Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình hyperbolic toán tử Grushin

UỶ BAN NHÂN DÂN TỈNH NINH BÌNH TRƯỜNG ĐẠI HỌC HOA LƯ ————— * ————— ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC TẮT DẦN CHỨA TOÁN TỬ GRUSHIN CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI: DƯƠNG TRỌNG LUYỆN ĐƠN VỊ CÔNG TÁC: KHOA TỰ NHIÊN NINH BÌNH - 2017 UỶ BAN NHÂN DÂN TỈNH NINH BÌNH TRƯỜNG ĐẠI HỌC HOA LƯ ————— * ————— ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP TRƯỜNG DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC TẮT DẦN CHỨA TOÁN TỬ GRUSHIN Chủ nhiệm đề tài: Dương Trọng Luyện Thành viên: Phạm Văn Cường Dương Thu Hương Ninh Bình- 2017 THÔNG TIN CHUNG VỀ ĐỀ TÀI 1. Tên đề tài Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình Hyperbolic tắt dần chứa toán tử Grushin. Lĩnh vực nghiên cứu Khoa học Tự nhiên 3. Thời gian thực hiện Từ tháng 9 năm 2016 đến tháng 4 năm 2017.

Chủ nhiệm đề tài Dương Trọng Luyện, Khoa Tự nhiên, Trường Đại học Hoa Lư. Những thành viên tham gia Phạm Văn Cường, Khoa Tự nhiên, Trường Đại học Hoa Lư. Dương Thu Hương, Khoa Tiểu học - Mần non, Trường Đại học Hoa Lư. 1 Mục lục Trang Mở đầu 4 Chương1.

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 13 1.1 Toán tử Grushin và một số không gian hàm .1 Toán tử Grushin .2 Một số không gian hàm .3 Một số tính chất .2 Tập hút toàn cục và tính chất .1 Một số định nghĩa .2 Một số tính chất. TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC TẮT DẦN CHỨA TOÁN TỬ GRUSHIN TRONG MIỀN BỊ CHẶN 20 2.1 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm tích phân .2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm tích phân .2 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong Sk,0 (Ω) × L2 (Ω) .3 Đánh giá số chiều fractal của tập hút toàn cục. TẬP HÚT TOÀN CỤC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC TẮT DẦN CHỨA TOÁN TỬ GRUSHIN TRÊN TOÀN KHÔNG GIAN 46 3.1 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm tích phân .2 Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm tích phân .2 Sự tồn tại tập hút toàn cục trong Sk2 (RN ) × L2 (RN ). 50 Kết luận 74 Các kết quả đạt được.

74 Kiến nghị một số vần đề nghiên cứu tiếp theo. 74 Tài liệu tham khảo 75 3 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng được nghiên cứu đầu tiên trong các công trình của J. Fourier (1768-1830), như là một công cụ chính để mô tả cơ học cũng như mô hình giải tích của Vật lí.

Vào giữa thế kỷ XIX với sự xuất hiện các công trình của Riemann, lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng đã chứng tỏ là một công cụ thiết yếu của nhiều ngành toán học. Cuối thế kỷ XIX, H. Poincaré đã chỉ ra mối quan hệ biện chứng giữa lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng và các ngành toán học khác. Sang thế kỷ XX, lí thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng phát triển vô cùng mạnh mẽ nhờ có công cụ giải tích hàm, đặc biệt là từ khi xuất hiện lí thuyết hàm suy rộng do S.

Schwartz xây dựng. Nghiên cứu các phương trình và hệ phương trình elliptic tổng quát đã đóng vai trò rất quan trọng trong lí thuyết phương trình vi phân. Hiện nay các kết quả theo hướng này đã tương đối hoàn chỉnh. Cùng với sự phát triển không ngừng của toán học cũng như khoa học công nghệ nhiều bài toán liên quan tới độ trơn của nghiệm các phương trình và hệ phương trình không elliptic đã xuất hiện.

Có một số lớp phương trình, trong đó có lớp phương trình elliptic suy biến, ở một khía cạnh nào đó cũng có một số tính chất giống với phương trình elliptic. Tuy nhiên các kết quả đạt được cho các phương trình phi tuyến elliptic vẫn còn ít, chưa đầy đủ. Với các lí do nêu trên chúng tôi đã chọn đề tài nghiên cứu là 4 “Dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình hyperbolic tắt dần chứa toán tử Grushin. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực của đề tài Các nghiên cứu về phương trình elliptic đã được đề cập khá nhiều trong các công trình [15, 24, 31, 32, 61] và các trích dẫn thêm ở trong đó.

Các kết quả đạt được đối với phương trình elliptic, hệ phương trình elliptic, phương trình parabolic, và phương trình hyperbolic tắt dần là tương đối trọn vẹn. Năm 1970, nhà toán học người Nga V. Grushin đã đưa ra toán tử Gk = ∆x + |x|2k ∆y với (x, y) ∈ Ω ⊂ RN1 +N2 , N1 , N2 ≥ 1, k ∈ Z+ trong [26], tác giả V. Grushin đã đạt được các kết quả sau: • Nếu k = 0 thì G0 là elliptic trong miền Ω.

• Nếu k > 0 thì Gk không là elliptic trong miền Ω ⊂ RN1 +N2 có giao khác rỗng với mặt x = 0. Đây là ví dụ điển hình cho lớp toán tử hypoelliptic, nhưng không là elliptic. Nhà toán học V. Grushin đã chứng minh được nếu Gk u là hàm khả vi vô hạn trong miền Ω thì u cũng khả vi vô hạn trong miền Ω và các tính chất địa phương của Gk được tác giả nghiên cứu khá đầy đủ trong [26].

Những kết quả mang tính tiên phong này đã thúc đẩy hàng trăm công trình nghiên cứu sau đó. Một số chuyên gia ngoài nước cũng đã nghiên cứu phương trình elliptic suy biến, phương trình parabolic suy biến, phương trình hyperbolic suy biến và cũng đã đạt được một số kết quả trong các công trình [13, 14, 25, 26, 33, 35–39, 55, 69] và các trích dẫn thêm ở trong đó. Một số tác giả trong nước cũng đạt được các kết quả sâu sắc trong việc nghiên cứu các phương trình, hệ 5 các phương trình elliptic suy biến phi tuyến, phương trình parabolic suy biến, và phương trình hyperbolic suy biến. Các kết quả đã đạt được là: sự tồn tại và không tồn tại nghiệm của bài toán biên cho phương trình elliptic suy biến, hệ phương trình elliptic suy biến trong các công trình [5, 6, 19–21, 34, 58, 60, 62–65] và các trích dẫn thêm ở trong đó.

Sự tồn tại nghiệm, dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình parabolic suy biến, trong các công trình [1–4,7,9,51] và các trích dẫn thêm ở trong đó. Tính điều khiển được của phương trình parabolic suy biến chứa toán tử Grushin trong các công trình [8, 9]. Lanconelli đã đưa ra toán tử tổng quát cho hai toán tử Grushin và toán tử Pk1 ,k2 trong [35], đã chỉ ra số mũ tới hạn của định lí nhúng kiểu Sobolev, đồng nhất thức kiểu Pohozaev, chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu và tính chính quy của nghiệm yếu của bài toán sau bằng phương pháp biến phân: ( ∆γ u − ηu + f (X, u) = 0 trong Ω, (0.1) u = 0 trên ∂Ω, ở đó Ω là tập mở bị chặn trong RN , η ≥ 0 và ∆γ u, N e được định nghĩa trong Chương 1. Hàm f : Ω × R → R là hàm liên tục thỏa mãn: • f (X, ξ) = o(ξ) khi ξ → 0 đều với mọi X ∈ Ω, N e +2 • f (X, ξ) = o(ξ Ne −2 ) khi ξ → ∞, đều với mọi X ∈ Ω, • Tồn tại hai hằng số µ > 2, u0 > 0 thỏa mãn ξf (X, ξ) > µF (X, ξ) Rξ với |ξ| > u0 và F (X, ξ) > 0 với ξ > u0 , F (X, ξ) = f (X, τ )dτ.

My trong [5] đã nghiên 6 cứu sự tồn tại nghiệm của Bài toán (0.1) với η = 0 và điều kiện của f : Ω × R → R là hàm liên tục thỏa mãn: f (X,ξ) • f (X, 0) = 0, lim = 0, 2∗γ = Ne2N ; e 2∗ γ −1 |ξ|→+∞ |ξ| −2 F (X,ξ) • lim 2 = 0 đều với mọi X ∈ Ω, trong đó |ξ|→+∞ |ξ| Rξ F (X, ξ) = f (X, τ )dτ ; 0 • lim sup F (X,ξ) |ξ|2 < µ1 đều với mọi X ∈ Ω, với µ1 là giá trị riêng đầu |ξ|→0 tiên của toán tử −∆γ trong miền Ω với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất; • Tồn tại C∗ ≥ 0, θ > 0 thỏa mãn: H(X, ξ1 ) ≤ θH(X, ξ2 ) + C∗ , ∀ξ1 , ξ2 ∈ R, 0 < |ξ1 | < |ξ2 |, ∀X ∈ Ω, trong đó H(X, ξ) = 21 ξf (X, ξ) − F (X, ξ). Khi đó Bài toán (0.1) luôn có nghiệm yếu không tầm thường. Và nhiều kết quả đối với bài toán chứa toán tử −∆γ ta có thể xem trong [6, 37, 38, 46, 66, 67]. Các kết quả về sự tồn tại nghiệm, dáng điệu tiệm cận nghiệm của phương trình hyperbolic tắt dần chứa toán tử elliptic và toán tử elliptic suy biến trong miền bị chặn cũng đã đạt được một số kết quả nhất định.

Ta xét bài toán sau:  utt + βut = ∆u + f (X, u), X ∈ Ω, t > 0,   u(X, t) = 0, X ∈ ∂Ω, t > 0, (0. Hale trong [28] và A. Haraux trong [30] đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm toàn cục và tập hút toàn cục của Bài toán (0.2) với điều kiện sau f (X, ξ) ≡ f (ξ) ∈ C(R; R), N ≥ 3 và thỏa mãn: 2 f (ξ) |f (ξ)| ≤ C0 (|ξ|ρ+1 + 1), 0 ≤ ρ < , lim inf > −λ1. Vishik [11] đã chứng minh được sự tồn tại tập hút toàn cục của Bài toán (0.2) trong trường hợp số mũ tới hạn, tức là ρ = N2−2 và sau đó được tổng quát bởi J.

Temam [56] đã chứng minh được sự tồn tại của tập hút toàn cục của Bài toán (0. Raugel [29] đã chứng minh được sự tồn tại nghiệm toàn cục và tập hút toàn cục của Bài toán (0. Ball trong [12] đã chứng minh được sự tồn tại tập hút toàn cục của Bài toán (0.2) bằng phương pháp phương trình năng lượng với điều kiện của hàm f (X, ξ) ≡ f (ξ) là hàm liên tục thỏa mãn lim inf f (ξ) > −λ1 , λ1 là giá trị riêng đầu tiên của toán tử −∆ |ξ|→+∞ ξ  N  với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất và |f (ξ)| ≤ C0 1 + |ξ| N −2 nếu N > 2, C0 > 0 là hằng số, |f (ξ)| ≤ eθ(ξ) , nếu N = 2 trong đó θ là hàm liên tục thỏa mãn lim θ(ξ) ξ 2 = 0. Sonner trong [37], đã nghiên cứu Bài toán (0.2) suy biến có dạng sau:  utt (X, t) + βut = Lu(X, t) + f (u(X, t)), X ∈ Ω, t > 0,   u(X, t) = 0, X ∈ ∂Ω, t > 0, (0.