán kính r trong Cm. √ c −1 d = ∂ + ∂, d := (∂ ∂): các toán tả vi phân.

• − 4π • βn−1 := (ddcǁzǁ2)n−1, σn := dclogǁzǁ2 ∧ (ddclogǁzǁ2)n−1: các dạng vi phân. • O(1): hàm bị ch n đoi với r. • O(r): vô cùng lớn cùng b c với r khi r → +∞. • o(r): vô cùng bé b c cao hơn r khi r → +∞.

• log+r = max{log r, 0}, r ≥ 0. • “|| P ”: có nghĩa là m nh đe P đúng với moi r ∈ [0, +∞) nam ngoài m®t t p ∫ con Borel E của [0, +∞) thoả mãn E dr < +∞. • |S|: lực lượng của t p hợp S. • I(x): so nguyên lớn nhat không vượt quá x.

, dq}: b®i so chung nhỏ nhat của các so nguyên dương d1,. • Zero(h) : t p các không điem của hàm h. • supp(ν) : giá của divisor ν. Lý do chon đe tài Lý thuyet Nevanlinna bat đau bang nhǎng nghiên cáu ve phân bo giá trị của các hàm phân hình trên m t phȁng phác.

Nevanlinna đã mở r®ng định lý Picard nhỏ bang cách cháng minh hai định lý quan trong mà thường được goi là định lý cơ bản thá nhat và định lý cơ bản thá hai. Công trình của R. Nevanlinna ngay l p tác được quan tâm mạnh mě và đã có nhieu ket quả quan trong được công bo bởi các tác giả như A. Cartan đã mở r®ng lý thuyet Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh phác và sau đó L.

Ahlfors [1] đưa ra cách tiep c n hình hoc cho các ket quả của H.Cartan và Weyls. Vào nhǎng năm tiep theo, W. Stoll [35] và m®t so nhà toán hoc khác như P. Shiffman đã tőng quát các ket quả trên cho trường hợp nhieu bien phác và đong thời phát trien lên cho trường hợp ánh xạ phân hình tà đa tạp parabolic vào đa tạp xạ ảnh.

Trong nhǎng th p kỉ vàa qua, nhieu nhà toán hoc đã quan tâm đen bài toán tőng quát lý thuyet Nevanlinna lên cho trường hợp ánh xạ phân hình tà đa tạp Kähler vào đa tạp xạ ảnh. Fujimoto [14] đã xây dựng lý thuyet phân bo giá trị cho trường hợp đa tạp Kähler M đay và có phủ song chỉnh hình với m®t hình cau B(R0) trong không gian phác nhieu chieu Cm. Điem khác bi t là trên đa tạp Kähler tőng quát không có hàm vét cạn parabolic, do đó không the xây dựng được các khái ni m thông thường cho hàm đem của divisor, hàm đ c trưng cũng như hàm xap xỉ của các ánh xạ. Đe vượt qua khó khăn này, dựa vào tính giảm khoảng cách của không gian cơ sở so với không gian phủ, Fujimoto chuyen các bài toán cho ánh xạ phân hình f tà M thành bài toán cho f tà B(R0) vào không gian xạ ảnh Pn(C).

Fujimoto cũng đưa ra các khái ni m mới và phương pháp mới đe giải quyet nhǎng trường hợp khác 1 bi t khi áp dụng lý thuyet Nevanlinna trên hình cau B(R0) so với trên Cm. Cụ the là, ông đã đưa ra khái ni m so khuyet không lay tích phân và thiet l p được quan h so khuyet này cho ánh xạ phân hình tà M vào không gian xạ ảnh Pn(C) giao với ho các siêu phȁng. Sau ket quả này của H. Trường [38] đã cháng minh được định lý ve so khuyet không lay tích phân cho ánh xạ phân hình tà M giao với ho siêu m t ở vị trí dưới tőng quát.

Tuy nhiên, khái ni m “dưới tőng quát” của các tác giả khá đ c bi t khi can thêm m®t đieu ki n so với định nghĩa thông thường. Bang m®t cách khác, M. Sogome [32] đã mở r®ng ket quả của H. Fujimoto cho ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh với các siêu m t ở vị trí tőng quát.

Theo nghĩa tự nhiên của khái ni m “dưới tőng quát”, m®t so tác giả sau đó đã thiet l p quan h so khuyet cho ánh xạ phân hình và các siêu m t ở vị trí dưới tőng quát như Q. Tuy nhiên, các ket quả của các tác giả trên van chưa phải là nhǎng mở r®ng thực sự cho ket quả của M. Sogome khi quay ve ho siêu m t ở vị trí tőng quát. Do đó, m®t câu hỏi tự nhiên được đ t ra là: “Li u có the thiet l p đưạc quan h so khuyet không lay tích phân tot hơn cho trưàng hạp ho siêu m t á vị trí dưái tőng quát không?” Trong lu n án này, chúng tôi sě đưa ra m®t phương pháp mới đe trả lời cho câu hỏi trên.

Nevanlinna đưa ra định lý năm điem hay còn goi là định lý duy nhat, nhieu tác giả đã mở r®ng định lý này lên cho trường hợp ánh xạ phân hình tà Cm vào Pn(C). Nhǎng ket quả đau tiên thu®c ve H. Smiley đã cháng minh rang hai ánh xạ phân hình sě trùng nhau neu chúng bang nhau trên ảnh ngược của 3n + 2 siêu phȁng và giao của ảnh ngược của hai siêu phȁng tùy ý có đoi chieu ít nhat là hai. Vi c có thêm đieu ki n đoi chieu của giao ảnh ngược của hai siêu phȁng đã giúp thực hi n được nhieu bien đői hơn trên hàm đem và cho đen nay đã có nhieu ket quả cải tien định lý của L.

Smiley được đưa ra. Nhǎng ket quả tot nhat theo hướng này thu®c ve Z. Năm 1986, sau khi thiet l p thành công quan h so khuyet không lay tích phân, H. Fujimoto [15] đã đưa ra được định lý duy nhat cho ánh xạ phân hình tà M vào Pn(C ) với ho các siêu phȁng.

Tuy nhiên, định lý của H. Fujimoto không thu®c hướng có thêm đieu ki n ve đoi chieu nên không khái quát được nhǎng ket quả được đe c p ở trên khi quay ve trường hợp Cm. Do v y, mục đích tiep 2 theo của chúng tôi trong lu n án là mở r®ng định lý duy nhat của H. Fujimoto và đong thời tőng quát các ket quả đã đạt được trên Cm.